(Sáng kiến kinh nghiệm) một số dạng toán về số chính phương

PHỊNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO BÌNH XUN TRƯỜNG THCS PHÚ XUÂN Mã sáng kiến: ………………………… BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên sáng kiến: Một số dạng tốn số phương Tác giả sáng kiến: Phạm Đức Bình Địa tác giả sáng kiến: Trường THCS Phú Xuân, Xã Phú Xuân, Huyện Bình Xuyên, Tỉnh Vĩnh Phúc Số điện thoại: 01646229599 E_mail: phamducbinh2020@gmail.com Vĩnh Phúc, năm 2016 Mã sáng kiến: ………………………… BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên sáng kiến: Một số dạng toán số phương BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu: Dạy toán dạy hoạt động tốn học cho học sinh giải tốn hình thức chủ yếu Chính việc dạy học sinh giải tập điều vô quan trọng đặc biệt trọng đến thực hành Thực hành giải tốn khơng thực tập thực hành mà quan trọng luyện tập rèn kỹ vận dụng vào thực tế, qua hình thành phát triển cho học sinh tư lơ-gíc phương pháp luận khoa học Để phát triển khả tư sáng tạo việc học tốn giải tốn bên cạnh việc cung cấp cho học sinh kiến thức, người giáo viên cần phải hình thành cung cấp cho học sinh tri thức phương pháp để giúp học sinh có khả thích ứng với thay đổi nội dung hay nói cách tạo dựng cho học sinh phương pháp học khả tư duy, từ tạo cho em lực nghiên cứu hứng thú tìm tịi việc học tốn Qua q trình giảng dạy tơi thấy hầu hết học sinh giỏi hạn chế việc khai thác, phát triển khả tư duy, đứng trước tốn học sinh thường lúng túng việc tìm lời giải, chưa có kinh nghiệm đúc kết phương pháp thường bị bó hẹp mang tính khn mẫu, lực phát triển mở rộng khai thác kiến thức thường hạn chế gặp tốn địi hỏi tính sáng tạo, lời giải nhanh gọn chưa có khả đáp ứng với tốn có liên quan đến số phương Làm để giúp HS hiểu rõ chất loại toán trên, vận dụng kiến thức để giải, phương hướng chung để giải loại toán nào? Giải vấn đề dễ dàng mà tài liệu đề cập đến loại tốn khơng nhiều, chương trình giảng dạy tốn THCS khơng có tiết dành cho GV dạy cách hệ thống cho học sinh toán dạng mà chúng thường xuất cách đơn lẻ SBT, SGK, sách tham khảo Tên sáng kiến: Một số dạng toán số phương Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Phạm Đức Bình- Giáo viên Trường THCS Phú Xuân – Bình Xuyên – Vĩnh Phúc Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Trong chương trình Tốn 6, em học toán lien quan tới phép chia hết số tự nhiên đặc biệt giới thiệu số phương, số bình phương số số tự nhiên (VD: 0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 100; 144;…) Người viết đề tài mong muốn kết hợp với kiến thức bổ sung them số kiến thức khác để em giải tốn số phương hay vận dụng kiến thức khác để em giải tốn số phương vào hoạt động giải toán Đây cách giúp em củng cố, khắc sâu mở rộng thêm hiểu biết số phương Những tốn phân dạng số phương làm tăng thêm lịng say mê u thích mơn tốn cho em Là giáo viên dạy tốn tơi nhận thấy tốn liên quan đến số phương hay quan trọng em học sinh, với GV dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán, toán số học thi HSG toán thường xuất dạng tốn liên quan đến số phương Đặc biệt với em HS giỏi lớp làm quen với dạng toán suy luận giải tốn số học phương pháp giải cịn nhiều hạn chế, em tìm thấy nội dung đề tài nhiều điều bổ ích, cần thiết thú vị Các em HS lớp 7, 8, ôn tập lại, hệ thống kiến thức số học học bổ sung thêm nhiều kiến thức thú vị khác, tích lũy thêm kinh nghiệm giải toán số học Sáng kiến áp dụng cho đối tượng HS có học lực giỏi tốn THCS, có ý thức tìm tịi say mê u thích số học, dùng để bồi dưỡng HSG tốn Các em HS giỏi lớp tìm thấy nhiều kiến thức hay, cần thiết đề tài Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Ngày 31/8/2015 Mô tả chất sáng kiến: - Về nội dung sáng kiến: I Một số lưu ý: - Nắm vững định nghĩa số phương số bình phương số nguyên - Nắm vững kiến thức phép chia hết phép chia có dư N - Nắm vững kiến thức đồng dư nhiều số, có kĩ tìm chữ số tận lũy thừa, biểu thức số cách áp dụng đồng dư tính chất đồng dư - Có kĩ thêm, bớt, tách số cách phù hợp giải tập toán số học - Quan sát biểu thức số linh hoạt để vận dụng kiến thức liên quan cách hợp lí - Phát vận dụng tính chất, bổ đề hay, cần thiết có liên quan đến việc giải tốn số phương hay kết hợp với kiến thức số phương để tìm hướng giải cho toán số học II Một số dạng tốn số phương: Dạng 1: Chứng minh số khơng phải số phương Cách 1: Xét chữ số tận - Kiến thức: Dựa vào định nghĩa số phương số bình phương số nguyên nên số phương phải có chữ số tận chữ số 0; 1; 4; 5; 6; - Các toán minh họa: Bài 1: Chứng minh số: A = 12321425235623666353435355464534223 khơng phải số phương Giải: Khi xét đồng dư mod 10 ta nhận thấy số phương phải có chữ số tận chữ số 0; 1; 4; 5; 6; mà A có chữ số tận nên A khơng thể số phương Bài 2: Chứng minh số: M = 20112 + 2012 + 20134 + 2014 + 99999 số phương Giải: Theo đồng dư mod 10 ta có số 20112 ,2012 ,20134 ,2014 ,99999 có chữ số tận là: 1, 8, 1, 4, nên M có chữ số tận ( theo mod 10) khác 0; 1; 4; 5; 6; Do M khơng thể số phương Nhận xét: Có nhiều số có chữ số tận 0; 1; 4; 5; 6; lại khơng số phương Như để suy luận giải thích, chứng minh số khơng phải số phương ta phải làm nào? Chúng ta cịn có cách khác để chứng minh số khơng phải số phương: Cách 2: Vận dụng tính chất phép chia hết: - Kiến thức: Nếu số phương chia hết cho số nguyên tố p phải chia hết cho p Ngồi ta để ý chút ta phân tích số phương thừa số ngun tố ta có số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ Chính thế, khai thác nhận xét ta có phát biểu tổng quát sau: Nếu số phương chia hết cho p n ( với p số nguyên tố n số tự nhiên lẻ) phải chia hết cho p n +1 - Các toán minh họa: Bài 3: Chứng minh số N = 35345643643630 số phương Giải: Ta có N chia hết cho (vì chữ số tận 0) N khơng chia hết cho 25 chữ số tận N 30 không chia hết cho 25 Do N khơng thể số phương (đpcm) Nhận xét: - Ta hồn tồn suy luận giải toán theo cách khác sau: Do N chia hết cho (vì N có chữ số tận 0) mà N lại không chia hết cho chữ số tận N 30 không chia hết N số phương - Theo cách suy luận ta có khẳng định sau: Một số phương có chữ số tận chữ số hàng chục phải Bài 4: Chứng minh số có tổng chữ số 2013 số khơng phải số phương Giải: Ta nhận thấy tổng chữ số số 2013 nên số 2013 chia hết cho mà không chia hết số có tổng chữ số 2013 chia hết cho mà không chia hết cho 9, số khơng phải số phương Sau tốn khó mà lời giải áp dụng phát biếu tổng quát phần kiến thức trên: Bài 5: Chứng minh số: P = 55 2011 + 33 2012 + 2222 2013 + 99 2014 số phương Phân tích: Nếu xét chữ số tận P P tận nên hướng làm không thực Nhưng ta để ý chút ta chứng minh P chia hết cho 112011 P không chia hết cho 112012 Từ ta kết luận P khơng phải số phương (dựa vào phát biểu tổng quát) HS tự trình bày lời giải Nhận xét: Ta đặt vấn đề toán tổng chữ số không chia hết cho (chẳng hạn 2015) ta phải làm nào? Khi phải nghĩ tới điều gì? Vì tốn cho tổng chữ số nên chắn phải nghĩ tới phép chia cho cho Vậy ta nghĩ tới việc xét số dư chia số cho Vậy số phương chia cho dư bao nhiêu? Chúng ta có thêm cách để giải loại toán này: Cách 3: Xét số dư số phương chia cho số: + Kiến thức: - Số phương chia cho có số dư - Số phương chia cho có số dư 0; - Số phương chia cho có số dư 0; 1; 3; - Số phương chia cho có số dư 0; 1; + Các toán minh họa: Bài 6: Chứng minh số có tổng chữ số 2015 khơng phải số phương Giải: Vì số phương chia cho có số dư (ta dễ dàng chứng minh được) Do tổng chữ số số 2015 chia dư nên số có tổng chữ số 2015 chia dư Chứng tỏ số cho khơng phải số phương Các tập sau có cách giải tương tự: Bài 7: Chứng minh tổng số tự nhiên lien tiếp từ đến 2007 khơng phải số phương Phân tích: Tính trực tiếp ta có tổng 2015027 chia dư HS tự trình bày làm Bài 8: Chứng minh số: D = 2012 2012 + 2012 2014 + 2012 2016 + 89 số phương Phân tích: Các số 2012 2012 ,2012 2014 ,2012 2016 ,89 chia cho có số dư 1, 1, 1, Do D chia dư Nhận xét: Nếu số xét chia cho dư hướng giải nào? Ta có tốn sau: Bài 9: Chứng minh số: C = 2012 + 44 2013 + 444 2014 + 4444 2015 + 15 số phương Nhận xét: Ở tốn ta khơng thể làm tương tự tốn Vậy ta xét số dư C chia cho 4, số dư Một số phương chia cho có số dư nào? Chúng ta chứng minh dư dư Như việc giải tốn khơng có khó Giải: C = 2012 + 44 2013 + 444 2014 + 4444 2015 + 15 C = 2012 + 44 2013 + 444 2014 + 4444 2015 + 12 + Ta có số: 2012 ,44 2013 ,444 2014 ,4444 2015 ,12 chia hết C chia dư mà số phương chia cho dư Vậy C khơng thể số phương (đpcm) Cách 4: Sử dụng phương pháp kẹp: - Kiến thức: Để chứng minh số số phương ta cịn chứng minh số nằm hai số phương liên tiếp Tức là: Với n x số tự nhiên mà n < x < (n + 1) x khơng phải số phương - Các toán minh họa: Bài 10: Chứng minh số H = 4025025 khơng phải số phương Nhận xét: Số H có chữ số tận 25, chia hết cho 3, cho chia dư nên ta làm tương tự Vậy phải tìm hướng làm khác Giải: Ta có: 2007 = 4028049; 2006 = 4024036 Cho nên: 2006 < H < 2007 Vậy H khơng thể số phương Nhận xét: Ngồi cách cịn cách khác học bậc số Ta có: 4025025 = 2006,246495 nên H khơng thể số phương Bài 11: Chứng minh tích hai số tự nhiên liên tiếp khơng thể số phương Giải: Gọi số tự nhiên liên tiếp n n + (n khác 0) Ta có: n < n(n + 1) < (n + 1) => n(n + 1) khơng phải số phương Ngồi cách làm ta cịn có cách khác vận dụng bổ đề quan trọng có liên quan đến số phương: Cách 5: Sử dụng số bổ đề quan trọng số học: - Kiến thức: Bổ đề (định lí nhỏ Phéc–ma): Nếu (a, p) = với a số nguyên dương p số nguyên tố a p−1 ≡ 1(mod p) Hướng dẫn chứng minh: a, 2a, 3a, 4a, …, (p – 1)a không số chia hết cho p Do vậy: a.2a.3a.4a ( p − 1)a ≡ 1.2.3.4 ( p − 1) (mod p ) ⇒ đpcm Bổ đề 2: Nếu a + b p ; p = 4k + p số nguyên tố a, bp Hướng dẫn chứng minh: - Nếu a b chia hết cho p ta có đpcm - Nếu (a, p) = (b, p) = theo định lí Phéc – ma nhỏ ta có: a k + + b k + ≡ 2(mod p ) mà a k + + b k + a + b p (mâu thuẫn) => đpcm Bổ đề 3: Số có dạng 4k + tồn ước số nguyên tố có dạng 4k + - Bài toán minh họa: Bài 12: Cho số tự nhiên a > b a + b chia hết cho Chứng minh rằng: a − a − b khơng thể số phương Giải: Giả sử a − a − b = n ⇒ (2a − + 2b)(2a − − 2b) = 4n + Vì 2a – + 2b chia dư nên chứa ước nguyên tố p = 4k + Suy ra: 4n + chia hết cho p => chia hết cho p (mâu thuẫn) => đpcm Dạng 2: Chứng minh số số phương: 2.1) Chứng minh điều kiện cần để số số phương cách xét chữ số tận cùng: Bài 1: Chứng minh số phương có chữ số tận chữ số hàng chục Giải: Gọi A số phương có tận => A có dạng a5 2 Ta có: A = a5 = (10a + 5) = 100a + 100a + 25 Vì chữ số hang chục 100a ,100a nên chữ số hàng chục A Bài 2: Chứng minh số phương có chữ số tận chữ số hang chục số lẻ Giải: Đặt M = a Vì M có chữ số tận nên a có chữ số tận - Nếu a có chữ số tận a có dạng b4 Ta có: M = b4 = (10b + 4) = 100b + 80b + 16 Vì chữ số hàng chục 100b ,80b số chẵn nên chữ số hàng chục M số lẻ - Nếu a có chữ số tận a có dạng b6 Ta có: M = b6 = (10b + 6) = 100b + 120b + 36 Vì chữ số hàng chục 100b ,120b số chẵn nên chữ số hàng chục M số lẻ 2.2) Chứng minh số số phương cách dựa vào định nghĩa: Bài 3: Chứng minh số: 11 155 K = nc/ s    số phương ( n −1) c / s Giải: 2   10 n +  10 n − 10 n − + + = 34 Biến đổi ta có: K =   =  33     9    ( n −1) c / s  Vậy K số phương 10 Bài 4: Chứng minh rằng: G = n(n +1)(n + 2)(n + 3) + số phương với số tự nhiên n Giải: Biến đổi ta có: G = n(n +1)(n + 2)(n + 3) + = ( n + 3n + 1) Vậy G số phương Dạng 3: Tìm số để biểu thức có giá trị số phương, giải PT nghiệm ngun Ở dạng tốn ta dung tính chất số phương để giải loại tốn tìm số ngun, cần tới kiến thức, phương pháp để giải PT nghiệm nguyên Các tốn minh họa: Bài 1: Tìm số tự nhiên n để số Z = + n số phương Hướng dẫn: Đặt + n = a n = (a + 3)(a – 3) Do đó: a + = x ; a – = y ; x > y; x + y = n Suy ra: y (2 x − y − 1) = ⇔ x = 3; y = Thử lại thấy Vậy n = x + y = Bài 2: Tìm số tự nhiên n để A = n + 2n + 2n + n + số phương Hướng dẫn:  A = (n + n + 1) 2 2 ( n + n ) < A < ( n + n + ) ⇒ Ta có:  2  A = (n + n + 2) Thay A vào biểu thức đầu ta tìm n = Trước kết thúc nội dung đề tài ”Một số dạng tốn số phương” tơi xin đưa số toán tự luyện: Bài 1: Chứng minh số sau số phương: 11 A = 4543643645768767697890870782; B = 5356436456456745765865856756758 Bài 2: Chứng minh với số nguyên dương k số F = + k + 77 k + 1977 k số phương Bài 3: Chứng minh tổng bình phương số lẻ khơng phải số phương Bài 4: Chứng minh số D = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) số phương với số nguyên dương n Bài 5: Chứng minh số n + khơng phải số phương với số tự nhiên n Bài 6: Chứng minh rằng: Tổng bình phương số tự nhiên lien tiếp khơng thể số phương Bài 7: Chứng minh số E = 235 + 2312 + 232003 số phương Bài 8: Chứng minh số R = 333333 + 555555 + 777 777 số phương Bài 9: Chứng minh với số tự nhiên n > số n! + 2009 khơng phải số phương Bài 10: Cho số A B, biết số A số gồm 2m chữ số 1, số B số gồm m chữ số Chứng minh A + B + số phương Bài 11: Biết a + 2a + (a số tự nhiên) đồng thời số phương Chứng minh a chia hết cho 24 Bài 12: Có hay không số tự nhiên n để 2002 + n số phương 12 - Về khả áp dụng sáng kiến: Quá trình ứng dụng đề tài học sinh THCS, học sinh giỏi mơn tốn Đề tài áp dụng cho số nội dung quan trọng chương trình số học bồi dưỡng HSG mơn tốn Trong thực tế tơi nhận thấy có nhiều toán số học đề thi HSG toán hay thi giải tốn máy tính cầm tay Casio khối lớp có liên quan đến số phương với giáo viên dạy bồi dưỡng HSG đề tài tài liệu tham khảo cần thiết hữu ích Những thơng tin cần bảo mật (nếu có): Trong sáng kiến khơng có thơng tin cần bảo mật Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Qua trình giảng dạy phía thân tơi nhận thấy muốn trang bị cho học sinh phương pháp, kĩ giải toán tốt, hướng dẫn, giáo dục để khơi dậy niềm đam mê học tập học sinh trước hết người thầy giáo cần phải có lương tâm trách nhiệm, có lịng say mê nghề nghiệp thương u học sinh, giữ mối quan hệ thầy trò mực, nắm vững đặc điểm tâm sinh lí học sinh, nắm vững đối tượng để đưa tập cho phù hợp mức định kiến thức, nội dung, chủ đề học vào hoạt động giải tốn, vào mơn học khác, vào đời sống nhà trường - Người thầy giáo phải nhiệt tình, say mê với giảng, có ý thức phấn đấu thường xuyên, nắm vững phương pháp giảng dạy đặc trưng mơn tốn - Vạch kế hoạch, lên kế hoạch, luyện tập giải toán cho học sinh thời gian phải đạt kết định cho thời gian - Lên kế hoạch giảng dạy cho thời gian cho phù hợp, thể tăng tiến từ thấp đến cao, từ lúng túng, chưa tự tin đến mạnh dạn, tự tin q trình giải tốn 13 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có): 9.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: Việc khai thác đưa “Một số phương pháp giải tốn số phương” trên, thấy học sinh nắm kiến thức vận dụng vào làm tập cách chủ động, tích cực đạt kết cao Rèn luyện cho học sinh kỹ giải loại toán đặc biệt rèn luyện học sinh khả tư tốn học, hình thành phương pháp giải tốn Từ tạo hứng thú cho học sinh học tập môn, nâng cao khả tự học, tự nghiên cứu toán học, nâng cao lực giải tình thực tế tạo Dạy toán dạy học sinh giải toán, giúp nâng cao khả tư học sinh Vậy để học sinh biết cách giải toán, nâng cao khả tư đòi hỏi người giáo viên phải biết lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp, thiết kế dạy theo trình tự tư hợp lý, tổ chức học sinh học tập tích cực, chủ động Biết tổng hợp, khai thác, phát triển từ vấn đề Trong giai đoạn nay, việc thực đổi chương trình giáo dục phổ thông nhằm tạo người động sáng tạo đáp ứng yêu cầu thời đại mới, thời đại cơng nghiệp hóa, đại hóa đất nước Mỗi người giáo viên cần nắm vững chương trình đổi mới, nghiên cứu kỹ chương trình tích cực đổi phương pháp dạy học, lấy học sinh làm trung tâm, tổ chức hướng dẫn học sinh chủ động lĩnh hội kiến thức Với suy nghĩ thực hướng dẫn học sinh lớp, thấy em hào hứng say mê giải tập dạng tương tự cách linh hoạt sáng tạo Trước toán chứng minh số phương em khơng tỏ lung túng trước mà bình tĩnh biến đổi biểu thức sử dụng thành thạo phương pháp học để làm 14 Trên số trao đổi nhỏ với đồng nghiệp số dạng tốn số phương Tơi mong nhận ý kiến góp ý, giúp đỡ từ đồng nghiệp để tơi hoạn thiện có nhiều kinh nghiệm giảng dạy Tơi xin chân thành cảm ơn! 15 9.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân: Đối với giáo viên: + Phát huy tính tích cực học sinh GV có them tư liệu để tự bồi dưỡng, tự học + Thu hút học sinh tham gia say mê trình học tập cách tự giác + Sử dụng nhiều phương pháp trình giảng giải cho nhiều đối tượng học sinh khác Đối với học sinh: Đối với học sinh thực đề tài đem lại nhiều kết quả: - Học sinh tích cực học tập mơn tốn THCS - Học sinh đoàn kết, trao đổi, chia sẻ cho phương pháp giải toán, học tập mang tính tập thể cao - Học sinh bồi dưỡng niềm say mê toán học Chất lượng học sinh giỏi nâng cao - Học sinh mạnh dạn luyện tập giải tốn, tạo thói quen tốt cho học sinh, xây dựng nâng cao kiến thức, đảm bảo chất lượng q trình học tập mơn tốn Kết khảo sát nội dung chuyên đề 15 em học sinh giỏi khối 6: Lớp Giỏi Khá Trung Yếu bình 6A (10 hs) 5 0 6B (5 hs) 2 16 10 Danh sách tổ chức/ cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Số Tên tổ chức/ cá TT nhân Phạm Đức Bình Địa Phạm vi/ Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Trường THCS Sáng kiến áp dụng Phú Xuân, Bình cơng tác bồi dưỡng Xun, Vĩnh Phúc HSG toán THCS Phú Xuân, ngày 18 tháng 10 năm 2016 Phú Xuân, ngày 18 tháng 10 năm 2016 Thủ trưởng đơn vị/ Tác giả sáng kiến Chính quyền địa phương (Ký, ghi rõ họ tên) (Ký tên, đóng dấu) Nguyễn Xuân Quỳnh Phạm Đức Bình 17 ... giải tốn số phương hay kết hợp với kiến thức số phương để tìm hướng giải cho toán số học II Một số dạng toán số phương: Dạng 1: Chứng minh số khơng phải số phương Cách 1: Xét chữ số tận - Kiến thức:... - Số phương chia cho có số dư 0; 1; 3; - Số phương chia cho có số dư 0; 1; + Các toán minh họa: Bài 6: Chứng minh số có tổng chữ số 2015 khơng phải số phương Giải: Vì số phương chia cho có số. .. => đpcm Dạng 2: Chứng minh số số phương: 2.1) Chứng minh điều kiện cần để số số phương cách xét chữ số tận cùng: Bài 1: Chứng minh số phương có chữ số tận chữ số hàng chục Giải: Gọi A số phương