Số nguyên tố Kiế n thứ c bổ trợ Đị nh nghĩa a) Số tự nhiên a lớ n hơ n đư ợ c gọ i số nguyên tố nế u a có hai c số dư ng Ví dụ 2,3,5,7,11,13,17,19, số nguyên tố Số số nguyên tố nhỏ nhấ t số nguyên tố chẵ n nhấ t b) Số tự nhiên a lớ n hơ n không phả i số nguyên tố đư ợ c gọ i hợ p số Mộ t số tính chấ t a) Cho p số nguyên tố Khi tích ab chia hế t mộ t hai số a b chia hế t cho p b) Cho p số nguyên tố a số nguyên Khi nế u a chia hế t cho p a chia hêt cho p, a chia hế t cho p c) Mỗ i số nguyên lớ n hơ n đề u có c nguyên tố d) Tồ n tạ i vô hạ n số nguyên tố e) Nế u n hợ p số n có c ngun tố khơng vư ợ t n f) Vớ i mọ i số nguyên dư ng n, tồ n tạ i nhấ t n số liên tiế p mà mỗ i mộ t chúng đề u hợ p số c/m: xét dãy (n+1)!+2,…(n+1)!+(n+1) j n 1, j | (n 1)! j | (n 1)! j g) Giả thiế t Goldbach: mố i số nguyên dư ng chẵ n lớ n hơ n đề u viế t dư i ng tổ ng củ a số nguyên tố đư ợ c Mộ t số đị nh lý đị nh nghĩa mở rộ ng 3.1 Đị nh lý bả n củ a số họ c Mọ i số nguyên dư ng đề u biể u diễ n đư ợ c mộ t cách nhấ t dư i ng tích số ngun tố , thừ a số nguyên tố đư ợ c viế t theo thứ tự không giả m VD: 2000=2.2.2.2.5.5.5=24.53 Chứ ng minh cầ n bổ đề sau Email: nguyenducchungk18@gmail.com ĐT: 0985894088 DeThiMau.vn Bổ đề : Giả sử a,b,c số nguyên dư ng, (a, b) 1, a | bc a | c Hệ : Nế u p | a1 an , p số nguyên tố a1 , , an số nguyên dư ng, tồ n tạ i i, cho | ( Chứ ng minh quy nạ p) 3.2 Đị nh lý Fermat bé Giả sử p số nguyên tố a số nguyên dư ng vớ i a không chia hế t cho p Khi a p 1(mod p ) ( hoặ c viế t ap 1 0(mod p ), a p a (mod p ) , a b(mod c) nghĩa a chia cho c dư b) 3.3 Đị nh lý Wilson Vớ i mọ i số nguyên tố p ta có: ( p 1)! 0(modp) Đả o: Giả sử n số nguyên dư ng cho (n 1)! 0(modn) n số nguyên tố 3.4 Tổ ng số c Giả sử số nguyên dư ng n đư ợ c phân tích thừ a số nguyên tố n p1α1 p2α psα s Khi σ ( n) p1α1 p2α pα s s p1 p2 ps τ ( n) (α1 1)(α 1) (α s 1) Trong kí hiệ u σ (n) tổ ng c củ a n τ (n) số c củ a n 3.5 Số hoàn o Số nguyên dư ng n đư ợ c gọ i số hoàn o nế u 2n σ (n) 3.5.1 Đị nh lý Số nguyên dư ng chẵ n n số hoàn o nế u nế u n 2m (2m 1) m số nguyên dư ng cho 2m số nguyên tố 3.6 Số nguyên tố Mersenne Email: nguyenducchungk18@gmail.com ĐT: 0985894088 DeThiMau.vn Nế u m số nguyên dư ng M m Mersenne thứ m 3.6.1 Đị nh lý 2m đư ợ c gọ i số Nế u 2m số nguyên tố m số nguyên tố Chú ý: Đả o lạ i không Nế u ta tìm đư ợ c số nguyên tố p để p số nguyên tố ta gọ i p số nguyên tố Mersenne 3.6.2 Bổ đề Giả sử d,n số nguyên dư ng cho d|n Khi (2n 1) (2d 1) 3.6.3 Đị nh lý Giả sử p số nguyên tố lẻ Khi mọ i c củ a số Mersenne M p p đề u có ng 2kp+1, k số nguyên dư ng Bài tậ p Ta biế t rằ ng có 25 số nguyên tố nhỏ hơ n 100 Tổ ng củ a số nguyên tố số chẵ n hay số lẻ Tổ ng củ a ba số nguyên tố bằ ng 1012 Tìm số nguyên tố nhỏ nhấ t ba số nguyên tố Tổ ng củ a số nguyên tố bằ ng 2011 đư ợ c khơng? Tìm hai số tự nhiên cho tổ ng tích củ a chúng đề u số nguyên tố Tìm số nguyên tố có ba chữ số , biế t rằ ng nế u viế t số theo thứ tự ngư ợ c lạ i ta đư ợ c mộ t số lậ p phư ng củ a mộ t số tự nhiên Tìm số tự nhiên có chữ số , chữ số hàng nghìn bằ ng chữ số hàng n vị , chữ số hàng trăm bằ ng chữ số hàng chụ c số đư ợ c viế t dư i ng tích củ a ba số nguyên tố liên tiế p Email: nguyenducchungk18@gmail.com ĐT: 0985894088 DeThiMau.vn Cho p số nguyên tố lớ n hơ n 3, biế t p s ố nguyên tố Chứ ng minh rằ ng p Tìm số nguyên tố chia 30 dư r Tìm r , biế t r không số nguyên tố Giả sử p số nguyên tố Chứ ng minh rằ ng a) Nế u a p a p b) Chứ ng minh rằ ng nế u b p, a b p a p 2011 không phả i số nguyên tố 10.Chứ ng minh rằ ng A 22 11.Tìm tấ t cặ p số nguyên tố p, q cho p 2q * 12.Cho n , biế t rằ ng n 10, n 10, n 60 đề u số nguyên tố , ng minh n 90 s ố nguyên tố 13.Tìm tât số nguyên tố p cho p 1994 mộ t số nguyên tố 14.Trong mỗ i trư ng hợ p sau, tìm tấ t số nguyên dư ng n cho số sau số nguyên tố a) n, n 10, n 14 b) n, n 4, n 14 c) n,2n 1,4n d) n, n 2, n 15.Tìm số nguyên tố p để p 2, p 6, p 8, p 14 số nguyên tố 16.Tìm số nguyên dư ng n cho n 1, n 3, n 7, n 9, n 13, n 15 đề u số nguyên tố 17.Tìm số nguyên tố n cho 2n n số nguyên tố 18.Cho n số nguyên dư ng lớ n hơ n Chứ ng minh rằ ng dãy n 1, n 2, , n 30 có nhiề u nhấ t số nguyên tố 19.Tìm tấ t số tự nhiên n cho dãy n 1, n 2, , n 10 có nhiề u số nguyên tố nhấ t 20 Cho biế t p p 1là số nguyên tố , ng minh rằ ng p hợ p số 21 Chứ ng minh rằ ng nế u 2n số nguyên tố (n 2) 2n hợ p số Email: nguyenducchungk18@gmail.com ĐT: 0985894088 DeThiMau.vn 22 Chứ ng minh rằ ng nế u ba số a, a n, a 2n đề u số nguyên tố lớ n hơ n n * 23.Tìm số n , cho n3 n n 1là số nguyên tố - Email: nguyenducchungk18@gmail.com ĐT: 0985894088 DeThiMau.vn ... k số nguyên dư ng Bài tậ p Ta biế t rằ ng có 25 số nguyên tố nhỏ hơ n 100 Tổ ng củ a số nguyên tố số chẵ n hay số lẻ Tổ ng củ a ba số nguyên tố bằ ng 1012 Tìm số nguyên tố nhỏ nhấ t ba số nguyên. .. τ (n) số c củ a n 3.5 Số hoàn o Số nguyên dư ng n đư ợ c gọ i số hoàn o nế u 2n σ (n) 3.5.1 Đị nh lý Số nguyên dư ng chẵ n n số hoàn o nế u nế u n 2m (2m 1) m số nguyên dư ng cho 2m số nguyên. .. để p 2, p 6, p 8, p 14 số nguyên tố 16.Tìm số nguyên dư ng n cho n 1, n 3, n 7, n 9, n 13, n 15 đề u số nguyên tố 17.Tìm số nguyên tố n cho 2n n số nguyên tố 18.Cho n số nguyên dư ng lớ n hơ n