Chuyên đề luyện thi đại học môn toán Mở đầu về nguyên hàm (tiếp)43246

Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu tham khảo: 01 MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng I NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ Vi phân hàm số y = f(x) kí hiệu dy cho cơng thức dy = df ( x ) = y ' dx = f '( x )dx Ví dụ: d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx Chú ý: Từ công thức vi phân ta dễ dàng thu số kết sau d ( x ) = 2dx ⇒ dx = d ( x ) d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x ) x  1 xdx = d   = d x = d x ± a = − d a − x   2   ( ) ( ) ( )  x3  1 x dx = d   = d x3 = d x3 ± a = − d a − x3   3   dx d ( ax + b ) dx = = d ( ln ax + b )  → = d ( ln x ) ax + b a ax + b a x 1 sin ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − d ( cos ( ax + b ) )  → sin xdx = − d ( cos2 x ) a a 1 cos ( ax + b ) dx = cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = d ( sin ( ax + b ) )  → cos xdx = d ( sin x ) a a 1 eax +b dx = e ax +b d ( ax + b ) = d e ax +b  → e2 x dx = d e x a a d ( ax + b ) 1 dx dx = = d  tan ( ax + b )   → = d ( tan x ) 2 cos ( ax + b ) a cos ( ax + b ) a cos x ( ) ( ) ( dx sin ( ax + b ) = ( ) ) ( ) d ( ax + b ) 1 dx = − d cot ( ax + b )   → = − d ( cot x ) a sin ( ax + b ) a sin x II KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM Cho hàm số f(x) liên tục khoảng (a; b) Hàm F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) F’(x) = f(x) viết ∫ f ( x)dx Từ ta có : ∫ f ( x)dx = F ( x) Nhận xét: Với C số ta ln có (F(x) + C)’ = F’(x) nên tổng quát hóa ta viết ∫ f ( x)dx = F ( x) + C , F(x) + C gọi họ nguyên hàm hàm số f(x) Với giá trị cụ thể C ta nguyên hàm hàm số cho Ví dụ: Hàm số f(x) = 2x có ngun hàm F(x) = x2 + C, (x2 + C)’ = 2x Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm F(x) = –cosx + C, (–cosx + C)’ = sinx III CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM Cho hàm số f(x) g(x) liên tục tồn nguyên hàm tương ứng F(x) G(x), ta có tính chất sau: a) Tính chất 1: ( ∫ f ( x)dx )′ = f ( x) Chứng minh: Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Do F(x) nguyên hàm hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có ( ∫ f ( x)dx )′ = ( F ( x) )′ = f ( x) ⇒ đpcm ( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx b) Tính chất 2: Chứng minh: Theo tính chất ta có, ( ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx )′ = ( ∫ f ( x)dx )′ + ( ∫ g ( x)dx )′ = f ( x) + g ( x) Theo định nghĩa ngun hàm vế phải nguyên hàm f(x) + g(x) ( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx c) Tính chất 3: ( ∫ k f ( x)dx ) = k ∫ f ( x)dx, ∀k ≠ Từ ta có Chứng minh: ( ) ′ Tương tự tính chất 2, ta xét k ∫ f ( x)dx = k f ( x)  → ∫ k f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ⇒ đpcm ∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du d) Tính chất 4: Tính chất gọi tính bất biến nguyên hàm, tức nguyên hàm hàm số phụ thuộc vào hàm, mà không phụ thuộc vào biến IV CÁC CƠNG THỨC NGUN HÀM Cơng thức 1: ∫ dx = x + C Chứng minh: Thật vậy, ( x + C )′ = ⇒ ∫ dx = x + C Chú ý: Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ du = u + C Công thức 2: ∫ x n dx = x n +1 +C n +1 Chứng minh:  x n +1 ′ x n +1 Thật vậy,  + C  = x n ⇒ ∫ x n dx = +C n +1  n +1  Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ u n du = u n +1 +C n +1 dx dx du + Với n = − ⇒ ∫ = 2∫ = x + C ← →∫ =2 u +C 2 x x u dx du →∫ = − + C + Với n = −2 ⇒ ∫ = − + C ← x x u u Ví dụ: x3 a) ∫ x dx = + C x5 b) ∫ ( x + x ) dx = ∫ x dx + ∫ xdx = + x + C c) ∫ − x − x2 x3 x2 x x2 x2 dx = ∫ dx − ∫ xdx = ∫ x dx − = − + C = 33 x − + C x x 2 ( x + 1) + C u n du d) I = ∫ ( x + 1) dx = ∫ ( x + 1) d ( x + 1)  →I = 5 Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng e) I = ∫ (1 − 3x ) f) I = ∫ (1 − 3x ) + C 2010 u n du dx = − ∫ (1 − x ) d (1 − x )  →I = − 2011 du d ( x + 1) u 1 = ∫ → I = − +C =− +C 2 ( x + 1) 2x + ( x + 1) 2011 2010 dx ( x + 1) g) I = ∫ x + 5dx = Công thức 3: ∫ 3 1 +C = +C x + d x + ⇒ I = x + x + 5 5 ( ) ( ) ( ) 4∫ dx = ln x + C x Chứng minh: dx Thật vậy, ( ln x + C )′ = ⇒ ∫ = ln x + C x x Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta du ∫u = ln u + C  dx = ln x + k + C d ( ax + b ) dx  ∫ 2x + k = = ln ax + b + C  → + ∫ ax + b a ∫ ax + b a  dx = − ln k − x + C  ∫ k − x Ví dụ: 1 dx x  a) ∫  x3 + +  dx = ∫ x3 dx + ∫ dx + ∫ = + x + ln x + C x x x x  du dx d ( 3x + ) u = ∫ → I = ln 3x + + C 3x + 3x + dx 2x2 + x + 3 d ( x + 1)   dx = ∫  x + = x2 + ∫ = x + ln x + + C c) ∫  dx = ∫ xdx + 3∫ 2x + 2x +  2x + 2x +  b) I = ∫ Công thức 4: ∫ sinxdx = − cos x + C Chứng minh: Thật vậy, ( − cos x + C )′ = sin x ⇒ ∫ sinxdx = − cos x + C Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ sinudu = − cos u + C + ∫ sin ( ax + b ) dx = 1 sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − cos ( ax + b ) + C  → ∫ sin xdx = − cos2 x + C ∫ a a Ví dụ: dx  d ( x − 1)  a) ∫  x x + s inx + = ∫ x dx − cos x + ∫ =  dx = ∫ x xdx + ∫ sinxdx + ∫ 2x −1  2x −1 2x −1  2x = − cos x + ln x − + C dx  d ( x − 3)  b) ∫  sin x + = ∫ sin xd ( x ) + ∫ = − cos2 x + ln x − + C  dx = ∫ sin xdx +3∫ 4x −  4x − 4x −  x   c) ∫  sin + sinx + sin x  dx   1  x x Ta có d   = dx ⇒ dx = 2d   ; d ( x ) = 2dx ⇒ dx = d ( x ) ; d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x ) 2 2 T : x x x x 1   ∫  sin + sinx + sin 3x  dx = ∫ sin dx + ∫ sin xdx + ∫ sin 3xdx = 2∫ sin d   + ∫ sin xd ( x ) + ∫ sin 3xd ( 3x ) Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng x 1 = −2cos − cos2 x − cos3x + C 2 Công thức 5: ∫ cos xdx = sin x + C Chứng minh: Thật vậy, ( sinx + C )′ = cos x ⇒ ∫ cosxdx = sinx + C Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ cosudu = sin u + C + ∫ cos ( ax + b ) dx = 1 cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = sin ( ax + b ) + C  → ∫ cos2 xdx = sin x + C ∫ a a Ví dụ: 4x −     a) ∫  cos x − sin x +  dx = ∫ cos xdx − ∫ sin xdx + ∫  −  dx = sinx + cos x + x − 5ln x + + C x +1  x +1   x2 b) ∫ ( cos x + sin x − x ) dx = ∫ cos2 xdx + ∫ sinxdx − ∫ xdx = sin x − cos x − + C 2 − cos2 x 1 1 1  c) ∫ sin xdx = ∫ dx = ∫  − cos2 x  dx = x − ∫ cos2 xd ( x ) = x − sin x + C 2 4 2  Công thức 6: ∫ dx = tan x + C cos x Chứng minh: Thật vậy, ( tan x + C )′ = dx ⇒∫ = tan x + C cos x cos x Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta + dx d ( ax + b ) du ∫ cos u = tan u + C dx = tan x + C 2x ∫ cos ( ax + b ) = a ∫ cos ( ax + b ) = a tan ( ax + b ) + C → ∫ cos 2 Ví dụ: dx   a) ∫  + cos x − sin x  dx = ∫ + ∫ cos xdx − ∫ sin xdx = tan x + sin x + cos x + C 2 cos x  cos x    dx dx d ( x − 1) d (5 − 4x) + + 2∫ = ∫ − ∫ b) I = ∫   dx = ∫ 2 cos ( x − 1) − x cos ( x − 1) − 4x  cos ( x − 1) − x  du 1 tan ( x − 1) − ln − x + C 2 du dx d (3 − 2x ) cos u c) I = ∫ =− ∫  → I = − tan ( − x ) + C 2 cos ( − x ) cos ( − x )  →= cos2 u Công thức 7: ∫ dx = − cot x + C sin x Chứng minh: Thật vậy, ( − cot x + C )′ = dx ⇒ ∫ = − cot x + C sin x sin x Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta + dx d ( ax + b ) du ∫ sin u = − cot u + C dx = − cot x + C 2x ∫ sin ( ax + b ) = a ∫ sin ( ax + b ) = − a cot ( ax + b ) + C → ∫ sin 2 Ví dụ: Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng dx x6   a) ∫  cos x − + x5  dx = ∫ cos xdx − ∫ + ∫ x dx = sin x + cot x + + C sin x sin x   du dx d (1 − x ) 1 sin u b) I = ∫ cot (1 − x )  + C = cot (1 − 3x ) + C =− ∫  → I = − − sin (1 − 3x ) sin (1 − x ) 3 x d  du dx x sin u = ∫    → I = −2 cot   + C c) I = ∫ x x     2 sin   sin   2 2 Công thức 8: ∫ e x dx = e x + C Chứng minh: Thật vậy, ( e x + C )′ = e x ⇒ ∫ e x dx = e x + C Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ eu du = eu + C  x+ k e dx = e x + k + C ∫  1  + ∫ e ax + b dx = ∫ e ax + b d ( ax + b ) = e ax + b + C  → a a  e k − x dx = − e k − x + C  ∫ Ví dụ:  dx 1 d ( 3x )  a) ∫  e −2 x +1 − + dx = ∫ e −2 x +1dx − ∫ + ∫ dx = − ∫ e −2 x +1d ( −2 x + 1) − ∫ + 4.2 x  sin 3x sin x sin x x x  1 = − e −2 x +1 + cot 3x + x + C b) ∫ ( 4e x+2 + cos (1 − 3x ) ) dx = ∫ e3 x + dx + ∫ cos (1 − x ) dx = 3x+2 e d ( 3x + ) − ∫ cos (1 − x ) d (1 − x ) ∫ 3 = e3 x + − sin (1 − x ) + C 3 Công thức 9: ∫ a x dx = ax +C ln a Chứng minh:  ax ′ a x ln a ax +C = = a x ⇒ ∫ a x dx = +C Thật vậy,  ln a ln a  ln a  Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ a u du = a u + C + ∫ a kx + m dx = kx + m a d ( kx + m ) = a kx + m + C ∫ k k Ví dụ: 3x 2x 23 x 32 x a u du d x + d x  → I = + +C 3 ( ) ∫ ( ) 3∫ 3ln 2ln 3 21− x x + − e x + ) dx = ∫ 21− x dx − ∫ 3e x + dx = − ∫ 21− x d (1 − x ) − ∫ e x + d ( x + 3) = − + e +C 2ln a) I = ∫ ( 23 x + 32 x ) dx = ∫ 23 x dx + ∫ 32 x dx = b) ∫ (2 1− x BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1) I1 = ∫(x ) + x dx   2) I =  − 3 x  dx x  Học trực tuyến tại: www.moon.vn ∫ 3) I = DeThiMau.vn ∫( ) x − x3 + x3 dx Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng  x 4) I =  − x +  dx  x   x ∫ 7) I = ∫ ( ) x −1   13) I13 = ∫  x −  dx x  ( 6) I = ∫ dx x x + x3 − x + 10) I10 = ∫ dx x2 16) I16 = ∫   5) I = ∫  x + dx x  x − 24 x )( x − x ) dx 8) I = ∫ ( x − 1) dx 11) I11 = ∫ 9) I = ∫ x2 − x x − x dx x x4 + dx x2 (x ∫ + 4) dx x2   12) I12 = ∫  −  dx x  x   14) I14 = ∫  x +  dx x  17) I17 = dx (2 x − 3)5 ( x − 3x 15) I15 = ∫ 18) I18 = ∫ ( x − 3) x x +1 ) dx dx x  x π  19) I19 = sin  +  dx 20) I 20 =  sin x + sin  dx 3 2 7    π x +1 x 22) I 22 =  sin  3x +  − sin  dx 23) I 23 = ∫ cos dx 4    dx dx 26) I 26 = ∫ 27) I 27 = ∫ 2 cos x cos ( x − 1) x   21) I 21 = ∫  sin + x  dx   x 24) I 24 = ∫ sin dx 29) I 29 = ∫ tan x dx 30) I 30 = ∫ cot x dx 31) I 31 = ∫   35) I 35 = ∫  sin x −  dx − 5x   x 38) I 38 = ∫ dx − 5x 3x + x + x + 41) I 41 = ∫ dx x+2 44) I 44 = e−2x +3dx   33) I 33 = ∫  x + + cot x  dx x   x+2 36) I 36 = ∫ dx x−3 x + x + 11 39) I 39 = ∫ dx x+3 x3 + x − 42) I 42 = ∫ dx 2x + 45) I 45 = ∫  cos(1 − x) + e3 x −1  dx   34) I 34 = ∫  x +  dx 3x +   2x −1 37) I 37 = ∫ dx 4x + 2x2 − x + 40) I 40 = ∫ dx x −1 x2 + 6x + 43) I 43 = ∫ dx 2x + 46) I 46 = ∫ x.e − x +1dx   47) I 47 = ∫  e− x +  dx sin (3 x + 1)    e− x  48) I 48 = ∫ e x  +  dx cos x   49) I 49 = ∫ ( 21− x − e x + ) dx ∫ ∫ ∫ 32) I 32 = ∫ dx − cos x ∫ 50) I 50 = ∫ dx 2x Học trực tuyến tại: www.moon.vn 51) I 51 = ∫ 2x dx 7x 28) I 28 = ∫ ( tan x + x ) dx dx sin ( x + 3) ∫ 52) I 52 = 32 x +1 dx DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 .. .Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Do F(x) ngun hàm hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có ( ∫ f ( x)dx )′ = (... 1) dx = ∫ ( x + 1) d ( x + 1)  →I = 5 Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng e) I = ∫ (1 − 3x...  + ∫ sin xd ( x ) + ∫ sin 3xd ( 3x ) Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng x 1 = −2cos − cos2