Bài giảng môn toán lớp 12 Chuyên đề hàm số42894

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ Câu 1) Cho hàm số y = � Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng �‒1 đồ thị (C) đến tiếp tuyến lớn x  2mx   3m Tìm m để hàm số (*) có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung xm Câu 2) (A/2005) Cho y = Câu 3) (A/2013) y   x  3x  3mx  (1) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến khoảng (0; +  ) Câu 4) Cho hàm số: y  x  (m  1) x  2(m  4) x  C m  Với giá tri m C m  đạt cực đại, cực tiểu x1 , x cho: x + x 2  Câu 5) (B/2013) Cho hàm số y  x  3(m  1) x  6mx (1), với m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A B cho đường thẳng AB vng góc với đường thẳng y = x +2 Câu 6) Cho hàm số : y = -x3 + 3x2 + 3(m2 – 1)x – 3m2 – (1), m tham số Tìm M để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cách gốc toạ độ Câu 7) Với tham số m, gọi (Cm) đồ thị hàm số: (1) y  x  (3m  1) x  2m( m  1) x  m Chứng minh m thay đổi, đường thẳng (m): y  mx  m cắt (Cm) điểm A có hồnh độ khơng đổi Tìm m để (m) cắt (Cm) hai điểm khác A, mà tiếp tuyến (Cm) hai điểm song song với Câu 8) Cho hàm số y  2x 1 x 1 Chứng minh đường thẳng d: y = - x + truc đối xứng (C) Câu 9) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + có đồ thị (Cm); ( m tham số Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng: y = ba điểm phân biệt C(0;1), D, E cho tiếp tuyến (Cm) D E vng góc với Câu 10) Cho hàm số: y  2x  x2 (1) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) , biết tiếp tuyến cắt đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang A, B cho AB  IB , với I (2, 2) Câu 11) Cho hàm số y  mx  (m  1) x  (4  3m) x  có đồ thị (Cm) Tìm tất giá trị m cho đồ thị (Cm) tồn điểm có hồnh độ âm mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (L): x+2y3=0 Câu 12) Cho hàm số y  x   m  1 x  2m  có đồ thị  Cm  Xác định tham số m để hàm số có cực trị tạo thành đỉnh tam giác Câu 13) (TT Chuyên Armsterdam lần / 2014) 2 Cho hàm số y  x  3mx  3(m  1) x  m  m (1) DeThiMau.vn Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến góc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến góc tọa độ O Câu 14) Cho hàm số y = 2x  x 1 Tìm m để đường thẳng d: y = mx + m + với tiệm cận đứng (C) ( với m tham số ) cắt (C) hai điểm phân biệt nằm phía đối x3 11 Câu 15) Cho hàm số y =  + x2 + 3x  3 Tìm đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng qua trục tung Câu 16) (Dự Bị Khối A / 2009) Cho hàm số y   x  4x  Chứng minh tích khoảng cách từ điểm đồ thị hàm số đến x2 đường tiệm cận số Câu 17) Cho hàm số y  x  2mx  x (1) đường thẳng (  ) : y  2mx  (với m tham số) 1/ Khi m  Gọi đồ thị hàm số cho (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) tiếp điểm M, biết khoảng cách từ M đến trục tung 2/ Tìm m để đường thẳng (  ) đồ thị hàm số (1) cắt ba điểm phân biệt A, B, C cho diện tích tam giác OBC (với A điểm có hồnh độ khơng đổi O gốc toạ độ Câu 18) Cho hàm số y  x3  x  m (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B cho góc AOB = 1200 Câu 19) Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + (3m2 – 3)x + m2 + (1), với m tham số Định m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị cách trục Ox Câu 20) Cho hàm số y  x  (1  2m) x  ( m  m) x  m  2 1 , m tham số thực Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) điểm có hồnh độ song song với đường thẳng có phương trình y  12 x  20 2x  hai điểm A, B phân biệt đối xứng với qua đường thẳng y = 3x + x 1 Câu 22) Cho hàm số y  f ( x)  x  x Câu 21) Tìm đồ thị hàm số y  Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A B có hồnh độ a b Tìm điều kiện a b để hai tiếp tuyến (C) A B song song với Câu 23) Cho hàm số : y = x4 – 5x2 + (C) Tìm tất điểm M đồ thị (C) hàm số cho tiếp tuyến (C) M cắt (C) hai điểm phân biệt khác M Câu 24) Cho hàm số y  x  x  Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến (C) A B song song với độ dài đoạn thẳng DeThiMau.vn AB x2 có đồ thị (C) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến (C) M vng góc với x2 đường thẳng y  x  Câu 26) y  x  x  x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến qua Câu 25) Cho y  gốc tọa độ O Câu 27) Cho hàm số: y  2x  có đồ thị ( C ).Xác định m để đường thẳng (d): y  x  m cắt đồ thị (C) hai x2 điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích (với O gốc tọa độ) 2 Câu 28) Cho hàm số y  x  3mx  3(m  1) x  m  m (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại , điểm cực tiểu khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến gốc toạ độ O lần khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc toạ độ O Câu 29) Cho hàm số y  x  3mx  (m  1) x  (1) với đồ thị (Cm)  m  R  Tìm m để đường thẳng (d): y  x  cắt đồ thị (Cm) ba điểm A, B, C phân biệt cho điểm C(0;1) nằm A B đồng thời đoạn thẳng AB có độ dài Câu 30) Cho hàm số y  55 2x  x 1 Viết phương trình đường thẳng cắt đồ thị (C) hai điểm A, B phân biệt cho A B đối xứng qua đường thẳng có phương trình: x + 2y +3= Câu 31) Cho hàm số y  x  3(m  1) x  6mx (1), với m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A B cho đường thẳng AB vng góc với đường thẳng y = x +2 Câu 32) (THPT Chuyên Vinh – Nghệ An) Cho hàm số y  x  (m  2) x  3(m  1) x  (1), m tham số Tìm m  để đồ thị hàm số (1) có giá trị cực đại, giá trị cực tiểu yCĐ , yCT thỏa mãn yCĐ  yCT  Câu 33) Cho hàm số: y  x 1 (C) Tìm điểm M (C) cho tiếp tuyến với (C) M tạo với hai trục 2( x  1) tọa độ tam giác có trọng tâm nằm đường thẳng 4x + y = Câu 34) Cho hàm số y  x  x  (1) Tìm m để đường thẳng : y  (2m  1) x  4m cắt đồ thị (C) hai điểm M, N phân biệt M, N với điểm P ( 1;6) tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ làm trọng tâm Câu 35) Cho hàm số y  x  x  mx (1), với m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng x  y   DeThiMau.vn Câu 36) (TT Chuyên Vĩnh Phúc – KB / 2013) 1 x  x  có đồ thị  C  Gọi M điểm thuộc đồ thị  C  có hồnh độ x  Tìm giá 3 9m  trị tham số m để tiếp tuyến với  C  M song song với đường thẳng d : y  m  x  Cho hàm số y    Câu 37) (TT Chuyên LTV – ĐN / KA/ 2013) 2x - Cho hàm số y = Chứng minh với m, đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B x+1 Tìm giá trị m cho hai tam giác AMN BMN có diện tích với M (6; 0), N (- 2; 4) Câu 38) (TT Chuyên LTV – ĐN / KD / 2013) 2x  Cho hàm số y  (C).Với điểm M thuộc đồ thị (C), tiếp tuyến M cắt tiệm cận Avà B x 1 Gọi I giao điểm hai tiệm cận Tìm vị trí M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ Câu 39) Cho hàm số y  x  2mx  m  (1) , với m tham số thực Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp Câu 40) Cho hàm số : y = x3 – 3x + Định m để phương trình : x3 – 3x + =���∜2(m2+1) có nghiệm thực phân biệt _LỚI GIẢI VÀ ĐÁP SỐ Câu 1) Giả sử M(x0 ; y0) thuộc (C)  y0  y x0 Khi tiếp tuyến với đồ thị (C) M có phương trình : x0  x0  ( x  x0 ) () x0   x0  1 Ta có d(I ;  ) = x0  1 Xét hàm số f(t) = ( x0  1) 2t 1 t4 (t  0) ta có f’(t) = (1  t )(1  t )(1  t ) (1  t )  t 4 DeThiMau.vn f’(t) = t = Bảng biến thiên từ bảng biến thiên ta có d(I ;  ) lớn t = hay + x + f'(t) - f(t)  x0  x0      x0  + Với x0 = ta có tiếp tuyến y = -x + Với x0 = ta có tiếp tuyến y = -x+4 2 Câu 2) Ta coù y '  x  2mx  m  x  m Hàm số (*) có cực trị nằm phía trục tung  y '  có nghiệm trái daáu  x1x  P  m    1  m  Câu 3) y’ = -3x2 + 6x+3m, y’ =  m= x  x =g(x) yêu cầu toán  y’  0, x   0;   2  m  x  x x   0;      m  x  x , x   0;   x 0  m  1  g 1 Câu 4) Để hàm số có điểm cực trị  phương trình y' = có nghiệm phân biệt  3x + (m + 1)x - (m + 4) = (1) có nghiệm phân biệt >0  (m + 1) + 12(m + 4) >  m + 14m + 49 >  (m + 7) >  (m  7) (*) Theo hệ thức Vi-et phương trình (1) , ta có x + x = x x = Yêu cầu toán  x + x 2   2 +  -7  m  -1 So điều kiện (*), ta nhận   m  1 Vậy   m  1 thỏa yêu cầu toán DeThiMau.vn Câu 5) y’ = 6(x2 – (m + 1)x + m)) y có cực trị  y’ = có nghiệm phân biệt  (m + 1)2 – 4m >  m  1 Ta có: y = (2 x  m  1) y ' - (m – 1)2x + m2 + m Phương trình đường thẳng AB: y = -(m – 1)2x + m2 + m Để AB vng góc với đường thẳng y = x +2 tích hai hệ số góc -1  -(m – 1)2 = -1  m = hay m = (Thỏa mãn m  1) Vậy có hai giá trị m cần tìm thỏa mãn tốn là: m = m = Câu 6)  ’ = m2 >  m  A(1 – m ; -2 – 2m3), B(1 + m;– + 2m3) O cách A B  OA = OB  8m3 = 2m  m =  Câu 7) Phương trình hồnh độ giao điểm (m) (Cm) viết thành: ( x  1)( x  3mx  2m )   ( x  1)( x  m)( x  2m)  2  giao điểm (m) (Cm) gồm A(1;  m  m ), B (m;0) C (2m; m ); số đó, A điểm có hồnh độ khơng đổi (khi m thay đổi) Đặt f m ( x)  x  (3m  1) x  2m(m  1) x  m Các tiếp tuyến (Cm) B C đường thẳng: ( B ) : y  f m '( xB ) x  yB  f m '( xB ) xB , ( C ) : y  f m '( xC ) x  yC  f m '( xC ) xC Ta cần tìm m để B C khác A  B / /  C ; tức là: m  1  xB  x A  x  x  C m  1 A   m     f m '( xB )  f m '( xC )   m  2m  2m m3  4m3  3m  yB  f m '( xB ) xB  yC  f m '( xC ) xC  x  X 1 y  Y  Câu 8) Giao điểm hai tiệm cận I(- 1;2) Chuyển hệ trục toạ độ Oxy > IXY:  Hàm số cho trở thành : Y =  hàm số đồng biến nê (C) đối xứng qua đường thẳng Y = - X X Hay y – = - x –  y = - x + Câu 9) Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) đường thẳng y = là: x3 + 3x2 + mx + =  x(x2 + 3x + m) =   x   x  3x  m DeThiMau.vn (2) Phương trình đường thẳng (L) có hệ số góc  nên hệ số góc tiếp tuyến cần tìm k=2 Lúc x hồnh độ* tiếp ng thẳng y = C(0;1), D, E phân biệt: (C )điểm cắt đườ m f '(x) trình (2) mxcó2 2 2(m m 1)xxD, (4  Phương nghiệ xE3m)   mx  2(m  1)x   3m  (1) Bài tốn trở thành tìm tấtcả mcác  0m cho phương trình (1) có nghiệm âm     4m    (*)  0    m  m    Lúc tiếp tuyến D, E có hệ số góc là: kD=y’(xD)= 3x 2D  6x D  m  (3x D  2m); kE=y’(xE)= 3x 2E  6x E  m  (3x E  2m) Các tiếp tuyến D, E vuông góc khi: kDkE = –1 (3xD + 2m)(3xE + 2m) =-1 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1     65 m   9m + 6m(–3) + 4m2 = –1 (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo định lý Vi-ét)  4m2 – 9m + =     65 m    So s¸nhĐk (*): m =   65  Câu 10)  2x   Gọi M  x0 ;   (C ) x0    PTTT (C) M: y    x0   x x02  x0   x0   AB  IB tam giác AIB vuông I  IA = IB nên hệ số góc tiếp tuyến k = k = -1 1  nên ta có hệ số góc tiếp tuyến k = -1 y/   x  2 Do  1  x0  1  x0   1    x0   có hai phương trình tiếp tuyến: y  x  ; y  x  Câu 11) DeThiMau.vn Nếu m=0 (1)  2 x  2  x  loại Nếu m  dễ thấy phương trình (1) có nghiệm x  hay x=  3m m m   3m 0 để có nghiệm âm m  m  Vậy m  hay m  (C) có tiếp điểm có hồnh độ âm thỏa u cầu đề Câu 12)   Ta có y  x   m  1 x  x x   m  1 x   y     x   m  1 nên hàm số có cực trị m >  Với đk m > hàm số có điểm cực trị là: A  0; 2m  1 ,B Ta có:      m  1 ; 4m  10m  ,B   m  1 ; 4m  10m  AB  AC   m  1  16  m  1 BC   m  1 So sánh với điều kiện có cực trị ta suy m   3 Câu 13) Ta có y ,  x  6mx  3(m  1) Để hàm số có cực trị PT y ,  có nghiệm phân biệt  x  2mx  m   có nhiệm phân biệt     0, m Cực đại đồ thị hàm số A(m-1;2-2m) cực tiểu đồ thị hàm số B(m+1;-2-2m) DeThiMau.vn Theo giả thiết ta có  m  3  2 OA  2OB  m  6m      m  3  2 Vậy có giá trị m m  3  2 m  3  2 Câu 14) Pt hoành độ giao điểm (C) d là: 2x  = mx+ m+ x 1 2mx  x  2m     2mx2 -3x-2m-3=0 (1) x   Ycbt  (1) có nghiệm phân biệt x1,x2 < x1,x2 > (1) có nghiệm phân biệt 2m     (4 m 3)      Khi nghiệm (1) : x1 = -1 x2 = 1+  m0   3 (*) m   3 Do x1 = -1 < nên ycbt  1+ <  m < 2m 2m Câu 15) x   x   y1  y Hai điểm M(x1; y1), N(x2; y2)  (C) đối xứng qua Oy khi:   x   x1     x 13 x 32 11 11 x x        x 32  3x  1  3 3  x1  x  3   x  3  x2  Vậy hai điểm thuộc đồ thị (C) đối xứng qua Oy là: M(3; 16 16 ),N(-3; ) 3 Câu 16) Gọi (C ) đồ thị hàm số x2 Phương trình tiệm cận xiên y   x   x  y   M(x,y)  ( C )  y   x   Khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên xy2   d1 x2 DeThiMau.vn Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d  x  Ta có d1d  7 x2  : số x2 Câu 17) Khi m  , hàm số y  x3  x (C) Gọi M  x0 ; x03  x0  Tiếp tuyến (d) M có phương trình: y   x02  3  x  x0   x03  x0 (1) Khoảng cách từ M đến trục tung  x0   x0  2 + Nếu x0  , phương trình (1) có dạng: y  x  16 (d1 ) x0  2 , phương trình (1) có dạng: y  x  16 (d ) Vậy có hai tiếp tuyến (d1 ) (d ) thoả mãn yêu cầu Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số (1) (  ) nghiệm phương trình: x3  2mx  x  2mx   x3  2mx  (2m  3) x   x   ( x  1)  x  (2m  1) x      (2 1) 0(2) x m x      Vậy (  ) đồ thị hàm số (1) cắt ba điểm phân biệt  phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt (2m  1)   x 1   m  1  2m    Khi đó, ba giao điểm A có hồnh độ B( x1 ;2mx1  2), C( x2 ;2mx2  2) , x1 ; x nghiệm phương trình (2) nên x1  x  2m  1, x1x  2 Tam giác OBC có diện tích S  BC.d Trong d = d(O;  ) = 1+4m + Nếu BC  ( x2  x1 )  (2mx2  2mx1 )  ( x1  x2 )  x1 x2   4m  1 2  BC   2m  1  8  4m  1  S   2m  1    m  Vậy S    4m  4m    Đối chiếu ĐK, Kết luận: m  1 m    Câu 18)  x  2  y  m  Ta có: y’ = 3x2 + 6x; y' =   x   y  m Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) B(2 ; m + 4)   Ta có: OA  (0; m), OB  (2; m  4) Để ฀AOB  1200 cos AOB   10 DeThiMau.vn  m(m  4) m   (m  4)  4  m  12     12   m  m   Câu 19) y' = 3x2 – 6mx + 3m – 3 y' =  x2 – 2mx + m2 –   x  m   y  m  m  3m   x  m   y  m  m  3m  d(A, Ox) = d(B, Ox)  (m3 + m2 – 3m – 1)2 = (m3 + m2 – 3m + 3)2  – 8(m3 + m2 – 3m) – =  8m3 + 8m2 – 24m + =  m = hay m = –1 ± Câu 20) y '  x  2(1  2m) x  m  m ;y'(2) = m  9m  ; Để tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) điểm có hồnh độ song song với đường thẳng có phương trình y  12 x  20  y '(2)  12  m  9m   12 m   m  +)Với m  Ta có phương trình tiếp tuyến y  12 x  20 (Thoả mãn ) +)Với m = Ta có phương trình tiếp tuyến y  12 x  34 (Thoả mãn ) Câu 21) Giả sử A(x1; y1), B(x2; y2) (x1< x2 (x1,x2≠-1) y1  y  x1  x (x1  1)(x  1) x  x2 3(x1  x  2) Trung điểm I đoạn thẳng A, B I( ) ;2  2(x1  1)(x  1) Hệ số góc đường thẳng qua A, B k  Điều kiện cần đủ để A, B đối xứng với qua đường thẳng d: y = 3x + là:   1  AB  d  (x1  1)(x  1)   I  D 2  3(x1  x  2)  x1  x   2(x1  1)(x  2) (x  1)(x  1)  9  x  4    x1  x  2 x  Kết luận: Hai điểm cần tìm (-4; 3), (2; 1) 11 DeThiMau.vn Câu 22) Ta có f '( x)  x  x Gọi a, b hồnh độ A B Hệ số góc tiếp tuyến (C) A B k A  f '(a )  4a  4a, k B  f '(b)  4b3  4b Tiếp tuyến A, B có phương trình là: y  f '  a  x  a   f  a   f '  a  x  f (a )  af'  a  ; y  f '  b  x  b   f  b   f '  b  x  f (b)  bf'  b  Hai tiếp tuyến (C) A B song song trùng khi: k A  k B  4a  4a = 4b3  4b   a  b   a  ab  b  1  (1) Vì A B phân biệt nên a  b , (1) tương đương với phương trình: a  ab  b   (2) Mặt khác hai tiếp tuyến (C) A B trùng 2 2 a  ab  b   a  ab  b    , a  b   4 3a  2a  3b  2b  f  a   af '  a   f  b   bf '  b  Giải hệ ta nghiệm (a;b) = (-1;1), (a;b) = (1;-1), hai nghiệm tương ứng với cặp điểm đồ thị  1; 1 1; 1 Vậy điều kiện cần đủ để hai tiếp tuyến (C) A B song song với a  ab  b    a  1 a  b  Câu 23) LÊy M(m ; m4 5m2 + 4) (C) Phương trình tiếp tun cđa (C) t¹i M : y = (4m3 – 10m)(x – m) + m4 – 5m2 + (d) Hoành độ (d) & (C) nghiệm phương trình: x4 – 5x2 + = (4m3 – 10m)(x – m) + m4 – 5m2 +  (x – m)2(x2 + 2mx + 3m2 – 5) = (1) Cần tìm m để x2 + 2mx + 3m2 = có hai nghiệm phân biệt khác m 12 DeThiMau.vn 5  2m  §iỊu kiƯn 6m Các điểm M(m ;m4 5m2 + 4) (C) với hoành độ Câu 24)     10 10    30   m    ;  \   2        Đặt A a; a  3a  ; B b; b3  3b  với a  b Hệ số góc tiếp tuyến với (C) A, B là: k A  y '  x A   3a  6a; k B  y '  xB   3b  6b Tiếp tuyến (C) A B song song với k A  k B  3a  6a  3b  6b   a  b  a  b     b   a AB  Độ dài đoạn AB là:  a  b   a  b3   a  b   a  b  a  b 2  a  ab  b   a  b   2   a  1   a  1  a  1  3   2 Đặt t = ( a – )2 a   2 AB   t  t  t  3    t    t  2t     t     a   2  Với a   b  1  A  3;  , B  1; 2   Với a  1  b   A  1; 2  , B  3;  Vậy A  3;  , B  1; 2  A  1; 2  , B  3;  Câu 25) Gọi tiếp tuyến d vng góc với đường thẳng y= dạng: y=-4x+b x   phương trình d có  x  x2 x b      x  b   * d tiếp tuyến (C) ta có:   x   4  4   ( x  2)  b  17 * Với d: y=-4x+1 tiếp điểm M1(1;-3) d: y=-4x+17 tiếp điểm M2(3;5) 13 DeThiMau.vn Câu 26) Phương trình tiếp tuyến  điểm M  x0 ; y0     : y  x02  x0   x  x0   x03  x02  x0  qua O  x0  0, x0  Khi: x0   : y  x Khi: x0   : y  Câu 27) PT hoành độ giao điểm: x  (m  4) x  m   (*) có hai nghiệm PT  m  28   m  R +) Gọi A(x1; x1+ m), B(x2; x2+ m), với x1, x2 nghiệm PT (*) m +) SOAB  d (O; d ).AB  m  28 2 +) SOAB   m m  28  Câu 28) 2 Ta có y '  x  6mx  3(m  1) Đồ thị hàm số có điểm cực đại ,điểm cực tiểu y '  có hai nghiệm phân biệt đổi dấu qua nghiệm  x  6mx  3(m  1)  có hai nghiệm phân biệt   '  9m  9(m  1)   m  x  m 1 x  m 1 Vậy m đồ thị hàm số có điểm cực đại ,điểm cực tiểu y '    14 DeThiMau.vn Điểm A(m-1;2-2m);B(1+m,-2-2m) điểm cực đại ,điểm cực tiểu đồ thị hàm số theo giả thiết ta có OB=3 OA  OB  9OA2  (m+1)  (2  2m)  (m-1)  (2  2m) m   2m  5m     m   m  Vậy với  đồ thị hàm số cóđiểm cực đại , điểm cực tiểu khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm m   số đến gốc toạ độ O lần khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc toạ độ O Câu 29) Hoành độ giao điểm (d) đồ thị (Cm) hàm số: y  x  3mx  (m  1) x  nghiệm phương trình: x3  3mx  (m  1) x   x  x   x(2 x  3mx  m  3)     x  3mx  m   (*) Đường thẳng (d) cắt đồ thị (Cm) điểm C, A, B phân biệt C nằm A B PT (*) có nghiệm trái dấu  2.(m  3)   m  3m   x A  xB   y A  xA  Khi tọa độ A B thỏa mãn   (Trong xA ; xB nghiệm phương trình y x   m  B B   x x   A B (*)) AB = 55  ( xB  x A )  ( yB  y A )  55  ( xB  x A )  11  ( xB  x A )  xB x A  11   m2  9m  8m  20     m  10  9m m3   11  t / m  Vậy m  2; m  Câu 30) 15 DeThiMau.vn 10 giá trị cần tìm Đường thẳng d cần tìm vng góc với  : x + 2y +3= nên có phương trình y = 2x +m D cắt (C) điểm A, B phân biệt  2x   x  m có nghiệm phân biệt x 1  x  mx  m   có nghiệm phân biệt khác -  m  8m  32  (1) x A  xB  m   xI   Gọi I trung điểm AB có   y  2x  m  m I  I Do AB vng góc với  nên A, B đối xứng qua đường thẳng  : x + 2y +3=  I    m  4 m = - thỏa mãn (1) đường thẳng d có phương trình y = 2x - Câu 31) y’ = 6(x2 – (m + 1)x + m)) y có cực trị  y’ = có nghiệm phân biệt  (m + 1)2 – 4m >  m  1 Ta có: y = (2 x  m  1) y ' - (m – 1)2x + m2 + m Phương trình đường thẳng AB: y = -(m – 1)2x + m2 + m Để AB vng góc với đường thẳng y = x +2 tích hai hệ số góc -1  -(m – 1)2 = -1 hay m = (Thỏa mãn m  1) Vậy có hai giá trị m cần tìm thỏa mãn toán là: m = m = m=0 Câu 32) Ta có y '  x  3(m  2) x  3(m  1), x  ฀  x  x1  1 y '   x  ( m  2) x  m      x  x2  m  Chú ý với m  x1  x2 Khi hàm số đạt cực đại x1  1 đạt cực tiểu x2  m  Do 3m , yCT  y (m  1)   (m  2)(m  1)  yCĐ  y (1)  2 3m  (m  2)(m  1)    6m   (m  2)(m  1)  Từ giả thiết ta có 2 m   (m  1)(m  m  8)    m    33    33 Đối chiếu với yêu cầu m  ta có giá trị m m  1, m  16 DeThiMau.vn Câu 33) Gọi M( x0 ; x0  )  (C ) điểm cần tìm 2( x0  1) Gọi  tiếp tuyến với (C) M ta có phương trình  : y  f ' ( x0 )( x  x0 )  y  x0  1 ( x  x0 )  x0  2( x0  1) x0  2( x0  1) x02  x0  Gọi A =   ox  A(  ;0) B =   oy  B(0; x02  x0  ) Khi  tạo với hai trục tọa độ  OAB có trọng tâm là: G 2( x0  1)  x02  x0  x02  x0   ;   6( x0  1)   Do G  đường thẳng:4x + y =  4  4  x0  1 x02  x0  x02  x0   0 6( x0  1) (vì A, B  O nên x02  x0   ) 1    x0    x0     x 1   x     2 Với x0   1 3  M ( ;  ) ; với x0    M ( ; ) 2 2 2 Câu 34) 17 DeThiMau.vn Phương trình hồnh độ giao (C) (): x  x  (2m  1) x  4m   x   ( x  2)( x  x  2m  1)     f ( x )  x  x  2m   (1) 2  x1  x2 () cắt (C) điểm phân biệt M,N (1) phải có nghiệm x1, x2 thỏa mãn:   x1   x2     8m      b  1 m       2    2a     m    8m       2m     f (2)  Với m   Với m  ta có M ( ; ); N (2; 3) (loại) 8 ta có M (1; 2); N (2; 2) (loại) Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn  MNP nhận O làm trọng tâm Câu 35) y '  f '  x   12 x  12 x  m Hàm số có hai cực trị   '  36  12m   m  Gọi hai điểm cực trị đths A  x1 , y1  ; B  x2 , y2  ( x1 , x2 hai nghiệm pt y '  ) 1 3   2m m   2 x  6   Có: y  f  x   f '  x   x     m m  2m   2m    x2    x1  y2   6     Do f '  x1   f '  x2   nên y1   m  2m   2 x    Vậy pt đt AB y    AB  d 1 (I trung điểm AB)  2  I  d A, B đối xứng qua d: 2x – 4y – =   1   2m     1  m  (thoả mãn m < 3)   18 DeThiMau.vn 4  4   M  2;    Tiếp tuyến  với  C  M có phương trình : 4 14 y  y '(2). x     y  3  x     y  3 x  3 m   3  Ta có  // d   9m  14   m    m  1 Vậy m  1 m   Ta có y (2)  x1  x2   xI   I có toạ độ:       1   (đúng)  yI   2m   xI  m  1    Vậy A, B đối xứng qua d m = Câu 36) Câu 37) PT hoành độ giao điểm (C) (d) : 2x - = - x + m (x ¹ - 1) x+1 Û 2x - = (x + 1)(- x + m) (do x = - không thỏa PT) Û x + (3 - m)x - m - = (*).Ta có D = (3 - m)2 - 4(- m - 1) = (m - 1)2 + 12 > 0, " m Chứng tỏ PT (*) có hai nghiệm phân biệt với m hay (d) cắt (C) hai điểm phân biệt với m Gọi A(x1; - x1 + m), B (x2; - x2 + m) x1, x2 hai nghiệm PT (*) nên theo định lí Viet ta có ìï x + x = m - ï Đường thẳng MN có PT x + 2y - = í ïï x1x2 = - m - ỵ 19 DeThiMau.vn SVAMN = SVBMN Û d(A,(MN )) = d(B ,(MN )) x1 + 2(- x1 + m) - x2 + 2(- x2 + m) - Û = é- x + 2m - = - x + 2m - Û ê ê- x + 2m - = x - 2m + Û ê ë Û m - - 4m + 12 = Û m = Û - x1 + 2m - = - x2 + 2m - éx = x (loai) ê1 êx + x - 4m + 12 = ê ë1 Câu 38)   Gọi M  x0 ;2   (C) x0    Tiếp tuyến (d)tại M có dạng: y  3 ( x  x0 )   ( x0  1) x0    Các giao điểm d với tiệm cận: A 1;2   , B(2x0 –1; 2) x0    SIAB =1/2.IA.IB= (không đổi)  CIAB  IA  IB  AB  IA  IB   IA  IB   IA.IB  chu vi IAB đạt giá trị nhỏ IA= IB   x0    M1(  3;2  ); M2(  3;2  )  x0    x0   x0   Câu 39)  x   (1 điểm) y '  x  4mx  x x  m    x  m ' ' Hàm số cho có ba điểm cực trị  pt y  có ba nghiệm phân biệt y đổi dấu x qua nghiệm  m   Khi ba điểm cực trị đồ thị hàm số là:    A  0; m  1 , B  m ; m  m  , C    m ; m  m  1 yB  y A xC  xB  m m ; AB  AC  m  m , BC  m m  m4  m  m  AB AC.BC R 1   m  2m     m   S฀ ABC 4m m  S฀ ABC  Câu 40) (Đ/S : m