CHUYÊN ĐỀ 10: HÌNH CẦU TÓM TẮT CÔNG THỨC (1) Phương trình mặt cầu 1) Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a, b, c) bán kính R (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 2) Dạng tổng quát phương trình mặt cầu x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = có tâm I(a, b, c) bán kính R = a + b2 + c2 − d ta có điều kiện a + b2 + c – d > 3) Điều kiện tiếp xúc mặt phẳng (P) mặt cầu (S) có tâm I bán kính R khoảng cách từ I đến (P) bán kính R Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu có tâm I(2, 3, –1) cắt đường thẳng (d) ⎧5x − y + 3z + 20 = ⎨ ⎩3x − y + z − = taïi hai điểm A B cho AB = 16 Giải Gọi (P) mặt phẳng qua I vuông góc đường thẳng (d) Ta có phương trình tham số đường (d) ⎧ x = t − 14 ⎪ 25 ⎪ ⎨y = t − 2 ⎪ = − z t ⎪⎩ Gọi (P) mặt phẳng qua I(2, 3, –1) vuông góc đường thẳng (d) nên có pháp vectơ a = ⎛ ⎞ ⎜1, , −1⎟ Vậy phương trình (P) viết ⎝ ⎠ (x – 2) + (y – 3) - (z + 1) = ⇔ 2x + y – 2z – = Giao điểm K (d) (P) có tọa độ ( t – 14, 25 t– , –t 2 thỏa phương trình (P) Vậy ta có DeThiMau.vn ) 2(t – 14) + ( 25 t– 2 ) +2t – = Suy t = 11 Vaäy ta coù K (–3, –7, –11) 25 + 100 + 100 = 15 Khoảng cách từ I đến (d) IK = Do bán kính mặt cầu R = IK + AB2 = 225 + 64 Nên phương trình mặt cầu viết : (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = 289 Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d) ⎧2 x + 4y − z − = ⎨ ⎩4 x + 5y + z − 14 = tiếp xúc với hai mặt phẳng có phương trình (P) : x + 2y – 2z – = ; (Q) : x + 2y – 2z + = Giaûi Ta có (P) // (Q) nên gọi A, B giao điểm (d) với (P) (Q) tâm I mặt cầu tiếp xúc với (P) (Q) phải trung điểm đoạn AB bán kính mặt cầu khoảng cách từ I đến (P) Ta có tọa độ A nghiệm hệ ⎧2x + 4y − z − = ⎪ ⎨4 x + 5y + z − 14 = ⎪ x + 2y − 2z − = ⎩ ⇒ A(2, 1, 1) Ta có tọa độ B nghiệm heä ⎧2x + 4y − z − = ⎪ ⎨4 x + 5y + z − 14 = ⎪ x + 2y − 2z + = ⎩ ⇒ B(–4, 5, 5) Vậy tâm mặt cầu I(–1, 3, 3) bán kính R = Nên phương trình mặt cầu viết thành (x + 1)2 + (y – 3)2 + (z – 3)2 = Ví dụ ( ĐH KHỐI D –2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A (2; 0; 1); B(1;0;0); C (1; 1; 1) mặt phaúng (P): x + y + z – = Viết phương trình mặt cầu qua điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (P) Giải DeThiMau.vn Cách 1: x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = Mặt cầu qua A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (P) nên ta có: ⎧ 4a + 2c + d = −5 ⎧a = −1 ⎪2a + d = −1 ⎪ ⎪ ⎪b = ⇔⎨ ⎨ ⎪2a + 2b + 2c + d = −3 ⎪ c = −1 ⎪⎩a + b + c = −2 ⎪⎩d = ⇔ x2 + y2 + z2 – 2x – 2z + = Cách 2: Gọi I(x; y; z) tâm mặt cầu ⎪⎧ IA = IB2 = IC2 ⎪⎩ I ∈ (P) Giả thiết cho: ⎨ ⎧(x − 2)2 + y2 + (z − 1)2 = (x − 1)2 + y + z ⎪⎪ ⇔ ⎨(x − 1)2 + y2 + z2 = (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 ⎪x + y + z − = ⎪⎩ ⎧x = ⎧2x + 2z − = ⎪ ⎪ ⇔ ⎨y + z = ⇔ ⎨y = ⇒ I (1; 0; 1) ⎪x + y + z − = ⎪z = ⎩ ⎩ Bán kính R = IB = Suy phương trình mặt cầu: (x – 1)2 + y2+ (z –1)2=1 Ví dụ4 ( Đề Dự Trữ KHỐI D -2002) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho đường ⎧2x − 2y − z + = thẳng d : ⎨ mặt cầu ⎩x + y − z − = (S) : x2 + y2 + z2 + 4x – 6y + m = Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) hai điểm M, N cho khoảng cách hai điểm Giải Phương trình mặt cầu (S) : (x + 2)2 + (y – 3)2 + z2 = 13 – m ÑK : m < 13 13 − m Vì MN = ⇒ HM = HN = (IH ⊥ MN) ⎧−2y − z + = ⎧ y = ⇒ A(0; 1; −1) (d) cho x = ⇒ ⎨ ⇒⎨ ⎩2y − 2z − = ⎩z = −1 (S) có tâm I(−2; 3; 0), R = ⎡→ → n1 = (2, − 2, − 1) (d) coù ⎢ → ⇒ a = 3(2; 1; 2) ⎢ ⎢⎣ n = (1, 2, − 2) ⎯→ ⎯→ → AI = (−2; 2; 1), [ AI , a ] = (9; 18; − 18) = 9(1; 2; − 2) ⎯→ → IH = d(I, d) = ⏐[ AI , a ]⏐ → ⏐a⏐ = 1+ + 4 + 1+ = Δ vuông IHN ta có : IM2 = IH2 + HN2 ⇔13 – m = + 81 117 = 4 DeThiMau.vn ⇔m= − 65 Ví dụ ( ĐỀ DỰ TRỮ KHỐI D -2003) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y + z – m2 – 3m = (m tham số) mặt cầu (S) : (x – 1)2 + (y + 1)2 + (z – 1)2 = Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Với m tìm xác định tọa độ tiếp điểm mặt phẳng (P) mặt cầu (S) Giải Mặt cầu (S) có tâm I(1; −1; 1), bán kính R = Mặt phẳng P tiếp xúc với (S) ⇔ d(I: P) = R ⇔ − + − m − 3m = + + ⇔ m2 + 3m – = hay m2 + 3m – = −9 ⇔ m2 + 3m – 10 = hay m2 + 3m + = (VN) ⇔ m = −5 hay m = ⇒ (P) : 2x + 2y + z – 10 = ⎧ x = + 2t ⎪ Phương trình đường thẳng Δ qua I vaø ⊥ (P) : Δ ⎨ y = −1 + 2t ⎪z = + t ⎩ Thế vào phương trình mp (P) ⇒ 2(1 + 2t) + 2(−1 + 2t) + + t – 10 = ⇒ t = ⇒ Tiếp điểm M P (S) M(3; 1; 2) Cách khác IM2 = ⇔ 4t2 + 4t2 + t2 = ⇒ t = ± ⇒ M(3; 1; 2) hay M(-1; -3; 0).Vì M∈ P ⇒ M(3; 1; 2) PHẠM HỒNG DANH-TRẦN MINH QUANG –TRẦN VĂN TOÀN ( TRUNG TÂM LUYỆN THI CLC VĨNH VIỄN ) DeThiMau.vn ... R = IB = Suy phương trình mặt cầu: (x – 1)2 + y2+ (z –1)2=1 Ví dụ4 ( Đề Dự Trữ KHỐI D -2002) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho đường ⎧2x − 2y − z + = thẳng d : ⎨ mặt cầu... IM2 = IH2 + HN2 ⇔13 – m = + 81 117 = 4 DeThiMau.vn ⇔m= − 65 Ví dụ ( ĐỀ DỰ TRỮ KHỐI D -2003) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y + z – m2 – 3m = (m