CHUYÊN ĐỀ ELIP Các toán elip chủ yếu qui việc viết phương trình tắc elip, xác định phần tử elip (tâm, đỉnh, tiêu cự, độ dài trục lớn, trục nhỏ, tiêu điểm…), xác định phương trình tiếp tuyến với tọa độ tiếp điểm Trong trường hợp ta cần nắm vững kiến thức sau : Elip (E) có tiêu điểm x′ x Phương trình tắc (E) : x2 y2 + =1 a2 b2 a2 > b2 vaø a2 – b2 = c2 Elip (E) có tiêu y′ y (E) : ñieåm x2 y2 + =1 a2 b2 a2 < b2 b2 – a2 = c2 2c 2c Tiêu điểm F1(–c, 0), F2(c, 0) F1(0, –c), F2(0, c) Trục lớn Trên Ox, dài 2a Trên Oy, dài 2b Trục nhỏ Trên Oy, dài 2b Trên Ox, dài 2a Đỉnh trục lớn A1(–a, 0), A2(a, 0) A1(0, –b), A2(0, b) Đỉnh trục nhỏ B1(0, –b), B2(0, b) B1(–a, 0), B2(a, 0) Tiêu cự Tâm sai Bán kính qua tiêu Điểm M ∈ (E) e= c a e= ⎧r1 = F1M = a + ex M ⎨ ⎩r2 = F2 M = a − ex M Đường chuẩn Δ1,2 : x = ± a e * Ghi chuù : DeThiMau.vn c b ⎧r1 = F1M = b + ey M ⎨ ⎩r2 = F2 M = b − ey M Δ1,2 : y = ± b e Trường hợp elip có tâm I( α , β ) hai trục phương với trục tọa độ phương trình có dạng (x − α) a2 + ( y − β) b2 =1 Ta dời hệ trục tọa độ xOy đến XIY phép tịnh tiến theo OI để phương trình dạng tắc elip X2 Y2 + = với b a2 ⎧X = x − α ⎨ ⎩Y = y − β để suy dễ dàng tọa độ đỉnh tiêu điểm Tiếp tuyến với elip (E) : + x x x2 y2 + = tiếp điểm M0(x0, y0) có phương trình 02 2 a b a y0y =1 b2 Trường hợp tiếp điểm ta áp dụng tính chất : (Δ) (E) : : Ax + By + C = tieáp xúc với elip x2 y2 + =1 a2 b2 ⇔ a2A2 + b2B2 = C2 Thường ta viết phương trình ( Δ ) theo hệ số góc dạng kx – y + c = lưu ý trường hợp ( Δ ) ⊥ x′ x tức (Δ) :x = ±a Elip (E) : x2 y2 + = có tiếp tuyến phương với Oy a2 b2 x = ± a Ngoài tiếp tuyến x = ± a, tiếp tuyến khác với ( E) có dạng y = kx + m dạng y = k ( x –x0 ) + y0 tiếp tuyến qua ( x0 , y0 ) điểm nằm elip Ví dụ1 : Cho elip (E) : x2 + 4y2 – 40 = a) Xác định tiêu điểm, hai đỉnh trục lớn, đỉnh trục nhỏ tâm sai (E) b) Viết phương trình tiếp tuyến với (E) điểm M0(–2, 3) c) Viết phương trình tiếp tuyến với elip (E) biết xuất phát từ điểm M(8, 0) DeThiMau.vn d) Viết phương trình tiếp tuyến với (E) biết vuông góc với đường thẳng (D) : 2x – 3y + = 0, tính tọa độ tiếp điểm Giải a) Tiêu điểm, đỉnh tâm sai (E) (E) : x2 + 4y2 – 40 = ⇔ x2 x2 y2 y2 = có dạng + = + 40 10 a b với a2 = 40 > b2 = 10 ⇒ c2 = a2 – b2 = 30 ⇒ a = 10 , c= b = 10 , 30 Vaäy elip (E) có trục lớn Ox, hai tiêu điểm nằm trục lớn F1(– 30 , 0) , F2( 30 , 0) Hai đỉnh trục lớn A1(–2 10 , 0), A2(2 10 , 0) Trục nhỏ (E) nằm Oy với đỉnh B1(0, – 10 ), B2(0, 10 ) Tâm sai elip (E) e = 30 c = = a 2 10 b) Viết phương trình tiếp tuyến với (E) M0(–2, 3) Ta coù x 02 + y 02 – 40 = ( −2 ) + ( 3) – 40 = ⇒ M0(–2, 3) ∈ (E) : x2 + 4y2 – 40 = 2 ⇒ Phương trình tiếp tuyến với (E) tiếp điểm M0(–2, 3) là: x0x + 4y0y – 40 = ⇔ –2x + 12y – 40 = ⇔ x - 6y + 20 = c) Phương trình tiếp tuyến với elip phát xuất từ M(8, 0) (E) có hai tiếp tuyến phương với 0y là: x = ±2 10 Hai tiếp tuyến không qua M(8,0) Vậy pt tiếp tuyến ( Δ ) qua M(8, 0) có dạng: y= k(x – 8) ⇔ kx – y – 8k = x2 y2 + =1 ( Δ ) tiếp xúc với elip (E) : 40 10 ⇔ 40k2 + 10 = 64k2 DeThiMau.vn ⇔ k2 = 10 = 24 12 ⇔ k= ± = ± 15 Vậy có tiếp tuyến với (E) qua M(8, 0) : 15 x–y–8 =0 6 hay – 15 x–y+8 =0 6 ⇔ 15 x – 6y – = ⇔ 15 x + 6y – = d) Phương trình tiếp tuyến với (E) vuông góc với (D) ( Δ′ ) ⇒ ⊥ (D) với ( Δ′) : 3x + 2y + C = ( Δ′) tiếp xúc (E) : ⇔ (D) : 2x – 3y + = x2 y2 + =1 40 10 ⇔ C2 = 400 40.9 + 10.4 = C2 ⇔ C = ± 20 Gọi M0(x0, y0) tiếp điểm tiếp tuyến ( Δ′ ) với (E) ( Δ′ ) : x0 x y y + =1 40 10 Với C = 20 ⇔ x0x + 4y0y – 40 = ⇒ ( Δ′ ) : 3x + 2y + 20 = ⇒ x0 4y −40 = = 20 ⎧ x = −6 ⇔⎨ hay M0 (–6, –1) ⎩ y = −1 Với C = –20 ⇒ ( Δ′ ) : 3x + 2y – 20 = ⇒ ⇔ ⎧ x0 = ⎨ ⎩y0 = hay x0 4y −40 = = −20 M0(6, 1) DeThiMau.vn Ví dụ2 :(ĐH KHỐI D-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm C (2; 0) elíp (E) : x2 y2 + = Tìm tọa độ điểm A, B thuộc (E), biết hai điểm A, B đối xứng với qua trục hoành tam giác ABC tam giác Giải Giả sử A (a, − a2 − a2 ) ∈ (E) ⇒ B (a, − ) ∈ (E) 2 Và điều kiện: –2 < a < Do A,B đối xứng qua Ox nên ta có: ΔCAB ⇔ CA2 = AB2 − a2 = – a2 ⇔ 7a2 – 16a + = ⇔ a = (loaïi) hay a = Nên tọa độ A vaø B laø: ⎛2 3⎞ ⎛2 3⎞ ⎛2 3⎞ ⎛2 3⎞ A ⎜⎜ , ⎟⎟ B ⎜⎜ , ⎟⎟ A ⎜⎜ , − ⎟⎟ vaø B ⎜⎜ , − ⎟⎟ ⎠ ⎠ ⎝7 ⎝7 ⎝7 ⎠ ⎝7 ⎠ ⇔ (a – 2)2 + Ví dụ3 :(ĐH KHỐI D-2002) : Cho (E) : x2 y2 + = Cho M di chuyển tia 0x, N di chuyển tia 0y cho đường 16 thẳng MN tiếp xúc (E) Tìm tọa độ điểm M, N cho độ dài đoạn MN ngắn Tìm độ dài đoạn ngắn Giải M (m, 0) ∈ tia Ox; N (0, n) ∈ tia Oy ⇒ n, m > x2 y2 + = MN : nx + my – n.m = 16 16 (MN) tiếp xúc (E) ⇔ + = m n (E) : Ta coù : MN2 = m2 + n2 Theo BĐT BCS ta có Ta có : = 16 m + n ≤ + 2 m n m n MN nhỏ ⇒ m + n = MN m2 n2 m n = = ⇔ 4 m n ⇔ 3m2 = 4n2 vaø m2 + n2 = 49 ⇔ m2 = 28 n2 = 21 Do : MN nhỏ ⇔ m = n = 21 (vì m, n>0) ⇒ M ( , 0); N (0, 21 ) Khi MN = Ví dụ4 :(ĐH KHỐI D-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho elip (E): x2 y2 + = đường thẳng dm : mx – y – = DeThiMau.vn a) Chứng minh với giá trị m, đường thẳng dm cắt elip (E) hai điểm phân biệt b) Viết phương trình tiếp tuyến (E), biết tiếp tuyến qua điểm N (1; −3) Giải a) (E) : x2 y + =1⇔ 4x2 + 9y2 – 36 = (dm) : mx – y – = ⇔ y = mx – Phương trình hoành độ giao điểm (dm) với (E) : 4x2 + 9(mx – 1)2 – 36 = ⇔ (4 + 9m2)x2 – 18mx – 25 = coù Δ' = 81m2 + 25(4 + 9m2) > với m Vậy (dm) luôn cắt (E) điểm phân biệt b) Viết phương trình tiếp tuyến với (E) qua N(1; −3) tiếp tuyến thẳng đứng (E) x = ± ( không qua N ) Gọi Δ tiếp tuyến qua N(1; −3) phương trình Δ có dạng: y + = k(x – 1) ⇔ kx – y – – k = (Δ) tiếp xúc với (E) ⇔ 9k2 + = (−3 – k)2 = + 6k + k2 ⎡ ⎢ k1 = − ⇔ 8k2 – 6k – = ⇔ ⎢ ⎢k = ⎢⎣ Δ1 : x + 2y + = 0; Δ2 : 5x – 4y – 17 = *** DeThiMau.vn ... 40k2 + 10 = 64k2 DeThiMau.vn ⇔ k2 = 10 = 24 12 ⇔ k= ± = ± 15 Vậy có tiếp tuyến với (E) qua M(8, 0) : 15 x–y–8 =0 6 hay – 15 x–y+8 =0 6 ⇔ 15 x – 6y – = ⇔ 15 x + 6y – = d) Phương trình tiếp tuyến với... ⇔ m = n = 21 (vì m, n>0) ⇒ M ( , 0); N (0, 21 ) Khi MN = Ví dụ4 :(ĐH KHỐI D-20 05) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho elip (E): x2 y2 + = đường thaúng dm : mx – y – = DeThiMau.vn... trình hoành độ giao điểm (dm) với (E) : 4x2 + 9(mx – 1)2 – 36 = ⇔ (4 + 9m2)x2 – 18mx – 25 = coù Δ' = 81m2 + 25( 4 + 9m2) > với m Vậy (dm) luôn cắt (E) điểm phân biệt b) Viết phương trình tiếp tuyến