CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG THẲNG I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, muốn viết phương trình đường thẳng ( Δ ) ta cần phải biết: 1) (Δ) qua điểm M0(x0, y0) có vectơ phương a = (a1, a2) có: ⎧ x = x0 + ta1 Phương trình tham số : ⎨ ⎩ y = y + ta Phương trình tắc : (t ∈ R) x − x0 y − y0 = (a1, a2 ≠ 0) a1 a2 Từ phương trình tắc ta đổi thành dạng phương trình tổng quát : (A2 + B2 > 0) Ax + By + C = 2) (Δ) qua điểm M0(x0, y0) có pháp véctơ (a,b) có phương trình : a(x – x0) + b(y – y0) = 3) i) Phương trình đường thẳng mặt phẳng có dạng Ax + By + C = với A2 + B2 > (1) ii) Phương trình đường thẳng mặt phẳng có dạng x = x0 hoaëc y = kx + m (2) Ta dễ dàng thấy (1) (2) tương đương + (2) ⇔ kx –y + m = ⇒ (2 ) thỏa (1) với A = k, B = - , C = m + Neáu B = ⇒ x = − C A , có dạng x = x0 với x0 = − C A C Neáu B ≠ ⇒ y = − x − , có A B B dạng y = kx + m 3) ( Δ ) qua hai điểm A(xA, yA), B(xB, yB) có phương trình : x − xA y − yA neáu ( xB − xA ) ( yB − yA ) ≠ = xB − x A yB − yA DeThiMau.vn Neáu ( Δ ) qua A(a, 0) ∈ Ox B(0, b) ∈ Oy với a.b ≠ 0; ta nói ( Δ ) có đoạn chắn a, b với phương trình: x y + =1 a b * Ghi chú: Nếu đề toán yêu cầu ta viết phương trình đường thẳng, thông thường ta nên viết phương trình dạng tổng quát lưu ý : (Δ) : Ax + By + C = ( Δ ) có : pháp vectơ n = (A, B) vectơ phương a = (–B, A) hệ số góc k = tg( Ox , Δ ) = − A B ( Δ′ ) // ( Δ ) ⇒ ( Δ′ ) : Ax + By + C0 = ( Δ′ ) ⊥ ( Δ ) ⇒ ( Δ′ ) : Bx – Ay + C0 = Ta tìm C0 biết thêm điểm nằm ( Δ′ ) Ngoài viết phương trình đường thẳng ( Δ ) theo hệ số góc k, toán bị thiếu nghiệm trường hợp ( Δ ) ⊥ x′ x (hệ số góc k không tồn tại), ta phải xét thêm trường hợp ( Δ ) có phương trình x = C để xem đường thẳng ( Δ ) có thỏa mãn điều kiện đầu không Ghi - Nếu n = (A, B) pháp véc tơ đường thẳng ( Δ ) k n = (kA, kB) pháp véc tơ ( Δ ) với số thực k ≠ - Nếu a = ( a1 ,a2 ) véc tơ phương đường thẳng k a = ( ka1 ,ka2 ) véc tơ phương ( Δ ) với số thực k khác II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng ta cần nhớ Cho (d1) : A1x + B1y + C1 = vaø (d2) : A2x + B2y + C2 = Đặt : DeThiMau.vn ( Δ ) D= A1 B1 A2 B2 ; Dx = B1 C1 B2 C2 ; Dy = C1 A1 C2 A2 : Dx ⎧ ⎪⎪ x I = D D ≠ ⇔ (d1) cắt (d2) I ⎨ ⎪ y = Dy ⎪⎩ D D = Dx ≠ Dy ≠ ⇔ (d1) // (d2) ⇔ (d1) ≡ (d2) D = Dx = Dy = với A2, B2, C2 ≠ ta có : Ghi B1 C1 B2 C2 B A1 ≠ B2 A2 ⇔ (d1) caét (d2) B C A1 = ≠ B2 C2 A2 ⇔ (d1) // (d2) A1 B C = = B2 C2 A2 ⇔ (d1) ≡ (d2) = − C1 B1 C2 B2 ; C1 A1 C2 A2 = − A1 C1 A2 C2 III GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Để tìm góc hai đường thẳng, ta gọi α góc nhọn tạo hai đường thẳng (d1) : A1x + B1y + C1 = cos α = (d2) : A2x + B2y + C2 = A1A + B1B2 A12 + B12 A 2 +B2 IV KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG Để tìm khoảng cách từ điểm M(xM, yM) đến đường thẳng (Δ) : Ax + By + C = ta áp dụng công thức : DeThiMau.vn d(M, Δ ) = Ax M + By M + C A + B2 Khoảng cách đại số từ đường thẳng ( Δ ) đến điểm M(xM, yM) laø : t= Ax M + By M + C A + B2 Đặt pháp vectơ n = (A, B) có gốc lên ( Δ ) : t > điểm M n nằm bên ( Δ ) t < điểm M n nằm khác bên ( Δ ) Phương trình đường phân giác góc hợp đường thẳng (d1) : A1x + B1y + C1 = vaø (d2) : A2x + B2y + C2 = laø : A1x + B1y + C1 A + B1 2 = ± A x + B2 y + C2 A 2 + B2 Ví dụ 1: Cho tam giác ABC với A(–2, 1), B(4, 3), C(2,–3) a) Tìm phương trình tham số tổng quát cạnh BC b) Tìm phương trình đường cao AH c) Tìm phương trình đường thẳng qua A(–2, 1) song song với BC Giải a) Đường thẳng qua cạnh BC nhận BC = (–2, –6) hay (1,3) làm vectơ phương qua B(4, 3) nên có phương trình tham số : ⎧x = + t ⎨ ⎩ y = + 3t ⇔ (t ∈ R) x−4 y−3 = (phương trình taéc) ⇔ 3x – y – = phương trình tổng quát BC b) Δ ABC có đường cao AH ⊥ BC : 3x – y – = ⇒ pt AH : x + 3y + C1 = DeThiMau.vn A(–2, 1) ∈ AH Vaäy ⇔ –2 + 3(1) + C1 = ⇔ C1 = –1 pt AH : x + 3y – = c) Đường thẳng Au // BC ⇒ pt Au : 3x – y + C2 = ⇔ C2 = A(–2, 1) ∈ Au ⇔ 3(–2) – + C2 = Vaäy pt Au : 3x – y + = Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với A(1, –1), B(–2, 1), C(3, 5) a) Viết phương trình đường vuông góc AH kẻ từ A đến trung tuyến BK tam giác ABC b) Tính diện tích tam giác ABK Giải a) K trung điểm AC ⇔ x A + xC ⎧ =2 ⎪⎪ x K = ⎨ ⎪y = y A + yC = ⎪⎩ K hay K(2, 2) Phương trình cạnh BK : x−2 y−2 = −2 − 1− ⇔ x – 4y + = AH ⊥ BK ⇒ pt AH : 4x + y + C0 = A(1, - 1) ∈ AH ⇔ 4(1) + (–1) + C0 = ⇔ C0 = –3 hay AH : 4x + y – = b) Diện tích tam giác ABK S = AH = d A (BK ) = ⇒ S= 11 17 AH.BK với 1+ + 17 42 + 12 = 11 ( đvdt ) Ví dụ 3: ( Đề dự trữ khối A năm 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân đỉnh A có trọng tâm G ( ; ) , phương trình đường thẳng BC laø x − y − = vaø 3 phương trình đường thẳng BG x − y − = Tìm tọa độ đỉnh A, B, C DeThiMau.vn Bài giải ⎧x − 2y − = Tọa độ đỉnh B nghiệm hệ pt ⎨ ⇒ B ( 0, −2 ) ⎩7x − 4y − = Vì ΔABC cân A nên AG đường cao ΔABC Vì GA ⊥ BC ⇒ pt GA: 2(x − ) + 1(y − ) = ⇔ 2x + y − = ⇔ 2x + y − = 3 ⎧2x + y − = ⇒ GA ∩ BC = H ⎨ ⇒ H ( 2, −1) ⎩x − 2y − = ⎧x B + x C = 2x H ⎧x C = 2x H − x B = 2(2) − = ⇒⎨ Ta có H trung điểm BC ⇒ ⎨ ⎩y B + y C = 2y H ⎩y C = 2y H − y B = 2(−1) − (−2) = y + y B + yC x + xB + xC ⇒ A ( 0,3) ⇒ C ( 4,0 ) Ta coù : x G = A vaø y G = A 3 Vaäy A ( 0,3) ,C ( 4, ) ,B ( 0, −2 ) Ví dụ ( ĐH KHỐI A -2002) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ⎛⎜ ;0 ⎞⎟ ,phương trình đường thẳng AB ⎝ ⎠ x – 2y + = AB = 2AD Tìm tọa độ đỉnh A,B,C,D biết đỉnh A có hoành độ âm BÀI GIẢI: A ∈ đường thẳng x – 2y + = ⇒ A (2a – 2, a) (a < 1) I trung điểm AC ⇒ C (3 – 2a, −a) BC qua C vaø BC ⊥ AB ⇒ pt BC : 2x + y + 5a – = AB ∩ BC = B ⇒ B (2 – 2a, – a) Ta coù : AB = 2AD ⇔ (1 – a)2 = ⇔ a = hay a = (loaïi) Vaäy A (−2, 0) B (2, 2), C (3, 0), D (−1, −2) Ví dụ ( ĐH KHỐI D -2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A (−1; 0); B (4; 0); C (0; m) với m ≠ Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC theo m Xác định m để tam giác GAB vuông G ⎛ m⎞ m m BÀI GIẢI: G ⎜ 1; ⎟ ; GA = (−2; − ) ; GB = (3; − ) 3 ⎝ 3⎠ Tam giaùc GAB vuông G ⇔ GA.GB = ⇔ −6 + m2 = ⇔ m = ±3 Ví dụ6 ( ĐH KHỐI B -2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng x − y − = cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB BÀI GIẢI: A (1; 1); B (4; −3) ⇒ phương trình AB: x −1 y −1 = −3 ⇔ 4x + 3y – = C ∈ ñt : x – 2y – = ⇒ C (2t + 1; t) DeThiMau.vn Ta coù: d (C, AB) = ⇔ 8t + + 3t − =6 ⎡t = ⎡11t − = 30 ⇔ 11t − = 30 ⇔ ⎢ ⇔ ⎢ ⎢ t = − 27 − = − 11t 30 ⎣ ⎢⎣ 11 ⎛ 43 27 ⎞ Vaäy C (7; 3) hay C ⎜ − ; − ⎟ ⎝ 11 11 ⎠ Ví dụ7 ( Đề DỰ TRỮ KHỐI D -2003) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A (1; 0) hai đường thẳng chứa đường cao vẽ từ B C có phương trình tương öùng laø : x – 2y + = 3x + y – = 0.Tính diện tích tam giác ABC BÀI GIẢI: Vì AC ⊥ BB' ⇒ phương trình AC : 2x + y + m = A(1; 0) ∈ AC ⇒ + m = ⇒ m = −2 Phương trình AC : 2x + y – = ⎧ 2x + y − = Vậy t đ C nghiệm ⎨ ⇒ C(−1; 4) ⎩ 3x + y − = Vì AB ⊥ CC' ⇒ phương trình AB : x – 3y + n = A(1; 0) ∈ AB ⇒ + n = ⇒ n = −1 Phương trình AB : x – 3y – = ⎯→ ⎯→ ⎧ x − 3y − = Vaäy B ⎨ ⇒ B(−5; −2).⇒ AB = (−6; −2); AC = (−2; 4) ⎩ x − 2y + = SΔABC = ⎡ −6 ⎢ ⎣ −2 − 2⎤ = 14 (đvdt) ⎦⎥ Ví dụ8 ( ĐỀDỰ TRỮ KHỐI B -2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm I (–2; 0) hai đường thẳng d1 : 2x – y + = 0, d2 : x + y – = Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I → → cắt hai đường thẳng d1, d2 A, B cho : IA = IB BÀI GIẢI: P.trình đường thẳng d qua I (–2, 0), hệ số góc k : y = k(x + 2) ⎧ 2x − y + = ⎛ 2k − − k ⎞ A⎨ , ⇒ A⎜ ⎟ ⎝ 2−k 2−k⎠ ⎩ kx − y + 2k = ⎧ x + y−3 = ⎛ − k 5k ⎞ ⇒ B⎜ , B⎨ ⎟ ⎝ 1+ k 1+ k ⎠ ⎩ kx − y + 2k = 5k ⎞ ⎛ −1 − k ⎞ ⎛ ⎛ 10 10 k ⎞ IA = ⎜ ; ; ; ⎟ ⇒ 2IB = ⎜ ⎟ ⎟ ; IB = ⎜ ⎝2−k 2−k⎠ ⎝1+ k 1+ k ⎠ ⎝1+ k 1+ k ⎠ 10 ⎧ −1 ⎪ − k = 1+ k ⇒ k = IA = 2IB ⇔ ⎨ −k 10k ⎪ = ⇒ k = 0, k = ⎩ − k 1+ k Do phương trình đường thẳng d y = (x + 2) DeThiMau.vn ⇔ 7x – 3y + 14 = *** DeThiMau.vn ... (C, AB) = ⇔ 8t + + 3t − =6 ⎡t = ⎡11t − = 30 ⇔ 11t − = 30 ⇔ ⎢ ⇔ ⎢ ⎢ t = − 27 − = − 11t 30 ⎣ ⎢⎣ 11 ⎛ 43 27 ⎞ Vaäy C (7; 3) hay C ⎜ − ; − ⎟ ⎝ 11 11 ⎠ Ví dụ7 ( Đề DỰ TRỮ KHỐI D -20 03) Trong mặt phẳng... điểm A(1; 1), B(4; -3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng x − y − = cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB BÀI GIẢI: A (1; 1); B (4; ? ?3) ⇒ phương trình AB: x −1 y −1 = ? ?3 ⇔ 4x + 3y – = C ∈ ñt : x –... BC : 3x – y – = ⇒ pt AH : x + 3y + C1 = DeThiMau.vn A(–2, 1) ∈ AH Vaäy ⇔ –2 + 3( 1) + C1 = ⇔ C1 = –1 pt AH : x + 3y – = c) Đường thẳng Au // BC ⇒ pt Au : 3x – y + C2 = ⇔ C2 = A(–2, 1) ∈ Au ⇔ 3( –2)