Bài giảng môn toán lớp 12 Chuyên đề 8 vectơ trong không gian53318

CHUYÊN ĐỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Các định nghóa phép toán vectơ không gian giống mặt phẳng, ta cần lưu ý đến vấn đề thông dụng : Qui tắc điểm : ∀ A, B, C AB + BC = AC Cộng vectơ gốc vectơ gốc đường chéo hình bình hành có cạnh vectơ cho I trung điểm đoạn thẳng AB, với điểm M ta có: MI = MA + MB G trọng tâm Δ ABC ⇔ GA + GB + GC = Ngoài ta có : Ba vectơ khác gọi đồng phẳng giá chúng song song nằm mặt phẳng Bất kỳ vectơ a ≠ đồng phẳng với hai vectơ không phương e1 , e2 không gian, phân tích theo e1 , e2 có nghóa: ( α , β ∈ R) a = α e1 + β e2 phân tích Bất kỳ vectơ a ≠ không gian phân tích theo vectơ không đồng phẳng e1 , e2 , e3 có nghóa : a = α e1 + β e2 + γ e3 ( α , β , γ ∈ R) G gọi trọng tâm tứ diện ABCD ⇔ GA + GB + GC + GD = Ghi : 1) Nếu vectơ a , b , c chúng đồng phẳng 2) a , b , c đồng phẳng ⇔ ⎡ ⎤ ⎣ a, b ⎦ c = DeThiMau.vn ⇔ 3) OA , OB , OC đồng phẳng O, A, B, C nằm mặt phẳng Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ ABC A ′ B′ C′ Gọi I, I′ trọng tâm Δ ABC Δ A ′ B′ C′ , O trung điểm I I′ a) Chứng minh OA + OA′ + OB + OB′ + OC + OC′ = b) Gọi G trọng tâm hình tứ diện ABC C′ M trung điểm A ′ B′ Chứng minh O, M, G thẳng hàng c) Tính tỉ số OM OG Giải a) OA + OA′ + OB + OB′ + OC + OC′ = I trọng tâm Δ ABC ⇒ IA + IB + IC = ⇒ ( IO + OA ) + ( IO + OB ) + ( IO + OC ) = ⇒ OA + OB + OC = OI Tương tự, I′ trọng tâm Δ A ′ B′ C′ ⇒ OA′ + OB′ + OC′ = OI′ Vaäy OA + OA′ + OB + OB′ + OC + OC′ = = OI + OI′ = 3( OI + OI′ ) = (vì trung điểm I I′ ) b) O, M, G thẳng hàng G trọng tâm tứ diện ABC C′ ⇒ GA + GB + GC + GC′ = ⇒ ( GO + OA ) + ( GO + OB ) + ( GO + OC ) + ( GO + OC′ ) = ⇒ OA + OB + OC + OC′ = OG M trung điểm A ′B′ ⇒ OA′ + OB′ = OM ⇒ OA + OB + OC + OC′ + OA′ + OB′ = OG + OM DeThiMau.vn ⇒ = OG + OM ⇒ OM = –2 OG ⇒ OM phương với OG ⇒ OM , OG giá (vì gốc O) ⇒ O, M, G thẳng hàng c) Tỉ số OM OG OM = –2 OG ⇒ OM = –2 OG Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD A ′ B′ C′ D′ với AA ′ = a , AB = b , AC / = c Hãy biểu thị vectơ AD , A′C , B′D , BD′ theo vectơ a , b , c A D Giải Ta có với hình hộp ABCD A ′ B′ C′ D′ : b B a C = AC′ + C ′D / + D′D AD c =c– b –a A′ B′ D′ C′ A′C = A ′A + AC / + C / C A′C = –2 a + c B′D = B′B + BA + AD = – a –b + c – b – a = – 2a – 2b + c BD′ = BA + AD + DD′ = – b + (c – b – a) + a = – 2b + c *** DeThiMau.vn ... Cho hình hộp ABCD A ′ B′ C′ D′ với AA ′ = a , AB = b , AC / = c Haõy biểu thị vectơ AD , A′C , B′D , BD′ theo vectơ a , b , c A D Giải Ta có với hình hộp ABCD A ′ B′ C′ D′ : b B a C = AC′ +