Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng ABC trùng với tâm O của tam giác ABC.. Một mặt phẳng P chứa BC và vuông góc với AA' [r]
(1)LUYỆN ÔN THI ĐẠI HỌC NĂM 2010 MÔN TOÁN LỚP 12 CHUYÊN ĐỀ : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Bài 1: Cho khối chóp S.ABC Trên ba cạnh SA; SB; SC lấy ba điểm A'; B'; C' (không trùng S) Gọi V và V' là thể tích khối chóp S.ABC;S.A ' B ' C ' Chứng minh rằng: Bài 2: V' SA ' SB ' SC ' ⋅ ⋅ V SA SB SC ĐS: = Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trung điểm SC Mặt phẳng (P) qua AM, song song với BD chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó ĐS: a) Bài 3: Cho hình chóp tứ giác có các cạnh a: S.ABCD a) Tính thể tích khối chóp b) Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy đến các mặt hình chóp a3 a ; b) 6 ĐS: V = Bài 4: 16a 45 Khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a SA ⊥ ( ABCD ) ; SA = 2a Gọi E; F là hình chiếu A trên SB và SD I là giao điểm SC và (AEF) Tính thể tích khối chóp S.AEIF ĐS: V = Bài 5: Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 đáy là tam giác Mặt phẳng ΔA1BC có diện tích Tính thể tích khối lăng trụ Bài 6: ( A1BC ) tạo với đáy góc 300 và 10 Khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác vuông cân, cạnh huyền AB = Mặt phẳng ( AA1B ) ĐS: V = vuông góc với mặt phẳng khối lăng trụ ( ABC ) , AA1 = ; ∠A1AB nhọn; ∠ ( ( A1AC ) ; ( ABC ) ) = 600 Tính thể tích ĐS: b) V = 20 5; V = 10 Bài 7: Khối lăng trụ tứ giác ABCD.A1B1C1D1 có khoảng cách hai đường thẳng AB và A1D 2; độ dài đường chéo mặt bên a) Hạ AK ⊥ A1D ( K ∈ A1D ) Chứng minh AK = b) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 34 ( cm ) 17 Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm ; AB = 3cm ; BC = 5cm Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD) Bài 8: (D.2002) ĐS: Bài 9: (A.2002) ĐS: S = a 10 16 ( dvdt ) Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, độ dài cạnh đáy a Gọi M và N là các trung điểm các cạnh SB và SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC) Bài 10: ĐS: Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tam giác ABC có AB = BC = 2a, góc ABC 1200 Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) Bài 11: ĐS: 21 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính góc hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) http://kinhhoa.violet.vn Lop12.net (2) ĐS: a) Bài 12: (D.2006) 57a 3a b) 19 50 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M và N là hình chiếu vuông góc A trên các đường thẳng SB và SC a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) b) Tính thể tích khối chóp A.BCNM Bài 13: a3 12 Hình chóp tam giác S.ABC có các cạnh bên SA = SB = SC = a ; ∠ASB = 1200 ; ∠BSC = 600 ; ĐS: V = ∠ASC = 900 Chứng minh tam giác ABC vuông và tính thể tích hình chóp S.ABC theo a Bài 14: ĐS: 4a 3cos α ⋅ sin α ; cos α = 3 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) 2a Góc các mặt bên và mặt đáy là α a) Tính thể tích khối chóp theo a va α b) Xác định α để thể tích khối chóp nhỏ a3 36 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a ; AD = a ; SA = a và SA vuông góc ĐS: V = Bài 15: (B.2006) với mặt phẳng (ABCD) Gọi M và N là trung điểm AD và SC; I là giao điểm BM và AC a) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) b) Tính thể tích khối tứ diện ANIB 4a 2a ;d= Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông B, AB = a ; AA ' = 2a ; A ' C = 3a ĐS: V = Bài 16: (D.2009) Gọi M là trung điểm đoạn thẳng A'C', I là giao điểm AM và A'C a) Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC b) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) 15 a Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và D; AB = AD = 2a ; CD = a ; góc ĐS: V = Bài 17: (A.2009) hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABCD ) 60 Gọi I là trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a ĐS: V = Bài 18: (B.2009) 9a 208 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB' = a, góc đường thẳng BB' và mặt phẳng (ABC) 600; tam giác ABC vuông C và ∠BAC = 600 Hình chiếu vuông góc điểm B' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A'ABC theo a ĐS: V = 3a Bài 19: Trong không gian cho hình chóp tam giác S.ABC có SC = a Góc tạo (ABC) và (SAB) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Bài 20: a3 Trong không gian cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thoi cạnh a, góc ∠ABC = 600 SO vuông góc a với đáy (O là tâm mặt đáy), SO = M là trung điểm AD, (P) là mặt phẳng qua BM và song song với SA, cắt SC K Tính thể tích khối chóp K.ABCD http://kinhhoa.violet.vn ĐS: V = Lop12.net (3) ĐS: AH = Bài 21: a 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) theo a, biết SA = a ĐS: V = 2a 3; h = Bài 22: (Chuyên ĐH Vinh 2008) 5a 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AD = a 2; CD = 2a Cạnh SA vuông góc đáy và SA = 2a Gọi K là trung điểm AB a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (SDK) b) Tính thể tích khối chóp C.SDK theo a; Tính khoảng cách từ K đến (SDC) ĐS: V = Bài 23: a3 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt phẳng (SAC) vuông góc với đáy, ∠ASC = 900 ; SA tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp ĐS: V = Bài 24: a3 12 Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh a, hình chiếu vuông góc A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O tam giác ABC Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA' cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích a2 Tính thể tích khối lăng trụ ĐS: V = Bài 25: Hình chóp S.ABC có AB = AC = a; BC = a3 16 a ; SA = a 3; ∠SAB = ∠SAC = 300 Tính thể tích khối chóp theo a ĐS: a) Bài 26: a a3 b) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy a Gọi G là trọng tâm tam giác SAC và khoảng cách từ G đến mặt bên (SCD) a a) Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy đến mặt bên (SCD) b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD ĐS: c) Bài 27: a3 36 Cho hình chóp S.ABC có đường cao AB = BC = a; AD = 2a , đáy là tam giác vuông cân P Gọi B' là trung điểm SB; C' là chân đường cao hạ từ A xuống SC a) Tính thể tích khối chóp ABC.A ' B ' C ' b) Chứng minh A ' ABC c) Tính thể tích khối chóp S.AB ' C ' a3 a ; b) Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy là tam giác vuông, AB = BC = a , cạnh bên AA ' = a Gọi M là ĐS: a) Bài 28: (D.2008) trung điểm cạnh BC a) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AM và B'C 3a ; cos ϕ = Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a; SA = a;SB = a và mặt phẳng (SAB) ĐS: V = Bài 29: (B.2008) vuông góc với mặt phẳng đáy M và N là trung điểm các cạnh AB; BC Tính thể tích khối chóp S.BMDN và góc (SM; ND) http://kinhhoa.violet.vn Lop12.net (4) a3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ∠BAD = ∠ABC = 90 ; AB = BC = a; AD = 2a SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi M; N là trung điểm SA; SD Tính thể tích khối chóp ĐS: a) a ; b) Bài 30: (CĐ.2008) S.ABCD và khối chóp S.BCNM a3 ; cos α = ĐS: V = Bài 31: (A.2008) Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông A, AB = a; AC = a và hình chiếu vuông góc A' trên (ABC) là trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A '.ABC và cosin góc hai đường thẳng AA' và B'C' a3 96 ĐS: V = Bài 32: (A.2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M; N; P là trung điểm các cạnh SB; BC; CD Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP ĐS: d = Bài 33: (A.2007 – DB1) a Lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a; AC = 2a; AA1 = 2a và ∠BAC = 120 Gọi M là trung điểm cạnh CC1 Chứng minh MB ⊥ MA1 và tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (A1MB) 13a 13 ĐS: d = Bài 34: (A.2007 – DB2) Cho hình chóp S.ABC có góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) 600 Các tam giác ABC và SBC là các tam giác cạnh a Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (SAC) 2a ĐS: V = 27 Bài 35: (B.2007 – DB1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy Cho AB = a; SA = a Gọi H và K là hình chiếu A lên SB; SC Chứng minh SC ⊥ ( AHK ) và tính thể tích khối chóp OAHK R3 12 ĐS: V = Bài 36: (B.2007 – DB2) Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó cho AC = R Trên đường thẳng vuông góc với (P) A lấy điểm S cho ∠ ( SAB, SBC ) = 60o Gọi H, K là hình chiếu A trên SB, SC Chứng minh ΔAHK vuông và tính VSABC? a3 12 Lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác vuông AB = AC = a; AA1 = a Gọi M; N là ĐS: V = Bài 37: (D.2007 – DB1) trung điểm AA1 và BC1 Chứng minh MN là đoạn vuông góc chung AA1 và BC1 Tính thể tích khối chóp MA1BC1 ĐS: d = Bài 38: (D.2007 – DB2) a 10 30 Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tất các cạnh a M là trung điểm đoạn AA1 Chứng minh BM ⊥ B1C và tính d( BM;B C ) ĐS: d = Bài 39: (B.2007) a Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a E là điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M là trung điểm AE, N là trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD và tính khoảng cách MN và AC (theo a) http://kinhhoa.violet.vn Lop12.net (5) a Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang; ∠ABC = ∠BAD = 90 ; AD = 2a ; BA = BC = a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên SB ĐS: h = Bài 40: (D.2007) a) Chứng minh tam giác SCD vuông b) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD ) ĐS: V = Bài 41: (A2008.DB2) a3 36 Cho hình chóp S.ABC mà mặt bên là tam giác vuông SA = SB = SC = a Gọi M; N; E là trung điểm các cạnh AB; AC; BC D là điểm đối xứng S qua E; I là giao điểm AD và (SMN) a) Chứng minh AD ⊥ SI b) Tính theo a thể tích khối tứ diện M.BSI ĐS: V = Bài 42: (A.2006 – DB1) Cho hình hộp đứng ABCD.A ' B ' C ' D ' có các cạnh AB = AD = a; AA ' = 3a 16 a và góc ∠BAD = 60 Gọi M và N là trung điểm A'D' và A'B' Chứng minh AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN ĐS: V = Bài 43: (A.2006 – DB2) 10 3a 27 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a; AD = 2a ; cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy M cho AM = a , mặt phẳng (BCM) cắt SD N Tính thể tích khối chóp S.BCNM ĐS: V = Bài 44: (B.2006 – DB1) 3a 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a Góc ∠BAD = 600 SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a Gọi C' là trung điểm SC, mặt phẳng (P) qua AC' và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD hình chóp B', D' Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D' a 3b − a 2 3b − a ; VA '.BB ' C ' C = a Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có A ' ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a , cạnh bên AA ' = b Gọi α là góc hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC) Tính tan α và thể tích khối chóp A ' BB ' C ' C Bài 45: (B.2006 – DB2) ĐS: tan α = ĐS: V = Bài 46: (D.2006 – DB1) a 3b ⋅ a −16b Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy a Gọi SH là đường cao hình chóp Khoảng cách từ trung điểm I SH đến mặt phẳng (SBC) b Tính thể tích khối chóp S.ABCD ĐS: V1 = Bài 47: (D.2006 – DB1) 2a a3 ; V2 = 3 Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' có cạnh a và điểm K thuộc cạnh CC' cho: CK = 2a Mặt phẳng (α) qua A, K và song song với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện Tính thể tích hai khối đa diện đó ĐS: V = Bài 48: π 3a 2πa ( dvtt ) ; Sxq = 16 Cho hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A; B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai hình trụ Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 450 Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ Bài 49: Cho hình hón đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, SA và SB là hai đường sinh Biết SO = 3a , khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) a, diện tích tam giác SAB 18a Tính thể tích và diện tích xung quanh khối nón đã cho http://kinhhoa.violet.vn Lop12.net (6) ĐS: Stp = 4πa ; V = πa ; VO.O.AB = Bài 50: a3 ( dvtt ) 12 Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn tâm O và O' Bán kính đáy chiều cao và a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B cho AB = 2a a) Tính diện tích toàn phần hình trụ và thể tích khối trụ b) Tính thể tích tứ diện OO'AB Bài 51: ĐS: V = 3r Cho hình chóp cụt tam giác ngoại tiếp hình cầu bán kính r cho trước Tính thể tích khối chóp cụt biết cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nhỏ (Hình chóp ngoại tiếp hình cầu hình cầu tiếp xúc với tất các mặt hình chóp) Bài 52: Cho hình chóp tam giác S.ABC độ dài cạnh bên a Các mặt bên hợp với mặt phẳng đáy góc α Tính thể tích khối cầu nội tiếp hình chóp Bài 53: Cho hình chóp S.ABCD Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy Đáy ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R Xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD biết SA = h Bài 54: Hình cầu đường kính AB = 2R Lấy H trên AB cho AH = x, ( < x < 2R ) Mặt phẳng (P) vuông góc với AB H cắt mặt cầu theo giao tuyến là hình tròn (C), MNPQ là hình vuông nội tiếp hình tròn giao tuyến (C) a) Tính bán kính đường tròn giao tuyến; tính độ dài MN; AC b) Tính thể tích khối đa diện tạo hai hình chóp A.MNPQ vàB.MNPQ Đáp số: a) r = x ( 2R − x ) ; MN = r = 2x ( 2R − x ) ; AC = 2Rx 4R 8R 4R x + x; Vmax = , ( x = R) 3 b) V = − ĐS: S = Bài 55: 4πa 3a − b Cho tứ diện ABCD có AB = BC = AC = BD = a ; AD = b Hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) vuông góc với a) Chứng minh tam giác ACD vuông b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Bài 56: Hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy a, tâm đáy là O; chiều cao SH = a a) CMR tồn mặt cầu tâm O tiếp xúc với tất các mặt bên hình chóp Tính bán kính mặt cầu b) (P) là mp // với (ABCD) và cách (ABCD) khoảng x ( < x < R ) Std là diện tích thiết diện tạo (P) và hình chóp (bỏ phần diện tích nằm mặt cầu) Xác định x để Std = πR Đáp số: a) R = a ; b) Std = ( + π ) x − 4ax + 8−π 4−π a a = πa ⇒ x = ( + π) ĐS: S = 4πR = Bài 57: 29 29πa 29πa ;V= 16 384 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy và chiều cao cùng a Gọi E; K là trung điểm các cạnh AD và BC a) Tính diện tích xung quanh mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.EBK b) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.EBK ĐS: S = Bài 58: 24πa Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, cạnh đáy có độ dài a, cạnh bên tạo với mặt đáy góc 300 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp http://kinhhoa.violet.vn Lop12.net (7)