SỞ GD&ĐT ĐIỆN BIÊN Đề thi chính thức KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP CƠ SỞ - NĂM HỌC 2009 -2010 Môn:Toán Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 07/01/2010 (Đề thi có 01 trang) ĐỀ BÀI Câu 1: (6 điểm) 1. Cho phương trình: (1) (m là tham số). a) Giải phương trình (1) với m = 0. b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm. 2. Giải hệ phương trình: Câu 2: (5 điểm) 1. Tìm GTLN của hàm số: trên đoạn . 2. Cho hàm số có đồ thị là (C). Tính diện tích tam giác có các đỉnh là các điểm cực trị của đồ thị (C). Câu 3: (6 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Chứng minh rằng với mọi giá trị của t đường thẳng (d) có phương trình: (t là tham số) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A 1 B 1 C 1 có AB = a, AC = 2a, AA 1 = và . Gọi M là trung điểm của CC 1 . Chứng minh MB MA 1 và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A 1 BM). Câu 4: (1.5 điểm) Cho đa thức có các hệ số không âm và có n nghiệm thực. Chứng minh . Câu 5: (1.5 điểm) Cho hàm số: có đồ thị là (C). là điểm trên (C) có hoành độ . Tiếp tuyến của (C) tại cắt (C) tại điểm khác , tiếp tuyến của (C) tại cắt (C) tại điểm khác , tiếp tuyến của (C) tại điểm cắt (C) tại điểm khác (n = 4; 5;…), gọi là tọa độ điểm . Tìm n để : Hết 1 2sin 1 sin 2 3.2 4 x x m + + − = − 6 6 5 5 1 1 x y x y + = + = 3 2 3 72 90y x x x= − + + − [ ] 7;7− 4 2 1 2 3 4 y x x= − + cos sin sin 2cos 3 0x t y t t t+ + − − = 2 5a · 120BAC = o ⊥ ( ) 1 2 1 2 1 1 n n n n n f x x a x a x a x − − − − = + + + + +L ( ) 2 3 n f ≥ 3 2009y x x= − 1 M 1 1x = 1 M 2 M 1 M 2 M 3 M 2 M 1n M − n M 1n M − ( ) ; n n x y n M 2013 2009 2 0 n n x y+ + = ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 12 NĂM HỌC 2009-2010 Câu 1 NỘI DUNG 6điểm 1 (4điểm) Đặt ta có phương trình: (2) 0.5 a.Với m = 0 suy ra: 0.5 1 b.ycbt(2) có nghiệm 0.5 (2) có nghiệm khi đường thẳng y = m cắt trên 0.5 …… 0.5 Suy ra thì (1) có nghiệm 0.5 2 (2điểm) Lập luận từ (1) và (2) suy ra và x, y không cùng dấu 0.75 Vai trò của x, y bình đẳng , không làm mất tính tổng quát giả sử . Lập luận đưa ra hệ vô nghiệm 0.75 Nhận thấy là các nghiệm của hệ 0.5 Câu 2 trên đoạn 4 điểm 1 (2điểm) Xét hàm trên 0.5 1.0 0.5 1 2sin 1 sinx 2 3.2 4 x m + + − = − sinx 1 2 ;2 2 t t = ⇒ ∈ 2 2 6 4t t m− = − 2 2 6 4 0 1 2t t t t− + = ⇔ = ∨ = sinx 1 2 1 sinx 0t x k π = ⇒ = ⇔ = ⇔ = sinx 2 2 2 sinx 1 2 2 t x k π π = ⇒ = ⇔ = ⇔ = + ⇔ 1 ;2 2 t ∈ ( ) 2 2 2 6 4t t m⇔ − + = ( ) 2 : 2 6 4P y t t= − + 1 ;2 2 ( ) 1 3 3 1 ; ; 2 0 2 2 2 2 y y y = = − = ÷ ÷ 1 3 2 2 m− ≤ ≤ 6 6 5 5 1 (1) 1 (2) x y x y + = + = [ ] , 1;1x y∈ − 1 0 1x y− < < < < ( ) ( ) 0;1 ; 1;0 3 2 3 72 90y x x x= − + + − [ ] 7;7− ( ) 3 2 3 72 90f x x x x= − + + − [ ] 7;7− 2 ' 3 6 72 0 4 6y x x x x= − + + = ⇔ = − ∨ = ( ) ( ) ( ) ( ) 4 266; 6 234; 7 218; 7 104y y y y− = − = = − = − [ ] ( ) 7;7 max 4 266y y − = − = 2 (2điểm) Các điểm cực trị: 1.0 NX: các điểm cực trị tạo thành tam giác cân tại C. Suy ra diện tích được tính: 1.0 Câu 3 6 điểm 1 (2điểm) (*) 0.5 tìm các điểm mà đường thẳng không đi qua với mọi t hay (*) vô nghiệm xét đt (C ) 0.5 C/M đường tròn ( C ) tiếp xúc (d) với mọi t 0.5 Vậy đường thẳng đã cho luôn tiếp xúc với đường tròn cố định có phương trình : 0.5 2 (4điểm) a. Chứng minh . 0.75 0.75 Suy ra 0.5 4 2 1 2 3 4 y x x= − + ( ) ( ) ( ) 2; 1 ; 0;3 ; 2; 1A B C− − − ( ) 1 1 . 4.4 8 2 2 S BH AC dvdt= = = ( ) ( ) cos sin sin 2cos 3 0 1 sin 2 cos 3x t y t t t y t x t+ + − − = ⇔ + + − = ⇒ ( ) ( ) 2 2 2 1 2 3y x⇔ + + − < ( ) ( ) 2 2 2 1 2 3y x+ + − = ( ) ( ) 2 2 2 1 2 3y x+ + − = 'MB MA⊥ uuur uuuur ( ) ( ) 1 AA' 2 BM BA AM AB AC CM AB AC = + = − + + = − + + ÷ uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur ( ) 1 ' ' ' ' AA' 2 A M A C C M AC = + = − ÷ uuuuur uuuur uuuuur uuur uuuur 1 1 . ' AA' AA' 2 2 BM A M AB AC AC = − + + − ÷ ÷ uuuur uuuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 . .AA' .AA' AA'. AA' 2 2 2 4 1 4 2 5 0 4 AB AC AB AC AC AC a a a = − + + − + − ÷ = + − = uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur 'MB MA⊥ uuur uuuur b.Tính khoảnh cách từ A đến mp(A’BM) 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu 5 2 điểm Gọi suy ra tiếp tuyến tại 0.5 Tọa độ điểm được xác định: 0.5 Ta có : 0.5 0.5 Câu 4 2 điểm có các hệ số không âm và n nghiệm thực . Suy n nghiệm đó âm giả sử là các nghiệm: 0.5 Theo cách phân tích đa thức ta được 0.5 Đặt với 0.5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ' ' AA' ' 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 ' 2 0 AA' 1 1 , ' . , AA' . 3 3 1 . ' 2 1 2. . .cos120 AA' 12 4 ' ' ' ' 9 1 3 . 12 3 3 2 1 3 2 .2 5 2 5; , AA' .sin60 2 2 , ' A A BM A BM M A BM A BM M V d A A BM S d B M S S MB MA MB BC CM AB AC AC AB a MA A C C M a S a a a a S a a a d B M BH AB d A A BM = = = = + = + − + = = + = ⇒ = = = = = = = ⇒ ( ) ( ) 2 2 3 5 .3 3 2 5. , ' 2 3 a a a d A A BM a= ⇒ = 3 2009y x x= − ( ) ; k k k M x y ( ) ( ) : ' k k k k M y y y x x x− = − ( ) ( ) 2 3 3 2009 2009 k k k k y x x x x x⇔ = − − + − 1k M + ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 2 1 2009 3 2009 2009 . 2 0 2 2 k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + − = − − + − ⇔ − + − = ⇔ = ∨ = − ⇒ = − ( ) 1 1 2 3 1; 2; 4; ; 2 n n x x x x − = = − = = − ( ) ( ) 2010 3 2010 3 3 2013 2013 2009 2 0 2009 2009 2 0 2 2 2 3 3 2013 672 n n n n n n x y x x x n n − + + = ⇔ + − + = ⇔ − = − = − ⇔ − = ⇔ = ( ) 1 2 1 2 1 1 n n n n n f x x a x a x a x − − − − = + + + + +L , 1,2, , i x i n= ( ) ( ) 1 n i i f x x x = = Π − ( ) ( ) 1 0 n i i i i i x f x x α α α = − = ⇒ > ⇒ = Π + 1 1 n i i α = Π = Ta có .Suy ra đpcm 0.5 ( ) ( ) ( ) 3 1 1 1 2 2 1 1 3 3 n n n n n i i i i i i f α α α = = = = Π + = Π + + ≥ Π = . SỞ GD&ĐT ĐIỆN BIÊN Đề thi chính thức KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP CƠ SỞ - NĂM HỌC 2009 -2 010 Môn: Toán Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 07/01 /2010 (Đề. = ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 12 NĂM HỌC 2009 -2 010 Câu 1 NỘI DUNG 6điểm 1 (4điểm) Đặt ta có phương trình: (2) 0.5 a.Với m = 0 suy ra: 0.5 1 b.ycbt(2) có nghiệm 0.5 (2) có. đề Ngày thi: 07/01 /2010 (Đề thi có 01 trang) ĐỀ BÀI Câu 1: (6 điểm) 1. Cho phương trình: (1) (m là tham số). a) Giải phương trình (1) với m = 0. b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm. 2. Giải