CHUYÊN ĐỀ HYPEBOL Để giải toán có liên quan đến đường hypebol ta cần nắm vững vấn đề sau: Hypebol (H) có tâm O, hai trục đối xứng x′ x, y′ y Hypebol có tiêu điểm x′ x Phương trình tắc x2 y2 – =1 a2 b với c2 = a2 + b2 Tiêu điểm Hypebol có tiêu điểm t rên y′ y x2 y2 – = –1 a2 b2 với c2 = a2 + b2 F1(–c, 0), F2(c, 0) F1(0, –c), F2(0, c) 2c 2c Trục thực, độ dài Ox, 2a Oy, 2b Trục ảo, độ dài Oy, 2b Ox, 2a A1(–a, 0), A2(a, 0) A1(0, –b), A2(0, b) Tiêu cự Đỉnh Tiệm cận Tâm sai Bán kính M(xM, yM) ∈ (H) y= ± e= b x a y= ± c a e= ⎧r1 = F1M = ex M + a ⎨ ⎩r2 = F2 M = ex M − a (xM ≥ a) ⎧r1 = −ex M − a ⎨ ⎩r2 = −ex M + a (xM ≤ – a) DeThiMau.vn a x b c b ⎧r1 = F1M = ey M + b ⎨ ⎩r2 = F2 M = ey M − b (yM ≥ b) ⎧r1 = −ey M − b ⎨ ⎩r2 = −ey M + b (yM ≤ – b) Đường chuẩn x= ± a e y= ± b e Phương trình tiếp x0 x y y – 02 = a b tuyến tiếp x0 x y y – 02 = –1 a b điểm M0(x0, y0) ∈ (H) Ngoài ta cần lưu ý: Điều kiện để: (D) : Ax + By + C = tiếp xúc với (H) : x2 y2 – = laø a2 b2 a2A2 – b2B2 = C2 > (D) : Ax + By + C = tiếp xúc với (H) : x2 y2 – = –1 laø a2 b2 a2A2 – b2B2 = –C2 < Ví dụ : Cho hypebol (H) : 4x2 – y2 = 1) Xác định tiêu điểm, đỉnh, tâm sai, đường tiệm cận đường chuẩn (H) 2) Viết phương trình tiếp tuyến với (H) điểm M(1, 0) 3) Viết phương trình tiếp tuyến với (H) phát xuất từ điểm N(1, 4) tìm tọa độ tiếp điểm Giải 1) Các phần tử hypebol (H) (H) : 4x2 – y2 = ⇔ x2 – y2 x2 y2 = có dạng – = với a b a2 = ⇒ a = 1, b2 = ⇒ b = vaø c2 = a2 + b2 = Vaäy hypebol (H) có tiêu điểm F1( − , 0), F2( , 0) ; hai đỉnh A1(–1, 0), A2(1, 0) ; c = ; hai đường tiệm cận phương trình y = ± 2x hai đường chuẩn phương tâm sai e = a trình x= ± a = ± e DeThiMau.vn 2) Phương trình tiếp tuyến với (H) tiếp điểm M(1, 0) Ta có M(1, 0) ∈ (H) : 4x2 – y2 = ⇒ Phương trình tiếp tuyến với (H) tiếp điểm M(1, 0) laø 4xMx – yMy = ⇔ 4x – 0y = ⇔ x=1 3) Phương trình tiếp tuyến với (H) phát xuất từ N(1, 4) Hai tiếp tuyến phương với 0y x = ± a = ± Vậy x=1 tiếp tuyến qua N(1, 4) Tiếp tuyến (Δ) (Δ) qua N(1, 4) không phương với 0y có dạng: : y – = k(x – 1) ⇔ kx – y + – k = x2 y2 – =1 ( Δ ) tiếp xúc với hypebol (H) : ⇔ k2 12 – 4(–1)2 = (4 – k)2 ⇔ k2 - = 16 – 8k + k2 ⇔ k= 20 5 =0 = Vaäy ( Δ ) : x – y – – 2 ⇔ 5x – 2y – 13 = Tóm lại có hai tiếp tuyến qua điểm N(1, 4) laø x = 1, vaø *** DeThiMau.vn 5x – 2y – 13 = ... – = k(x – 1) ⇔ kx – y + – k = x2 y2 – =1 ( Δ ) tiếp xúc với hypebol (H) : ⇔ k2 12 – 4(–1)2 = (4 – k)2 ⇔ k2 - = 16 – 8k + k2 ⇔ k= 20 5 =0 = Vaäy ( Δ ) : x – y – – 2 ⇔ 5x – 2y – 13 = Tóm lại có