CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG TRÒN Để tìm phương trình đường tròn ta cần lưu ý: Phương trình đường tròn (C) tâm I(a, b) bán kính R laø : (x − a) + ( y − b ) = R2 Phương trình (C) dạng khai triển : x2 + y2 – 2ax – 2by + c = ( hay x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0) với c = a2 + b2 – R2 R2 = ⇔ a + b2 − c Do ta phải có điều kiện a2 + b2 – c ≥ Phương trình tham số đường tròn tâm I(a, b) bán kính R là: ⎧ x = a + R cos t ⎨ ⎩ y = b + R sin t (t ∈ R) Để viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn ta cần phân biệt : a) Trường hợp biết tiếp điểm : ta dùng công thức phân đôi tọa độ : Tiếp tuyến ( Δ ) tiếp điểm M0(x0, y0) với : - đường tròn (C) : ( x − a ) + ( y − b ) = R2 laø 2 (x0 – a) (x – a) + (y0 – b) (y – b) = R2 - đường tròn (C) : x2 + y2 – 2ax – 2by + c = laø x0x + y0y – a(x0 + x) – b(y0 + y) + c = b) Trường hợp tiếp điểm, ta áp dụng tính chất : Đường thẳng ( Δ ) tiếp xúc với đường tròn tâm I bán kính R ⇔ d( I , Δ ) = R c) đường tròn (C) : ( x − a ) + ( y − b ) = R2 có tiếp tuyến phương với Oy laø x = 2 a ± R Ngoaøi tiếp tuyến x = a ± R, tiếp tuyến khác với đường tròn ( C) có dạng y = kx + m dạng y = k ( x –x0 ) + y0 tiếp tuyến qua ( x0 , y0 ) điểm nằm đường tròn Ví dụ DeThiMau.vn Trong mặt phẳng Oxy cho A(–2, 0), B(0, 4) a) Viết phương trình đường tròn (C) qua điểm O, A, B b) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) A, B c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) phát xuất từ điểm M(4, 7) Giải a) Phương trình đường tròn (C) có dạng : x2 + y2 – 2ax – 2by + c = Đường tròn (C) qua điểm O, A, B nên : ⎧c = ⎪ ⎨4 + 4a + c = ⎪16 − 8b + c = ⎩ Vaäy (C) : ⇔ ⎧c = ⎪ ⎨a = −1 ⎪b = ⎩ x2 + y2 + 2x – 4y = Cách khác: Tam giác ABC vuông O nên có tâm trung điểm AB đường kính AB nên pt dường tròn (C) là: ( x + )2 + ( y − )2 = 1 AB2 = ( + 16 ) = 4 Cách khác: Tam giác ABC vuông O nên với M ( x, y ) ∈ (C ) ta có AM.BM = Vậy pt đường tròn ( C ) ( x − xA )( x − xB ) + ( y − yA )( y − yB ) = b) Phương trình tiếp tuyến với (C) : Tiếp điểm A(–2, 0) laø : –2x + 0.y + (–2 + x) – 2(0 + y) = ⇔ Tiếp điểm B(0, 4) laø : x + 2y + = 0.x + 4.y + (0 + x) – 2(4 + y) = ⇔ x + 2y – = c) Đường tròn (C) : x2 + y2 + 2x – 4y = có tâm I(–1, 2) bán kính R = + 22 − = Hai tiếp tuyến phương với Oy x = a ± R = −1 ± Hai tiếp tuyến không qua M(4, 7) Vậy phương trình tiếp tuyến qua M(4, 7) có dạng: (Δ) : y – = k(x – 4) ⇔ kx – y + – 4k = (Δ) tiếp xúc với đường tròn (C) ⇔ d( I , Δ ) = R DeThiMau.vn ⇔ − k − + − 4k k +1 = ⇔ 4k2 – 10k + = − 5k = ⇔ ⇔k=2 hay k= k2 + 1 Vậy có tiếp tuyến với đường tròn (C) phát xuất từ điểm M(4, 7) với phương trình : k=2 k= ⇒ 2x – y – = ⇒ x – y + = Ví dụ (ĐH KHỐI B-2003) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có AB=AC, BAC = 900 Biết M(1,–1) trung điểm cạnh BC G( ; 0) trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh A , B, C G trọng taâm ΔABC ⇔ AG = 2GM 2 ⎧2 ⎧x A = ⎪ − x A = 2(1 − ) = ⇔ ⎨3 ⇔ A (0, 2) 3 ⇔ ⎨ ⎩y A = ⎪⎩ −y A = 2(−1 − 0) = −2 PT: BC qua M (1, −1) ⊥ AM = (1, −3): x – 3y – = PT đ.tròn (C) tâm M, bán kính R = AM= + = 10 (x – 1)2 + (y + 1)2 = 10 ⎧x − 3y − = Tọa độ B, C thỏa : ⎨ 2 ⎩(x − 1) + (y + 1) = 10 ⎧x = 3y + ⎧ x = −2 ⎧x = ∨ ⎨ ⇔⎨ ⇔ ⎨ 2 ⎩y = ⎩ y = −2 ⎩(3y + 3) + (y +1) = 10 ⇔ (y +1) = Vaäy B (4, 0); C(−2, −2) hay B(−2, −2); C (4, 0) Ví dụ (ĐH KHỐI D-2003) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = đường thẳng d: x – y – = Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d Tìm tọa độ giao điểm (C) (C’) Giải (C1) có tâm I (1, 2), R = Gọi I’ đối xứng I qua (d) Gọi (Δ) đường thẳng qua I (Δ) ⊥ (d) (Δ) : x + y – = (Δ) ∩ (d) = H(2, 1) H trung điểm II’ x +1 ⎧ ⎪⎪2 = ⎧x = ⇒ ⎨ Giả sử I’ (x, y) ⇒ ⎨ ⎩y = ⎪1 = y + ⎪⎩ ⇒ I’ (3, 0); R’ = R = (C’) : (x – 3)2 + y2 = DeThiMau.vn ⎧⎪(x − 1)2 + (y − 2)2 = ⎧(x − 3)2 + y = ⇔ ⎨ 2 ⎪⎩(x − 3) + y = ⎩x − y − = Giải hệ ⎨ ⎧x = y + ⇔ ⎨ ⎩2y − 4y = ⎧x = ⎧x = ∨ ⎨ ⎩y = ⎩y = ⇔ ⎨ Vậy giao điểm (C) vaø (C’) laø A (1, 0) vaø B (3, 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng Ví dụ (ĐH KHỐI A-2005) d1 : x – y = vaø d2 : 2x + y – = 0.Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 đỉnh B, D thuộc trục hoành Giải A ∈ d1 ⇔ A (m; m) C ∈ d2 ⇔ C (n; – 2n) Vì B, D ∈ Ox ABCD hình vuông nên : ⎧m = n ⎩ m = 2n − A vaø C đối xứng qua Ox ⇔ ⎨ ⎧m = ⎩n = ⇔ ⎨ Suy A(1; 1), C(1; -1) Gọi (C) đường tròn đường kính AC ⇒ Phương trình (C) : (x–1)2 +y2=1 B D giao điểm (C) Ox nên tọa độ B, D 2 ⎧ nghiệm hệ : ⎪⎨(x − 1) + y = ⎪⎩y = ⎧x = ∨ x = ⇔ ⎨ Suy B (0; 0), D(2; 0) hay B(2; 0), D(0; 0) ⎩y = Vaäy A(1; 1), B (0; 0), C(1; -1), D(2; 0) hay A(1; 1), B(2; 0), C(1; -1), D(0; 0) Ví dụ (ĐH KHỐI B-2005)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 0), B(6; 4) Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành điểm A khoảng cách từ tâm (C) đến điểm B Giải Gọi I (x; y) tâm (C) Ta có : (C) tiếp xúc Ox A ⇒ IA ⊥ i = (1; 0) ⇔ x – = ⇔x=2 IB = ⇔ (x – 6)2 + (y – 4)2 = 25 ⇔ (2 – 6)2 + (y – 4)2 = 25 ⇔ (y – 4)2 = ⇔ y – = ±3 ⇔ y = hay y = Trường hợp 1: I(2; 7) ⇒ R = d(I, Ox) = Suy pt (C) : (x – 2)2 + (y – 7)2 = 49 Trường hợp 2: I (2; 1) ⇒ R = d(I, Ox) = ⇒ pt (C) : (x – 2)2 + (y – 1)2 = Ví dụ (ĐỀ DỰ BỊ KHỐI A -2002) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho hai đường tròn: (C1) : x2 + y2 – 10x = 0; (C2) : x2 + y2 + 4x – 2y – 20 = DeThiMau.vn 1) Viết phương trình đường tròn qua giao điểm (C1), (C2) có tâm nằm đường thẳng x + 6y – = 2) Viết phương trình tiếp tuyến chung đường tròn (C1) (C2) Giải 1) Phương trình chùm đường tròn qua giao điểm (C1), (C2) : m(x2 + y2 – 10x) + n(x2 + y2 + 4x – 2y – 20) = với m2 + n2 > 2 ⇔ (m + n)x + (m + n)y + (4n – 10m)x – 2ny – 20n = ⎛ 4n − 10m ⎞ 2n 20n ⇔ x2 + y2 + ⎜ y− =0 ⎟x − m+n m+n ⎝ m+n ⎠ n ⎞ ⎛ 5m − 2n ; ⎟ ⎝ m + n m + n⎠ Có tâm I ⎜ Vì tâm I ∈ d : x + 6y – = ⇒ 5m − 2n + 6n − 6m − 6n =0 m+n ⇒ m = −2n Cho n = ⇒ m = −2 Vậy phương trình đường tròn :x2 + y2 – 24x + 2y + 20 = 2) Viết phương trình tiếp tuyến chung (C1), (C2) (C1) có tâm I1(5; 0), bán kính R1 = ⇒ I1I2 < R1 + R2 (C2) có tâm I2(−2; 1), bán kính R2 = Vì (C1), (C2) cắt điểm nên có tiếp tuyến chung Vì x = xo tiếp tuyến chung nên pt tt chung Δ có dạng : y = ax + b ⇔ ax – y + b = Δ tiếp xúc với (C1) ⇔ d(I1, Δ) = R1 ⇔ ⏐5a + b⏐ a2 + =5 ⇔⏐5a + b⏐ = a + (1) Δ tiếp xúc với (C2) ⇔ d(I2, Δ) = R2 ⇔ ⏐− 2a − + b⏐ a2 + ⇔ ⏐−2a – + b⏐ = a + (1) vaø (2) ⇒ ⏐5a + b⏐ = ⏐−2a – + b⏐ ⎡5a + b = ⎣5a + b = ⇔⎢ Theá a = − =5 (2) ⎡ a=− ⎢ −2a − + b ⇔ ⎢ +2a + − b ⎢ b = −3a + ⎢⎣ + 25 − 25 vào (1) ta có : b1 = ; b2 = 7 Vậy ta có tiếp tuyến : x + 7y – + 25 = x + 7y – − 25 = Cách khác: Vì R1 = R2 đường tròn cắt nên tiếp tuyến chung thẳng song song với I1I2 = (−7;1) Vậy phương trình tiếp tuyến có dạng : x + 7y+m = (Δ) d(I1, Δ) = ⇔ ⏐5 + m⏐ = + ⇔ m = – ± 25 phương trình tiếp tuyến laø x + 7y – ± 25 = DeThiMau.vn đường Vậy GHI CHÚ : Bài đường tròn chương trình lớp 12 bao gồm vấn đề : Tìm phương trình đường tròn; toán liên quan đến vị trí tương đối giữường thẳng đường tròn, hai đường tròn; phương tích điểm đường tròn; trục đẳng phương hai đường tròn không đồng tâm Ngoài có số câu hỏi liên quan đến phương trình x2 + y2 + 2Ax + 2By +C = (1) Chẳng hạn tìm điều kiện để (1) phương trình đường tròn Từ phương trình (1) tìm tâm bán kính đường tròn, tìm tham số để bán kính thoả điều kiện Sau đây, đề cập đến cách tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác vài ứng dụng trục đẳng phương hai đường tròn không đồng tâm Đây vấn đế em thường “ sợ” gặp phải A/ Cách tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC : Trước hết cần lưu ý : • Tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao điểm hai đường phân giác • Muốn tìm phương trình đường tròn ta tìm tâm I (a ; b) bán kính R Khi phương trình đường tròn có dạng (x – a)2 + (y – b)2 = R2 • Cho k số thực khác 1, ta có : x A − kx B ⎧ ⎪⎪x M = − k MA = k MB ⇔ ⎨ ⎪y = y A − ky B ⎪⎩ M 1− k 1/ (I) Nếu đề cho biết tọa độ A, B, C : • Gọi D chân đường phân giác kẻ từ A A tam giác ABC Ta coù : DB = − I B D C Sử dụng công thức (I) với k = − AB DC AC AB ta xác định tọa độ điểm D AC • Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC I chân đường phân giác kẻ từ B tam giác ABD Ta có : IA = − BA ID BD Sử dụng công thức (I) với k = − BA xác định tọa độ tâm I BD Còn bán kính đường tròn nội tiếp tam giác khoảng cách từ tâm I đến cạnh tam giác ABC Chú ý : Nếu ba đỉnh tam giác trùng với gốc tọa độ hai đỉnh lại nằm hai trục tọa độ cách giải thu gọn biết trước đường phân giác kẻ từ gốc tọa độ Đường phân giác lại tìm thông qua tìm chân đường phân giác trình bày DeThiMau.vn 2/ Nếu đề cho biết phương trình cạnh tam giác ABC từ phương trình cạnh đó, ta tìm tọa độ điểm A, B, C cách giải hệ phương trình tọa độ giao điểm sử dụng cách giải phần Ngoài giải kiến thức miền tạo đường thẳng khoảng cách đại số từ điểm đến đường thẳng B/ Trục đẳng phương hai đường tròn không đồng tâm : 1/ Cho hai đường tròn không đồng tâm : (C1) : x2 + y2 + 2a1x + 2b1y + c1 = (1) (C2) : x2 + y2 + 2a2x + 2b2y + c2 = (2) Trục đẳng phương (C1) (C2) tập hợp điểm có phương tích (C1) (C2) có phương trình : 2(a1 – a2)x + 2(b1 – b2)y + c1 – c2 = 2/ Ứng dụng : Trong chương trình Hình học lớp 10 ta biết cách dựng trục đẳng phương (C1) (C2) • Nếu (C1) (C2) cắt điểm A B trục đẳng phương (C1) (C2) đường thẳng AB • Nếu (C1) (C2) tiếp xúc (Tiếp xúc tiếp xúc ngoài) trục đẳng phương (C1) (C2) tiếp tuyến chung (C1) (C2) tiếp điểm • Nếu (C1) (C2) không cắt vẽ thêm đường tròn (C3) cho cắt (C1), (C2) có tâm không nằm đường nối tâm (C1), (C2) Gọi M giao điểm hai trục đẳng phương (C1) (C3), (C2) (C3) Khi trục đẳng phương (C1) (C2) đường thẳng qua M vuông góc với đường nối tâm (C1) (C2) Bài toán : Cho đường tròn (C) M điểm nằm (C) Từ M kẻ MA MB hai tiếp tuyến (C) (A B hai tiếp điểm) Viết phương trình đường thẳng AB Gọi I tâm R bán kính đường tròn (C) Cách giải : Gọi (C’) đường tròn tâm M, bán kính : (C) A (C’) R’ = MA = IM − R I M Suy (C) (C’) cắt A B Do đường thẳng AB trục đẳng phương (C) B (C’) Qua kết ta ghi nhớ kết : • Đường thẳng qua giao điểm hai đường tròn (C1) (C2) trục đẳng phương (C1) (C2) [Nghóa không cần tìm tọa độ giao điểm (C1) (C2)] • Tiếp tuyến chung đường tròn (C1) (C2) tiếp xúc tiếp điểm trục đẳng phương (C1) (C2) Sau đây, lưu ý thêm toán thường gặp : Bài : Cho (C1) (C2) Tìm quỹ tích điểm M từ vẽ đến (C1) (C2) đoạn tiếp tuyến Cách giải : • M Gọi MA MB (như hình vẽ) tiếp tuyến từ M đến (C1) (C2) Ta có : MA = MB ⇔ MA2 = MB2 ⇔ PM /( C1 ) = PM /(C2 ) A• •B (C1) (C2) Do quỹ tích M trục đẳng phương (C1) (C2) DeThiMau.vn Bài : Tìm tiếp điểm M hai đường tròn tiếp xúc (C1) (C2) Gọi I1 I2 tâm (C1) (C2) Tiếp điểm M d giao điểm trục đẳng phương (C1) (C2) với đường nối tâm I1I2 I1 M I2 (C2) (C1) Ví dụ (ĐỀ DỰ BỊ KHỐI B -2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : (C1 ): x2 + y2 = vaø (C2 ): x2 + y2 −2 x − y − 23 = Viết phương trình trục đẳng phương d đường tròn (C1) (C2) Chứng minh K thuộc d khỏang cách từ K đến tâm (C1) nhỏ khỏang cách từ K đến tâm ( C2 ) Giải: Đường tròn ( C1 ) có tâm O ( 0,0 ) bán kính R1 = Đường tròn ( C2 ) có tâm I (1,1) , bán kính R = Phương trình trục đẳng phương đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) laø (x ) ( ) + y2 − − x + y2 − 2x − 2y − 23 = ⇔ x + y + = (d) Goïi K ( x k ,y k ) ∈ ( d ) ⇔ y k = −x k − 2 OK = ( x k − ) + ( y k − ) = x 2k + y2k = x 2k + ( − x k − ) = 2x 2k + 14x k + 49 2 2 IK = ( x k − 1) + ( y k − 1) = ( x k − 1) + ( − x k − ) = 2x 2k + 14x k + 65 ( ) ( ) Ta xeùt IK − OK = 2x 2k + 14x k + 65 − 2x 2k + 14x k + 49 = 16 > Vaäy IK > OK ⇔ IK > OK(ñpcm) *** DeThiMau.vn ... DeThiMau.vn laø đường Vậy GHI CHÚ : Bài đường tròn chương trình lớp 12 bao gồm vấn đề : Tìm phương trình đường tròn; toán liên quan đến vị trí tương đối giữường thẳng đường tròn, hai đường tròn;... qua M (4, 7) Vậy phương trình tiếp tuyến qua M (4, 7) có dạng: (Δ) : y – = k(x – 4) ⇔ kx – y + – 4k = (Δ) tiếp xúc với đường tròn (C) ⇔ d( I , Δ ) = R DeThiMau.vn ⇔ − k − + − 4k k +1 = ⇔ 4k2 –... góc với đường nối tâm (C1) (C2) Bài toán : Cho đường tròn (C) M điểm nằm (C) Từ M kẻ MA MB hai tiếp tuyến (C) (A B hai tiếp điểm) Viết phương trình đường thẳng AB Gọi I tâm R bán kính đường tròn