PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THỦY ĐỀ THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN TỐN LỚP Đề thi có : 01 trang Đề chớnh thc (Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao đề) Câu ( điểm): Cho biÓu thøc : A 2x 2 1 2 x x x2 4 x (víi x 0, 2) a) Rót gän A b) Tính giá trị biểu thức A x thoả mÃn: 2x2 + x = c) Tìm x để A= d) Tìm x nguyên để A nguyên dương Câu ( điểm): a)Chứng minh đẳng thức : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) b) Cho a,b,c ba số thoả mÃn điều kiện a+b+c=1 a3+b3+c3=1 Chứng minh rằng: a2011+b2011+c2011=1 Câu ( ®iĨm): a) Chøng minh m, n, p, q ta ®Òu cã m + n + p + q +1 m(n+p+q+1) b) Tìm số nguyên dương x, y thoả mÃn 3xy x 15y 44 Câu ( điểm): Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC EAD ECB b) Cho BMC 1200 S AED 36cm Tính SEBC? c) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM.BD + CM.CA có giá trị khơng đổi d) Kẻ DH BC H BC Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH, DH Chứng minh CQ PD HÕt Họ tên học sinh: ., sè b¸o danh: C¸n bé coi thi không giải thích thêm ThuVienDeThi.com PHềNG GIO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THỦY HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN TON LP Câu ( điểm): Cho biểu thøc : A 2x 2 1 2 x x x2 4 x víi x 0, a) Rót gän A b) TÝnh giá trị biểu thức A x thoả mÃn: 2x2 + x = c) Tìm x để A= d) Tìm x nguyên để A nguyên dương §¸p ¸n 4 2x 2 1 = = x2 2 x x x2 4 x b) 2x + x = x(2x + 1) = x= 0(Không thỏa mÃn ĐK) hc x = 1 4 8 Víi x = th× A = 2 4 1 c) §Ĩ A = hay = x +2 = -8 x = -10 x2 2 a) A d) Để A nguyên dương x+2 ước âm 4, đó: x + = -1 x= -3 ®ã A = x + = -2 x = -4 ®ã A = x + = -4 x = -6 ®ã A = Câu ( điểm): Thang điểm 2đ 1đ 0,5đ 1đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ a)Chứng minh đẳng thức : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) b) Cho a,b,c ba số thoả mÃn điều kiện a+b+c=1 a3+b3+c3=1 Chứng minh rằng: a2011+b2011+c2011=1 Đáp án a) Ta có: (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a + b + c)3 - a3] - (b3 + c3) = (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] - (b + c)(b2 - bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) VËy (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) b) Do a3+b3+c3=1 vµ a+b+c=1 ta cã a3+b3+c3 = (a+b+c)3 ThuVienDeThi.com Thang ®iĨm 0,5® 0,5® 0,5đ 0,5đ 0,5đ 3(a+b)(b+c)(c+a)=0 ( theo phần a) a=-b hc b=-c hc c=-a NÕu a=-b ta cã a2011+ b2011+ c2011 = a2011 - 0,5® a2011+ c2011 = c2011= Tương tự ta có kết luận Vậy a2011 + b2011 + c2011 = 0,5đ Câu ( ®iĨm): a) Chøng minh m, n, p, q ta ®Ịu cã m + n + p + q +1 m(n+p+q+1) b) Tìm số nguyên dương x, y thoả mÃn 3xy x 15y 44 Đáp án a) m + n + p + q +1 m(n+p+q+1) m2 m2 m2 m2 mn n mp p mq q m 1 2 0,5® Thang ®iĨm 1® m m m m n p q (luôn đúng) 2 2 2 m m n 0 n m m p0 m2 p DÊu b»ng x¶y m n p q q 0 m q 2 m m 22 0,5® b) 3xy x 15y 44 x 3y 49 x, y nguyên dương x + 5, 3y + nguyên dương lớn Thoả mÃn yêu cầu toán x + 5, 3y + lµ íc lín 49 nên có: 0,5đ 0,25đ 0,5đ x5 x 3y y 0,5đ 0,5đ Vậy phương trình có nghiệm nguyên x = y = 0,25đ Câu ( điểm): Cho tam giỏc ABC vuụng A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC EAD ECB b) Cho BMC 1200 S AED 36cm Tính SEBC? c) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi d) Kẻ DH BC H BC Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH, DH ThuVienDeThi.com Chứng minh CQ PD Đáp án Thang điểm E D A M Q B C P I H a)* Chøng minh EA.EB = ED.EC - Chøng minh EBD ®ång d¹ng víi ECA (gg) EB ED EA.EB ED.EC - Tõ ®ã suy EC EA ECB * Chøng minh EAD - Chøng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc) ECB - Suy EAD AMB = 60o ABM = 30o b) Tõ BMC = 120o - XÐt 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 đ = 30o EDB vuông D cã B ED = ED EB EB 0,5 ® S EAD ED - Lý luËn cho tõ ®ã S ECB EB SECB = 144 cm2 c)- Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 0,5 ® 0,5 ® - Chøng minh CM.CA = CI.BC 0,5 ® - Chøng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi 0,5 đ Cách 2: Cã thĨ biÕn ®ỉi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 d)- Chứng minh BHD đồng dạng víi DHC (gg) ThuVienDeThi.com 0,5 ® BH BD BP BD BP BD DH DC DQ DC DQ DC - Chøng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc) BDP DCQ CQ PD o ma`BDP PDC 90 0,5 ® 0,5 ® Ghi chó: - NÕu häc sinh gi¶i theo cách khác đáp án mà cho điểm tối đa - Trong trình chấm giám khảo vận dụng linh hoạt đáp án, nghiên cứu kỹ làm học sinh Cần thống chia điểm nhá tíi 0,25 ®iĨm ThuVienDeThi.com ...PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THỦY HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2010 – 2011 MễN TON LP Câu ( điểm): Cho biÓu thøc : A 2x 2 1... (a+b+c)3 ThuVienDeThi.com Thang điểm 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 3(a+b)(b+c)(c+a)=0 ( theo phần a) a=-b hc b=-c hc c=-a NÕu a=-b ta cã a2011+ b2011+ c2011 = a2011 - 0,5® a2011+ c2011 = c2011= T¬ng... NÕu häc sinh giải theo cách khác đáp án mà cho điểm tối đa - Trong trình chấm giám khảo vận dụng linh hoạt đáp án, nghiên cứu kỹ làm học sinh Cần thống chia ®iĨm nhá tíi 0,25 ®iĨm ThuVienDeThi.com