Gợi ý giải đề thi học kì I môn toán lớp 10 trường Phổ Thông Năng Khiếu Năm 2013 – 2014

[r]

toanth.net Võ Tiến Trình ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM KIỂM TRA HỌC KỲI NĂM HỌC 2013-2014 TRƯỜNG PHỔTHÔNG NĂNG KHIẾU MƠN : TỐN

Khối 10 (Khơng chun Tốn) Thời gian làm bài: 90 phút

Bài 1. (2 điểm) a)Tìm mđểphương trình  2 4

x mx

x

 



 có hai nghiệm thực

phân biệt.

b) Giải phương trình 2x1 x  1 2x27x3.

Bài (2 điểm) Cho hệ phương trình 2

2

mx y m

x my m m    



    

với m tham số.

a) Chứng tỏ hệ có nghiệm x y0; 0với giá trị m. b) Tìm m để x y0, 0 thỏa 2x0  y02

Bài (2điểm) a) Cho  P :y ax2 bxc a0 Biết  P có đỉnh S1; 2 và qua điểm A0; 1  Tìm a b c, ,

b)Chứng minh:

 

3

3

cos cos

2cos sin 2

2

sin sin

x x

x x

x x

 



   

  

   

   

 

 .

Bài (2điểm) Cho tam giác ABC có ABa 2,BC 5 ,a ABC1350 a0 Gọi M điểm cạnh AC cho

2

AM  MC.

a) Tính BA BC 

b) Tìm x y, cho BM  xBA y BCvà tính độdài đoạn BM theo a.

Bài 5. (2điểm) Cho tam giác ABC có A0;3 , B 2; ,  C 8; 3 . a) Tìm tọa độđiểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành

toanth.net Võ Tiến Trình

Gợi ý giải

Bài

a)Tìm m đểphương trình  2 4

x mx

x

 



 có hai nghiệm thực phân biệt Điều kiện: x1

  

  

2

0

4

1

x

x mx

x mx

mx x



  

      

 

 

Khi m0 phương trình có nghiệm x 2 (loại)

Khi m0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt

4

2

4

1

x

m m

m x

m  

 

   



 

      

 

Vậy đểphương trình có hai nghiệm phân biệt

m m

  

 

  

b) Giải phương trình 2x1 x  1 2x27x3.

Điều kiện: x1 * 

Với điều kiện  * phương trình tương đường với 2x1 x 1 2x1 3 x

2

1

x

x x

  

 

   

+ 1

2

x   x (loại)

+

2

3

1

7 10

x

x x

x x       

   

2

x

x

x x

 

   

  



(thỏa điều kiện (*))

toanth.net Võ Tiến Trình Bài 2. Cho hệ phương trình 2

2

mx y m

x my m m    



    

với m tham số.

a) Chứng tỏ hệ có nghiệm x y0; 0với giá trị m. b) Tìm m để x y0, 0 thỏa 2x0  y02

a)  1

1

m

D m

m

   



Vì D m210 m nên hệ phương trình có nghiệm với giá trị m

b)  

2

3 1

2

2

x

m

D m

m m m 

   

  

    

2

3

1 1

1

y

m m

D m m m m m

m m 

         

  Nghiệm hệ

0 2;

y

x D

D

x y m

D D

    

Ta có: 0 02  12

m

x y m

m

 

     

   Bài

a) Cho  P :y ax2bxc a0 Biết  P có đỉnh S1; 2 và qua điểm 0; 1

A  Tìm a b c, ,

 P có đỉnh S1; 2 , ta có S

b x

a



  a   b c

 P qua A0; 1 ta có: c 1

toanth.net Võ Tiến Trình b)Chứng minh:

 

3

3

cos cos

2cos sin 2

2

sin sin

x x

x x

x x

 



   

  

   

   

 

 .

Ta có: cos3 sin3 ; cos sin

2 x x x x

 

   

     

   

   

sin xsinx

Ta có :

 

3

3

cos cos

2cos sin 2

sin sin

x x

x x

x x

 



   

  

   

   





3

2cos sin sin sin

2sin cos sin

x x x x

x x x

 

 

2

cos x sin x

   

Bài 4. Cho tam giác ABC có ABa 2,BC5 ,a ABC 1350 a 0 Gọi M điểm cạnh AC cho

2

AM  MC.

a) Tính BA BC 

b) Tìm x y, cho BM  xBA y BCvà tính độdài đoạn BM theo a.

a)BA BC  BA BC cosABCa 2.5 cos135a  5a2

b)

5

BM BAAM BA AC

    

3 

5 5

BA BC BA BA BC

     

2

;

5

x y

  

 2  

2 1 2

2 12

25 25

toanth.net Võ Tiến Trình

 2 2

1 173

8 225 60

25 a a a 25 a

   

Vậy 173

5

BM  a

Bài 6. Cho tam giác ABC có A0;3 , B 2; ,  C 8; 3 

a) Tìm tọa độđiểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành b) Đường trịn đường kính AC cắt trục tung điểm E (E khác A)

Tìm tọa độđiểm E

a)Tứ giácABCD hình bình hành  AD BC

 

0

3 4

D D

D D

x x

y y

  

  



 

     

 

 Vậy D6;4

b)Điểm E nằm trục tung E0,yE

Ta có: AE0;yE 3 , CE   8;yE 3

 

thuộc đường trịn đường kính AC  EAEC  AE CE 0

 3 3

3 E

E E

E

y

y y

y

 

     

  