Đỗ Văn Đức, Nguyễn Mạnh Dũng, 11A2 Toán, ĐHKHTN- ĐHQGHN !"! Một phương pháp chứng minh bất đẳng thức trung tuyến Trong tốn học, việc tìm tịi sáng tạo vơ cần thiết hữu ích Trong viết này, xin trao đổi với bạn phương pháp chứng minh bất đẳng thức (BDT) tam giác có liên quan đến đường trung tuyến Phương pháp dựa toán quen thuộc sau: Bài toán: Xét tam giác ABC có độ dài cạnh a, b, c diện tích S Kí hiệu ma, mb, mc độ dài đường trung tuyến AM, BN, CP tam giác kẻ từ A, B, C Dựng hình bình hành BMXN Xét DAMX ta có tính chất sau: - Các cạnh tam giác a’=ma, b’=mb, c’=mc 3 - Độ dài đường trung tuyến: ma' = a, mb' = b, mc' = c 4 - Diện tích: S ' = S -Bán kính đường tròn nội ngoại tiếp: mmm 3S R' = a b c ,r ' = 3S ( ma + mb + mc ) Chứng minh (CM): A P X N B C M Các tính chất suy trực tiếp từ tính chất đường trung bình tam giác từ cơng thức sau, áp dụng vào DAMX : abc S = pr = = p ( p − a )( p − b )( p − c ) (*) 4R Với p nửa chu vi tam giác.Việc chứng minh dễ dàng nên xin dành cho bạn đọc Chúng xin đề cập đến ứng dụng Ví dụ Sử dụng kí hiệu toán Chứng minh BDT sau: ma mb mc ( ma + mb + mc ) ≥ S (1) Giải: Ta viết lại (1) theo ngôn ngữ DAMX sau: ma mb mc ( ma + mb + mc ) ≥ 16 S '2 Ta CM trường hợp tổng quát hơn, với tam giác : abc ( a + b + c ) ≥ 16S , sử dụng công thức (*) BDT Euler R ≥ 2r ta có: abc ( a + b + c ) = SR.2 p ≥ 16 S p.r = 16 S Thay BDT vào DAMX ta có ĐPCM Nhận xét: Qua ví dụ bạn phần thấy ý tưởng phương pháp là: Chứng minh BDT với tam giác thay kết vào DAMX ta thu BDT cần CM Việc CM đơn giản dễ giải Ta tiếp tục với ví dụ sau để bạn thật hiểu rõ phương pháp này: Ví dụ CM : ( ma + mb + mc ) ≥ 27 3S Giải: Viết lại BDT dạng: !"! DeThiMau.vn !#! Đỗ Văn Đức, Nguyễn Mạnh Dũng, 11A2 Toán, ĐHKHTN- ĐHQGHN ma + mb + mc 3S ≥3 = 3r ' 2 ( ma + mb + mc ) V■y, ta CM BDT theo ngôn ng ✰ DABC p ≥ 3r Sử dụng BDT Cô-si cho số dương, ta được: 3p − a − b − c p3 Suy S = pr = = 27 ( p − a )( p − b )( p − c ) ≤ p ( p − a )( p − b )( p − c ) ≤ p2 3 Ta có ĐPCM Ví dụ Chứng minh BDT: m + mb + mc 1 + 2+ ≤ a ma mb mc 3S Lời giải: Viết lại BDT dạng sau: m + mb + mc 1 + 2+ ≤ a 4S ' ma mb mc BDT ta CM BDT sau: Ta có: = (a + b + c) 16 S 2 = p ( p − a )( p − b )( p − c ) ∑ ( p − a )( p − b ) ≤ ∑ cyc 1 (a + b + c) + 2+ ≤ a b c 16 S cyc ( p − a + p − b) 1 + 2+ 2 a b c Vậy BDT CM Ví dụ Chứng minh ab bc ca + + ≥4 a) ma mb mb mc mc ma = ma mb mb mc mc ma + + ≥ ab bc ca Giải: Các bạn thấy hai BDT tương đương thay BDT vào DAMX , ta cần CM BDT a) Đầu tiên ta CM bổ đề sau: Bổ đề: 4mb mc ≤ 2a + bc Chứng minh: Sử dụng cơng thức đường trung tuyến bình phương hai vế, ta có BDT tương đương với: b) ( 2a + bc ) ≥ ( 2a + 2b − c )( 2a + 2c − b ) 2 ⇔ ( b − c ) ( b + c ) − a ≥ theo BDT tam giác b+c>a Quay lại toán, áp dụng bổ đề ta có: ab ab ≥∑ (2) ∑ cyc ma mb cyc 2c + ab !#! DeThiMau.vn Đỗ Văn Đức, Nguyễn Mạnh Dũng, 11A2 Toán, ĐHKHTN- ĐHQGHN !$! a2 b2 c2 =x, = y, = z ⇒ xyz = bc ca ab ≥ Quy đồng mẫu số ta có: Vậy ta cần CM: ∑ cyc x + Đặt ( xy + yz + zx ) + ( x + y + z ) + ∑ x + = ( xy + yz + zx ) + ( x + y + z ) + ≥1 cyc ( x + y + z ≥ 3 xyz = ), đpcm Phương pháp phương pháp có nhiều ứng dụng Nếu bạn thật hiểu rõ phương pháp CM BDT khó tam giác tự tạo BDT Rất mong nhận trao đổi bạn vấn đề Kết thúc viết, mời bạn làm số luyện tập sau để củng cố: Chứng minh BDT sau: a b c + + ≥2 Bài a) ma mb mc ma mb mc 3 + + ≥ a b c 2 a b c Bài + + ≥ ( ma + mb + mc ) ma mb mc b) Bài ma2 mb2 mc2 ≥ 3 S Bài a) (ma + mb + mc ) ma2 + mb2 + mc2 ≥ S b) c) ma mb mc ma2 + mb2 + mc2 ≥S ma mb mc ≥r ma2 + mb2 + mc2 Bài a) a2 b2 c2 + + ≥4 mb mc mc ma ma mb b) ma mb mb mc mc ma + + ≥ c2 a b !$! DeThiMau.vn ... zx ) + ( x + y + z ) + ≥1 cyc ( x + y + z ≥ 3 xyz = ), đpcm Phương pháp phương pháp có nhiều ứng dụng Nếu bạn thật hiểu rõ phương pháp CM BDT khó tam giác tự tạo BDT Rất mong nhận trao đổi bạn... , ta cần CM BDT a) Đầu tiên ta CM bổ đề sau: Bổ đề: 4mb mc ≤ 2a + bc Chứng minh: Sử dụng công thức đường trung tuyến bình phương hai vế, ta có BDT tương đương với: b) ( 2a + bc ) ≥ ( 2a + 2b... ( p − a )( p − b )( p − c ) ≤ p ( p − a )( p − b )( p − c ) ≤ p2 3 Ta có ĐPCM Ví dụ Chứng minh BDT: m + mb + mc 1 + 2+ ≤ a ma mb mc 3S Lời giải: Viết lại BDT dạng sau: m + mb + mc 1 +