Toán học Một phương pháp thay đổi biến số39804

Nguyễn Mạnh Dũng, 11A2 Toán, ĐHKHTN-ĐHQGHN Email: nguyendunghus@gmail.com Một phương pháp thay đổi biến số Trong viết giới thiệu với bạn phép khác trường hợp số yz zx xy a,b,c có tích 1, đặt a = , b = , c = , với a,b,c dương x,y,z x y z dương Tư tưởng chủ đạo phép xuất đại lượng bình phương tử phân thức, sau áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng Svác: A2 B C ( A + B + C ) + + ≥ ; A, B, C , X , Y , Z > X Y Z X +Y + Z Một số kí hiệu dùng viết: ∑ : tổng đối xứng Ví dụ: ∑ a 2b = a 2b + b 2c + c a + ab2 + bc + ca 2 sym sym ∑ ∑ a 2b = a2b + b2c + c a; : tổng hốn vị Ví dụ: cyc cyc a ,b , c , d ∑ a c = a c + ac + b d + bd cyc Các bạn theo dõi số ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho a,b,c số thực dương có tích Chứng minh rằng: 1 1 + + ≥ ( a + 1)( a + ) ( b + 1)( b + ) ( c + 1)( c + ) x y z , b = , c = bất đẳng thức không dễ dàng y z x yz zx xy chứng minh được! Xét phép đổi biến a = , b = , c = với x,y,z số thực x y z dương Khi bất đẳng thức trở thành: x4 y4 z4 + + ≥ 2 2 2 ( x + yz )( x + yz ) ( y + zx )( y + zx ) ( z + xy )( z + xy ) Gi i Các bạn đặt a = Áp dụng bất đẳng thức Svác ta có: x4 ≥ ∑ 2 cyc ( x + yz )( x + yz ) (x ∑(x 2 + y2 + z2 ) + yz )( x + yz ) cyc Ta có ( x + y + z ) − ∑ ( x + yz )( x + yz ) = x y + y z + z x − xyz ( x + y + z ) cyc ( ) 2 2 x ( y − z ) + y2 ( z − x ) + z2 ( x − y ) ≥ Bất đẳng thức đúng, suy đpcm Dấu đẳng thức xảy x = y = z = ⇔ a = b = c = Ví dụ 2: Cho a,b,c số thực dương có tích Chứng minh rằng: 1 + + ≥1 a + a +1 b + b +1 b + b +1 = DeThiMau.vn Gi i t a= yz zx xy , b = , c = v i x,y,z số thực dương, bất đẳng thức trở thành: x y z x4 y4 z4 + + ≥1 x + x yz + y z y + y zx + z x z + z xy + x y Sử dụng bất đẳng thức Svác: x2 + y2 + z ) ( x4 ≥ ∑ 2 x + y + z + x y + y z + z x + xyz ( x + y + z ) cyc x + x yz + y z Vậy ta cần chứng minh: (x + y + z ) ≥ x + y + z + x y + y z + z x + xyz ( x + y + z ) ⇔ x y + y z + z x ≥ xyz ( x + y + z ) ⇔ x2 ( y − z ) + y2 ( z − x ) + z ( x − y ) ≥ 2 Suy đpcm Dấu đẳng thức xảy x = y = z = ⇔ a = b = c = Qua hai ví dụ bạn thấy phương pháp hoàn toàn tự nhiên dễ sử dụng Tuy nhiên số toán cần sử dụng hai cách thay đổi biến số Ví d Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng: a2 b2 c2 + + ≥ 2 a + ( a + b ) b2 + ( b + c ) c + ( c + a ) Gi i: Đặt x = b c a , y = , z = bất đẳng thức trở thành a b c 1 + + ≥0 2 + ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) Do xyz = nên ta tồn số thực dương m,n,p cho x = np mp mn ,y = ,z = 2 m n p Bất đẳng thức trở thành: ∑ cyc m4 m + ( m + np ) 2 ≥ Áp dụng bất đẳng thức Svác ta có ∑ cyc m4 m + ( m + np ) ≥ (m + n2 + p2 ) m + n + p + 2∑ ( m + np ) cyc   2  ∑ m  − ∑ m − 2∑ ( m + np ) = ∑ m ( n − p ) ≥ cyc cyc  cyc  cyc Ta có đpcm Dấu đẳng thức xảy m = n = p ⇔ x = y = z = ⇔ a = b = c Cách khơng phát huy tác dụng với tốn biến mà cịn sử dụng cho tốn nhiều biến khối lượng tính tốn phức tạp Ví d (Thi ch n i n Trung Quốc 2004) Cho a,b,c,d số thực dương có tích Chứng minh rằng: Mà DeThiMau.vn (1 + a ) + (1 + b ) + (1 + c ) + (1 + d ) ≥1 Gi i: yzt ztx txy xyz , b = , c = , d = với x,y,z,t số thực x y z t Vì có biến nên ta đặt a = dương Bất đẳng thức trở thành: x6 ∑ ( x3 + yzt ) cyc Áp dụng bất đẳng thức Svác: ∑ cyc x6 (x + yzt ) 2 (x ≥ ≥1 + y3 + z3 + t ) ∑(x + yzt ) 2 cyc Vì ta cần chứng minh: (x + y + z + t ) ≥ ∑ ( x + yzt ) ⇔ ∑ x ( y + z + x ) ≥ ∑ x y z + 2∑ x yzt 2 cyc cyc cyc cyc Đến bạn áp dụng bất đẳng thức Cô-si: ∑ x3 ( y + z + t ) ≥ 3∑ x3 yzt cyc cyc ∑x (y cyc + z + t ) = ∑ ( x y + y z + z x ) ≥ 3∑ x y z cyc cyc Suy đpcm Nhận xét: Tương tự ta chứng minh toán tổng quát sau Cho a1 , a2 , , an số thực dương có tích Với k = n − chứng minh rằng: n ∑ i =1 ( kai + 1) ≥1 Kết thúc viết, mời bạn làm số tập vận dụng sau: Bài tập Cho a,b,c,d số thực dương có tích Chứng minh rằng: 1 1 + + + ≥1 2 + a + 2a + b + 2c + c + 2c + d + 2d Bài tập Cho a,b,c số thực dương có tích Chứng minh rằng: 1 + + ≤3 2 − a + a − b + b − c + c2 Lời gi i cho tập vận dụng: yzt ztx txy xyz Bài tập 1: Đặt a = , b = , c = , d = với x,y,z,t số thực dương x y z t DeThiMau.vn x6 ≥1 ∑ 2 cyc x + x yzt + y z t Áp dụng bất đẳng thức Svác, ta được: B t đẳng thức trở thành:   ∑ x  x  cyc  ≥ ∑ 2 cyc x + x yzt + y z t ∑ x + ∑ x3 yzt + 2∑ y z 2t cyc cyc cyc Vì ta cần chứng minh  3 2 2 3 3 3 2  ∑ x  ≥ ∑ x + xyzt ∑ x + ∑ x y z ⇔ 2∑ x y ≥ ∑ x ( y + z + x ) ≥ 2∑ x y z + ∑ x yzt cyc cyc cyc cyc cyc cyc cyc  cyc  Chứng minh điều tương tự chứng minh ví dụ Bài tập Áp dụng kết ví dụ ta được: a4 a4 a2 + 1 = ≥ ⇒ − ≥ − ⇒ ≤2 ∑ ∑ ∑ ∑ 4 cyc a + a + cyc   cyc a + a + cyc a + a +     +   +1 a  a  1 a2 + +∑ = 2∑ ≤4 Suy ra: ∑ 2 cyc a + a + cyc a − a + cyc a + a + 1 Mà ≥1⇒ ∑ ≤3 ∑ cyc a + a + cyc a − a + DeThiMau.vn ... x = y = z = ⇔ a = b = c = Qua hai ví dụ bạn thấy phương pháp hoàn toàn tự nhiên dễ sử dụng Tuy nhiên số toán cần sử dụng hai cách thay đổi biến số Ví d Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng:... đẳng thức xảy m = n = p ⇔ x = y = z = ⇔ a = b = c Cách phát huy tác dụng với tốn biến mà cịn sử dụng cho tốn nhiều biến khối lượng tính tốn phức tạp Ví d (Thi ch n i n Trung Quốc 2004) Cho a,b,c,d... (1 + c ) + (1 + d ) ≥1 Gi i: yzt ztx txy xyz , b = , c = , d = với x,y,z,t số thực x y z t Vì có biến nên ta đặt a = dương Bất đẳng thức trở thành: x6 ∑ ( x3 + yzt ) cyc Áp dụng bất đẳng thức Svác: