Đề thi thử đại học lần II môn Toán – Khối A40867

www.VNMATH.com ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM HỌC 2013-2014 MƠN TỐN – KHỐI A TRƯỜNG THPT CHUN HẠ LONG PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = f ( x ) = − x + 3mx − với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = x Tìm giá trị m để bất phương trình f ( x ) ≤ − với x ≥ Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình lượng giác 3cot x + 2 sin x = (2 + 2)cos x Giải hệ phương trình 1 + xy + xy = x   1 +y y= +3 y  x x x π Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = cos x ∫ (sin x + cos x + 2)3 dx Câu IV (1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ cạnh đáy a ; chiều cao 2a Mặt phẳng (P) qua B’ vng góc A’C chia lăng trụ thành hai khối Tính tỉ lệ thể tích hai khối tính khoảng cách từ điểm A đến (P) Câu V (1,0 điểm) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức P = a + a + + b + b + + c + c + PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 2 1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) x + y − x − y + 18 = hai điểm A(4;1); B (3; −1) Các điểm C; D thuộc đường trịn (C) cho ABCD hình bình hành Viết phương trình đường thẳng CD Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho điểm A(4;0;0) ; B( x0 ; y0 ;0) với x0 ; y0 số thực dương 2 cho OB = góc AOB = 60 Xác định tọa độ điểm C trục Oz để thể tích tứ diện OABC Câu VII.a (1,0 điểm) Cho số tự nhiên n ≥ , chứng minh đẳng thức 2  Cn0   Cn1   Cnn  C2nn++12 − + + +       = (n + 1)2 + n       B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có đường thẳng AB, AD qua M (2;3) N (−1;2) Viết phương trình đường thẳng BC CD biết tâm hình chữ nhật điểm I ( ; ) 2 AC = 26 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho C(0;0;2); K(6;-3;0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua C, K cắt trục Ox , Oy hai điểm A, B cho thể tích tứ diện OABC Câu VII.b (1,0 điểm) Giải phương trình log ( x − 2) = log ( x − x + 3) DeThiMau.vn www.VNMATH.com CÂU I.1 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐÁP ÁN B.ĐIỂM Hàm số y = − x + x − a TXĐ D = ℝ b Giới hạn 0.25 lim y = +∞; lim y = −∞ x →−∞ x →+∞ c Chiều biến thiên y ' = −3x + ; y ' = ⇔ x = ±1 Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −1);(1; +∞) đồng biến ( −1;1) Hàm số đạt cực tiểu x = −1; yCT = −4 , đạt cực đại x = 1; yCÐ = d Bảng biến thiên x −∞ −1 +∞ y’ - + 0 +∞ y 0.25 0.25 −∞ -4 e Đồ thị Điểm cắt trục hoành (1;0); (-2;0) Điểm cắt trục tung (0;-2) y -2 -1 x O 0.25 -2 -4 Đồ thị hàm số nhận điểm (0;-2) làm tâm đối xứng I.2 −1 x Biến đổi bất phương trình f ( x ) ≤ ( x ≥ 1) ta x − 3mx + x ≥ hay 0.25 x + x3 − ≥ 3m x4 II.1 x + x3 − 2 Xét hàm số g ( x ) = [1; +∞) = + − x x x4 x4 Tính g '( x ) = x − + x x Chỉ g '( x ) > 0∀x > , nên hàm số y = g ( x ) đồng biến [1; +∞) Từ phải có g ( x) ≥ 3m hay m ≤ [1; +∞ ) Điều kiện sin x ≠ DeThiMau.vn 0.25 0.25 0.25 0.25 www.VNMATH.com Chia hai vế pt cho sin x ≠ , ta 3cos x cos x + 2 = (2 + 2) sin x sin x cos x , đưa pt bậc hai t: 3t − (2 + 2)t + 2 = sin x Tính t = 2; t = 2 Với t = , biến đổi cos x + cos x − = , cos x = Đặt t = cos x = − 2(l ) , từ nghiệm x = ± Với t = π 0.25 0.25 + k 2π (tmđk) 2 biến đổi 2cos x + 3cos x − = , cos x = cos x = −2(l ) , từ nghiệm x = ± π + k 2π (tmđk) 0.25 Vậy pt có họ nghiệm II.2 Điều kiện x > 0; y ≥ Biến đổi phương trình sau thành + xy xy = x + x xy x = + xy + hai vế dương) vào pt ta + xy xy = + xy + Biến đổi phương trình thành pt bậc xy (cả xy + 3(1 + xy + xy ) xy xy ta xy xy + xy + xy = xy = Tính x = 1; y = 0.25 Vậy nghiệm (x;y) hệ (1;0) π 0.25 0.25 Giải pt III 0.25 π (cos x + sin x)(cos x − sin x)dx (cos x + sin x)d (cos x + sin + 2)dx =∫ x + x + (cos sin 2) (cos x + sin x + 2)3 0 I=∫ Đặt t = cos x + sin x + Đổi cận … đưa I = 2+ ∫ Biến đổi I = 2+ ∫ Tính I = IV (t − 2)dt t3 1 (− + )dt t t 0.25 0.25 0.25 5+8 − 27 (2 + 2)3 0.25 Gọi M trung điểm A’C’, B’M vng góc với mặt phẳng (ACC’A’) nên B ' M ⊥ A ' C Do M ∈ ( P) Trong (ACC’A’), kẻ MN vng góc với A’C ( N ∈ AA ' ), N ∈ ( P) Thiết diện cắt (P) tam giác B’MN Hai tam giác A’C’C NA’M đồng dạng nên A ' N = DeThiMau.vn a A'M = 0.25 www.VNMATH.com 1a1 a a3 A ' N S B ' A ' M = a sin 600 = 342 96 a Thể tích lăng trụ V = AA '.S ABC = 2a a.a.sin 60 = 2 V 1 nên tỉ lệ thể tich hai khối Ta có = V 48 47 Thể tích tứ diện A’B’MN V1 = B' 0.25 C' M A' A' M C' H N H N P 0.25 J A B C C A Trong (ACC’A’), kẻ AP song song với MN (P thuộc CC’), AP cắt A’C J Chỉ khoảng cách cần tìm HJ a a 7a ; CJ = ; A ' C = a ta HJ = 10 10 7a Khoảng cách cần tìm 10 2x + Ta chứng minh bất đẳng thức x + x + ≤ ∀x ∈ [0;3] Bình phương rơi biến đổi tương đương ta x ( x − 3) ≤ ∀x ∈ [0;3] Lần lượt cho x = a; b; c cộng vế bất đẳng thức ta 2(a + b + c) + 18 P≤ =8 Giá trị lớn P xảy chẳng hạn a = 3; b = c = Tính A ' H = V VI.a.1 10 2 Tính AB = (−1; −2); AB = Phương trình CD có dạng y = x − y + m 2m − Khoảng cách từ I đến CD d = Chỉ đường trịn (C) có tâm I ( ; ) bán kính R = Chỉ CD = R − d 2 DeThiMau.vn 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 www.VNMATH.com (2m − 7) − = ⇔ (2m − 7) = 25 Do 2 20 Từ hai phương trình đường thẳng x − y + = 0;2 x − y + = VI.a.2 0.25 0.25  x02 + y02 = 64  Từ giả thiết ta thu hệ  x =   4.8 Vì x0 ; y0 dương nên tính x0 = 4; y0 = 0.25 0.25 Tính diện tích tam giác AOB Chỉ OC vuông góc với (AOB) tính OC = 0.25 Từ tìm tọa độ điểm C (0;0; 3);(0;0; − 3) VII.a Cnk 1 n! Biến đổi = = = Cnk++11 nên cần chứng minh k + k + k !(n − k )! n +1 0.25 (Cn0+1 )2 + (Cn1 +1 ) + + (Cnn++11 ) = C2nn++12 Xét khai triển P( x) = (1 + x ) Mà P( x) = (1 + x ) Chỉ hệ số x suy đpcm VII.a.1 n +1 n +1 2n + có hệ số x n +1 ( x + 1) n +1 =… n +1 C2 n +1 0.25 0.25 n +1 theo cách khai triển thứ hai (Cn +1 ) + (Cn +1 ) + + (Cn +1 ) từ 2 Gọi pt AB a ( x − 2) + b( y − 3) = 0( a + b ≠ 0) pt AD b( x + 1) − a ( y − 2) = a − 3b AD = 2d ( I ; AB) = a2 + b2 7b + a ; AB = 2d ( I ; AD ) = 2 2 0.25 a + b2 Từ AC = AB + AD , ta tính 3a − ab − 4b = nên a = −b a = Với a = −b , ta pt CD BC x − y − = x + y − = 4b 4b , ta pt CD BC x + y − 12 = x − y − 14 = VII.a.2 x y z Gọi A( a;0;0); B (0; b;0) Chỉ a b khác pt (P) + + = Do K thuộc (P) a b nên − = a b Chỉ thể tích tứ diện OABC ab = nên ab = ab = −9 −3 Với ab = , ta tính a = b = a = −6; b = PT (P) x + y + z − = x + y − z + = Với ab = −9 tính vơ nghiệm Với a = VII.b 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Điều kiện x>3 Biến đổi pt log ( x − x + 4) = log ( x − x + 3) 2 DeThiMau.vn 0.25 www.VNMATH.com t + = 3z Đặt t = x − x + > ; ta log (t + 1) = log t = z nên  , z t = 2 z 0.25 z  2 1 z + = 3z ⇔   +   = (1)  3 3 Bằng cách vế trái (1) hàm số nghịch biến R nên (1) có nghiệm z = 0.25 Tính nghiệm x = + (loại nghiệm x = − ) 0.25 Yêu cầu: Học sinh trình bày chi tiết lời giải bước tính tốn Lời giải phải đảm bảo tính chặt chẽ, đặc biệt điều kiện cần đủ, bước đánh giá Học sinh giải tốn theo cách khác tổ chấm thảo luận để thống cho điểm DeThiMau.vn ... Chiều biến thi? ?n y ' = −3x + ; y ' = ⇔ x = ±1 Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −1);(1; +∞) đồng biến ( −1;1) Hàm số đạt cực tiểu x = −1; yCT = −4 , đạt cực đại x = 1; yCÐ = d Bảng biến thi? ?n x −∞... nghiệm x = − ) 0.25 Yêu cầu: Học sinh trình bày chi tiết lời giải bước tính tốn Lời giải phải đảm bảo tính chặt chẽ, đặc biệt điều kiện cần đủ, bước đánh giá Học sinh giải toán theo cách khác tổ chấm... (ACC’A’), kẻ MN vng góc với A’C ( N ∈ AA ' ), N ∈ ( P) Thi? ??t diện cắt (P) tam giác B’MN Hai tam giác A’C’C NA’M đồng dạng nên A ' N = DeThiMau.vn a A'M = 0.25 www.VNMATH.com 1a1 a a3 A ' N S