Khối chuyên Toán - Tin trường ĐHKHTN-ĐHQGHN Đề thi thử đại học lần năm 2008-2009 Ngày thi: 15/3/2009 • Thời gian: 180 phút • Typeset by LATEX 2ε • Copyright c 2009 by Nguyễn Mạnh Dũng • Email: nguyendunghus@gmail.com • Mathematical blog: http://www.mathlinks.ro/weblog.php?w=1139 DeThiMau.vn Đề Câu I (2 điểm) 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y= −2x2 + 3x − x−1 2) Tìm điểm thuộc (C) cách hai tiệm cận Câu II (2 điểm) 1) Giải phương trình lượng giác √ √ sin3 x − cos x + sin x cos x(cosx − sin x) − sin x = 2) Tìm a để với b hệ phương trình sau có nghiệm (a − 1)x5 + y = ebx + (a + 1)by = a2 Câu III (2 điểm) 1) Tính thể tích khối trịn xoay nhận quay quanh trục Oy hình phẳng hữu hạn giới hạn đường y = x 3y − x = 2) Tính tổng sau theo n 2n S = C2n − 3C2n + 9C2n − 27C2n + · · · + (−3)n C2n Câu IV (3 điểm) 1) Trong không gian với hệ tọa độ Đề vng góc Oxyz, cho hai đường thẳng (d1 ), (d2 ) có phương trình tham số x = 2t′ x=1−t y = − t′ y=t ; d2 : d1 : z = t′ z = −t a) Viết phương trình mặt phẳng (P ), (Q) song song với qua (d1 ), (d2 ) b) Chứng minh hai đường thẳng (d1 ), (d2 ) chéo Tính khoảng cách hai đường thẳng 2) Gọi I tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC, R r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác Chứng minh IA.IB.IC = 4Rr2 Câu V (1 điểm) Cho a, b, c ba số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị nhỏ P = a2 + ab + b2 + b2 + bc + c2 + DeThiMau.vn c2 + ca + a2 √ 2 Lời giải tóm tắt Câu I 1) Điểm cực tiểu (0; 3), điểm cực đại (2; −5) Tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận xiên y = −2x + (Bạn đọc tự vẽ đồ thị) 2) Xét điểm M (x0 ; −2x0 + − x02−1 ) điểm thuộc đồ thị hàm số Điểm M cách hai tiệm cận |2x0 − 2x0 + − x02−1 − 1| |x − − 1| √ √ = hay (x0 − 1)2 = ⇔ x0 = ± 4 Vậy điểm cần tìm điểm thuộc (C) có hồnh độ x = ± 4 Câu II 1) Phương trình cho tương đương với √ √ sin3 x − cos x + sin x cos x(cosx − sin x) = 2(3 sin x − sin3 x) π ⇔ sin x − = sin 3x π π x − π3 = 3x + k2π ⇔ k, l ∈ Z ⇔x= +k x − π3 = π − 3x + l2π 2) Hệ cho có nghiệm với b nên cho b = hệ có nghiệm Khi b = hệ tương đương với (a − 1)x5 + y = ⇒ a = ±1 = a2 a = Hệ trở thành y5 = ebx + 2by = Cho b =1 hệ khơng có nghiệm, loại trường hợp a = a=-1 Hệ trở thành −2x5 + y = ebx = Rõ ràng hệ ln có nghiệm x = 0, y = Vậy a = −1 Câu III 1) Xét phương trình tương giao y = 3y − ⇔ y = 1, y = Ta có V =π (3y − 2)2 − y dy = π(d.v.t.t) DeThiMau.vn 2) Xét khai triển √ (1 + i 3)2n = 2n √ k C2n (i 3)k k=0 √ √ √ 2n−1 = (C2n − 3C2n + · · · + (−3)n2n 2n ) + i( 32n − 3C2n + · · · + (−3)n−1 3C2n ) Mặt khác, theo định lí De Moirve, ta có √ 2nπ 2nπ + i sin ) (1 + i 3)2n = 22n (cos 3 Đồng phần thực, ta thu S = 22n cos 2nπ Câu IV 1) a) Các đường thẳng (d1 ), (d2 ) có vector phương − → = (−1; 1; −1), − → = (2; −1; 1), u u → →, − → Vector − n = [− u u2 ] = (0; 1; 1) vng góc với hai vector Vậy mặt phẳng (P ), (Q) có − vector pháp → n = (0; 1; 1) suy phương trình chúng có dạng y + z + d = • Điểm M (1; 0; 0) ∈ (d1 ) nên thuộc (P ) suy d = Vậy mp (P ) có phương trình y + z = • Tương tự ta có N (0; 1; 0) ∈ (Q) nên phương trình (Q) y + z = → = k− → ∀k = nên (d ), (d ) khơng song song với Vì − →.− → b) Vì − u n n 1 n2 = nên (d1 ), (d2 ) không vng góc với Ta cần chứng minh (d1 ) không cắt (d ) − t = 2t′ t = − t′ hệ vô nghiệm Ta có (d1 ), (d2 ) cắt tồn t, t′ cho −t = t′ Vậy (d1 ), (d2 ) chéo Khoảng cách (d1 ), (d2 ) khoảng cách (P ) (Q) |1| dN/(P ) = √ = √ 2 A B C A B C 2) Ta có r = IA sin = IB sin = IC sin ⇒ r3 = IA.IB.IC sin sin sin 2 2 2 abc = S nên Do pr = 4R A B C A B C 16R sin sin sin cos cos cos abc 2R sin A sin B sin C 2 2 2 = 4R sin A sin B sin C r= = = B C A 4Rp sin A + sin B + sin C 2 cos cos cos 2 DeThiMau.vn B C r r A sin sin = ⇒ r3 = IA.IB.IC ⇒ IA.IB.IC = 4Rr2 2 4R 4R Câu V Với x, y > ta có √ 3 2 2 (x + y) + (x − y) ≥ (x + y) x + xy = y = 4 ⇒ sin Dấu đẳng thức xảy ⇔ x = y Áp dụng bất đẳng thức ta thu √ P ≥ [(a + b) + (b + c) + (c + a)] = Dấu đẳng thức xảy ⇔ a = b = c = √ DeThiMau.vn ... ràng hệ ln có nghiệm x = 0, y = Vậy a = −1 Câu III 1) Xét phương trình tương giao y = 3y − ⇔ y = 1, y = Ta có V =π (3y − 2)2 − y dy = π(d.v.t.t) DeThiMau.vn 2) Xét khai triển √ (1 + i 3)2n = 2n... sin x = 2) Tìm a để với b hệ phương trình sau có nghiệm (a − 1)x5 + y = ebx + (a + 1)by = a2 Câu III (2 điểm) 1) Tính thể tích khối trịn xoay nhận quay quanh trục Oy hình phẳng hữu hạn giới hạn... = Tìm giá trị nhỏ P = a2 + ab + b2 + b2 + bc + c2 + DeThiMau.vn c2 + ca + a2 √ 2 Lời giải tóm tắt Câu I 1) Điểm cực tiểu (0; 3), điểm cực đại (2; −5) Tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận xiên y = −2x