SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ANGIANG Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI OLYMPIC ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG Năm học 2005 – 2006 Môn TOÁN ( Thời gian làm : 180 phút ) Bài : ( điểm ) Hãy tìm tất đa thức P(x) cho thoả mãn đẳng thức sau : x P(x – 1) = (x – 26) P(x) Baøi : ( điểm ) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình : x3 + (x + 1)3 + + (x + 7)3 = y3 (1) Baøi : ( điểm ) u0 Cho số a > dãy số (un) xác định : u1 a u un u n n 1 un21 Chứng minh : với k N 1 1 a a2 u0 u1 u2 uk (n 1) Baøi : ( điểm ) ˆ , tam giác ABD có Cho hình bình hành ABCD có AB = a , AD = , BAD taát góc nhọn Hãy chứng minh hình tròn bán kính có tâm A , B , C , D phủ kín hình bình hành : cos sin a Baøi : ( điểm ) Gọi r R bán kính hình cầu nội tiếp ngoại tiếp hình chóp R tứ giác Tìm giá trị nhỏ tỉ số r - DeThiMau.vn Bài : ( điểm ) Hãy tìm tất đa thức P(x) cho thoả mãn đẳng thức sau : x P(x – 1) = (x – 26) P(x) Đáp án Cho P(x) đa thức thoả điều kiện toán Hiển nhiên chia hết cho x Nghóa : P(x) = x P1(x) , P1(x) đa thức (0,5đ) Khi , P(x – 1) = (x – 1) P1(x – 1) , nghóa : x (x – 1) P1(x – 1) = x P(x – 1) = (x – 26) P(x) (0,5đ) Từ suy P(x) chia hết cho (x – 1) , nghóa P(x) = x (x – 1) P2(x) (0,5đ) Từ ta lại nhận : P(x – 1) = (x – 1) (x – 2) P2(x – 1) (0,5đ) Hoặc x (x – 1) (x – 2) P2(x – 1) = (x – 26) P(x) (0,5đ) Từ ta suy P(x) chia hết cho (x – 2) Tiếp tục theo tinh thần , cuối ta nhận : P(x) = x (x – 1) (x – 2) (x – 25) P26(x) (0,5đ) Khi , từ điều kiện toaùn suy : x (x – 1) (x – 2) (x – 26) P26(x – 1) = (x – 26) x (x – 1) (x – 25) P26(x) Suy : P26(x – 1) = P26(x) (0,5ñ) Và P26(x) = c ( c : số ) Vaäy P(x) = c x (x – 1) (x – 2) (x – 25) Kiểm tra lại ta thấy nhận - DeThiMau.vn (0,5đ) Bài : ( điểm ) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình : x3 + (x + 1)3 + + (x + 7)3 = y3 (1) Đáp án Đặt P(x) = x3 + (x + 1)3 + + (x + 7)3 = 8x3 + 84x2 + 420x + 784 Xeùt x , ta coù : (2x + 7)3 = 8x3 + 84x2 + 294x + 343 < P(x) < 8x3 + 120x2 + 600x + 1000 = (2x + 10)3 2x + < y < 2x + 10 y = 2x + hoaëc y = 2x + Vì hai phương trình : P(x) – (2x + 8)3 = – 12x2 + 36x + 272 = P(x) – (2x + 9)3 = – 24x2 – 66x + 55 = nghiệm nguyên Vậy phương trình cho nghiệm nguyên với x Lại có P(– x – 7) = – P(x) Vaäy (x ; y) nghiệm (1) (– x – ; y) nghiệm Do không tồn nghiệm với x – Vậy (x ; y) nghiệm ta phải có -6 x -1 (0,5ñ) (0,5ñ) (0,5ñ) (0,5ñ) (0,5ñ) Với -3 x -1 , ta có : P(-1) = 440 số lập phương , P(-2) = 216 = 63 , P(-3) = 64 = 43 (-2 ; 6) vaø (-3 ; 4) laø nghiệm với -3 x -1 Do tính chaát P(– – x) = – P(x) (-5 ; -6) (-4 ; -4) nghiệm (1) với -6 x -1 (0,5đ) (0,5đ) Vậy nghiệm (1) : (-2 ; 6) , (-3 ; 4) , (-4 ; -4) , (-5 ; -6) (0,5ñ) - DeThiMau.vn Baøi : ( điểm ) u0 Cho số a > dãy số (un) xác định : u1 a u un u n n 1 un21 Chứng minh : với k N 1 1 a a2 u0 u1 u2 uk (n 1) Ñaùp aùn a > b R ,b : a b u0 u1 a b b (0,5ñ) b u12 1 1 1 u2 u1 b b b b b b b b u0 u2 1 u3 22 u2 b u2 b b b b b b b u1 Tương tự : u2 k 2 1 k 1 uk k2 1 uk 1 b 2k 1 b 2k b b b b b b uk Do : 1 1 k a a2 u0 u1 u2 u (0,25ñ) (0,25ñ) (0,25ñ) (1) k b b3 b 1 1 1 b b k 4 2 b b b (b 1)(b 1) (b 1) (b 1) (0,5ñ) 1 2k 1 b b b 1 2k b b (b 1)(b 1) (b 1) (b 1) (0,5ñ) k b2 b4 b2 k b (b 1)(b 1) (b 1) (b 1) (0,5ñ) 1 1 1 Vậy (1) với k N a > DeThiMau.vn (0,5đ) (0,25đ) Bài : ( điểm ) ˆ , tam giác ABD có Cho hình bình hành ABCD có AB = a , AD = , BAD taát góc nhọn Hãy chứng minh hình tròn bán kính có tâm A , B , C , D phủ kín hình bình hành : cos sin a Đáp án Bước : * Bổ đề : Gọi O tâm R bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC Khi , hình tròn tâm A , B , C với bán kính x phủ kín ABC x R * Chứng minh bổ đề : 1) Điều kiện cần : Các hình tròn tâm A ,B ,C bán kính x phủ kín A ABC hình tròn phải phủ O xR I (1đ) (0,25đ) K (hình vẽ 0,25đ) O B a 2) Điều kiện đủ : Đảo lại , giả sử x R với (O ,R) đường tròn ngoại tiếp ABC Ta xét vòng tròn tâm A ,B ,C có bán kính R Khi , gọi I ,J ,K hình chiếu O xuống AB , BC , CA hình tròn tâm A bán kính R phủ kín tứ giác OIAK Tương tự hình tròn tâm B , C bán kính R phủ kín tứ giác OIBJ , OJCK Do hình tròn tâm A ,B ,C bán kính R phủ kín ABC (0,25đ) Theo giả thiết ta có x R nên hiển nhiên hình tròn tâm A , B , C bán kính x phủ kín ABC Điều kiện đủ chứng minh (0,25đ) Bước : Chứng minh toán : Các hình tròn tâm A ,B ,C ,D bán kính phủ B C kín hình bình hành ABCD hình tròn tâm A ,B ,D H bán kính phủ kín ABD (0,5đ) A C J (hình vẽ 0,25đ) D Gọi R bán kính đường tròn ngoại tiếp ABD , áp dụng bổ đề ta có điều kiện cần đủ để hình tròn đơn vị tâm A ,B ,D phủ kín ABD : R (0,5đ) Ta có : BD = 2R sin (định lý hàm số sin) BD2 = a2 + – 2a cos (định lý hàm số cosin) nên 4R2 sin2 = a2 + – 2a cos (0,25đ) 2 Do sin a + – 2a cos (vì R) sin2 a2 + – 2a cos + cos2 – sin2 a2 – 2a cos + cos2 (0,25ñ) sin a cos , (do ABD nhọn nên có AB > AH = cos a > cos ) sin a – cos cos + sin a (ñpcm) -DeThiMau.vn (0,25đ) Bài : ( điểm ) Gọi r R bán kính hình cầu nội tiếp ngoại tiếp hình chóp R tứ giác Tìm giá trị nhỏ tỉ số r Đáp án A Giả sử hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a đường cao SO = h cạnh bên SC = SO OC h 2a ( OC = AC a ) D M C O A N B R bán kính đường tròn ngoại tiếp SAC SC SC SC h 2a R (vì SA = SC) R (1ñ) 2sin A SO 2.SD 2h SA r bán kính đường tròn nội tiếp SMN với M ,N trung điểm AD ,BC dt (SMN ) r p dt ( SMN) = ½ MN SO = ah p = ½ (MN + SM + SN) = a a h ah a a h2 a r 2 h a h a Suy : h 2 a (1ñ) R 2a h r 2a ( a h a ) h 1 a R h Đặt k , x , ta : r a 2 x k ( x 1) (1ñ) x 2k 2k x ( x 2k ) 4k (1 x) x2 + (1 + k – k2) x + 8k + = (1) (1) có nghiệm x ’ = 4k2 (k2 – 2k – 1) k R Do ñoù : Min r DeThiMau.vn 1 (1ñ) DeThiMau.vn ... toán suy : x (x – 1) (x – 2) (x – 26) P26(x – 1) = (x – 26) x (x – 1) (x – 25) P26(x) Suy : P26(x – 1) = P26(x) (0,5đ) Và P26(x) = c ( c : số ) Vậy P(x) = c x (x – 1) (x – 2) (x – 25) Kiểm tra... P1(x – 1) = x P(x – 1) = (x – 26) P(x) (0,5đ) Từ suy P(x) chia hết cho (x – 1) , nghóa P(x) = x (x – 1) P2(x) (0,5đ) Từ ta lại nhận : P(x – 1) = (x – 1) (x – 2) P2(x – 1) (0,5đ) Hoặc laø x (x –. .. – (2x + 8)3 = – 12x2 + 36x + 272 = P(x) – (2x + 9)3 = – 24x2 – 66x + 55 = nghiệm nguyên Vậy phương trình cho nghiệm nguyên với x Lại có P (– x – 7) = – P(x) Vậy (x ; y) nghiệm (1) (–