Đề thi chọn dự tuyển học sinh giỏi huyện năm học 2010 – 2011 môn Toán39257

PHÒNG GD & ĐT Tư Nghĩa Trường Nghĩa Thắng ĐỀ THI CHỌN DỰ TUYỂN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2010 – 2011 MƠN TỐN ( Thời gian làm 150 phút ) Kính gửi: Ban biên tập Tạp chí Toán tuổi thơ Tên : Trương Quang An Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng Địa : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 01208127776 Bài : ( điểm ) a, Chứng minh với số tự nhiên n b, Giải phương trình : x2 + x + 12 n5 - n  10 x  = 36 Bài : ( điểm ) a, Giải hệ phương trình : 1  x  y     x y    xy    xy b, Cho số không âm x , y , z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A= x  xy  y  y  yz  z  z  zx  x Bài : ( điểm ) a , Tìm nghiệm đa thức Q ( x ) = x + a x2 + b x + c Biết đa thức có nghiệm 2014a + 2015b + 2016c = b, Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh : P= 4a 9b 16c    26 bc a c  a b a bc Bài : ( điểm ) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R = cm Có  BAC = 600 , đường cao AH = cm a, Tính diện tích tam giác ABC b, Gọi P điểm tùy ý cung nhỏ BC M , N điểm đối xứng P qua đường thẳng AB AC Xác định vị trí điểm P cho độ dài MN đạt giá trị lớn Tính độ dài lớn _HẾT _ ThuVienDeThi.com Cán coi thi khơng giải thích thêm ĐÁP ÁN TĨM TẮT VÀ BIỂU ĐIỂM BÀI Ý NỘI DUNG Ta có : - n = n ( – ) = n ( n2 – ) ( n2 + ) = ( n – ) n ( n+1 ) ( n2 + )  (1) ( Vì ( n – ) n hai số tự nhiên liên tiếp ) Mặt khác : n5 - n = n ( n4 – ) = n ( n2 – ) ( n2 + ) + Nếu n = 5k n5 - n  (2) 2 + Nếu n = 5k  n - = (5k  1) – = 25k  10k  n5 - n  (3) 2 + Nếu n = 5k  n + = (5k  2) + = 25k  20k +   n5 - n  (4) Kết hợp ( ) với ( ) , ( ) ( )  n - n  10 với n  N Điều kiện : x  -1 Đặt t = x    x = t2 - Phương trình cho trở thành : t4 - t2 + 12t – 36 =  t4 – ( t – )2 =  ( t - ) ( t + ) ( t2 – t + ) = n5 a 2đ 4đ b 2đ n4 t   t  2(tm)   t   t  3  0(loai ) 23  với  t ( Vì t2 – t + = ( t- )2 + Với t =  x = ( thỏa mãn ) a 3đ  ( x  y )(1  xy )   ( xy )  xy      ThuVienDeThi.com 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Vậy phương trình cho có nghiệm x = Điều kiện xy  1  x  y  x  y     xy    xy ĐIỂM 0,25 đ 0,5 đ x y  ( x  y )  xy   ( xy )  xy     ( x  y )(1  )  xy  ( xy  2)(2 xy  1)   0,5 đ 0,75 đ  ( x  y )(1  xy )     xy    xy      xy  (1)  x  y       xy  (2)     x  y     x   y2 Giải ( 1) ta   ; Giải ( 2) ta x     y   x    y      x    y   Vậy hệ cho có nghiệm : ( ;2 ) , ( ; ) , ( ; Ta có : x  xy  y  0,75 đ 0,5 đ 1 ),( ;1) 2 3 ( x  y)2  ( x  y)2  ( x  y)2  ( x  y) 4 ( x  y)2  ) y  yz  z  ( y  z) z  zx  x  ( z  x) 0,25 đ ( 1) 1,0 đ ( Vì Tương tự : b 3đ (2) (3) 0,5 đ 0,5 đ Cộng hai vế ( ) , ( ) ( ) ta A  3( x  y  z )  3 0,5 đ x  y  z  x  y   x  y  z 1 Dấu xảy  y  z    z  x  Vậy Giá trị nhỏ A = 3 x = y = z = 0,25 đ 0,25 đ Bài : Từ 2014a + 2015b + 2016c = a 2đ  + a + 2b + 4c = 2 1 1 Chia hai vế cho ta :    a    b    c   P ( ) = 2 2 2 Vậy x = nghiệm đa thức Đặt x = b + c – a ; y = c + a + - b ; z = a + b - c yz Khi : a  ; zx b ; x y c ThuVienDeThi.com 0,5 đ 1,0 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ Ta có : 2P = b 3đ 4( y  z ) 9( z  x) 16( x  y )   x y z 0,25 đ  4y 0,5 đ 9x   z 16 y   =          y   x z   y z   x Áp dụng Bất đẳng thức CoSi ta có : 2P   z 16 x 0,5 đ y 9x z 16 x z 16 y 2 2 = 52 x y x z y z 0,25 đ 0,75 đ P  26 Dấu “ = ” xảy Bài :  y 9x x y  x  y 2    x y z a b c x z  z 16 x           z 2 x z y  z 16 y 4  y  z   Vẽ hình : 0,5 đ K N a, Goị M trung điểm BC ta có :  MOC =  BAC = 600 ( theo tính chất đường kính dây với tính chất góc tâm ) Do OC = R = nên MC = OC Sin 600 =  BC = IC = Vì S ABC = AH BC = 3 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ P b, Ta có : AK = AN ( = AP )   AKN cân A Lại có : AKN  2(BAP  PAC ) = 600 = 1200  KN lớn AK lớn ( Do KN cạnh đáy tam giác cân có góc đỉnh không đổi ) Mà AK = AP  2R  KN lớn AP = 2R = hay AP đường kính  ABP  ACP  B,C trung điểm PK PN  BC đường trung bình tam giác PKN  KN = BC = A O K B M ThuVienDeThi.com P N C 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Lưu ý : - Các cách giải mà khác với đáp án cho điểm tối đa - Hình vẽ sai khơng vẽ hình khơng chấm điểm hình / PHỊNG GIÁO DỤC HÀ TRUNG TRƯỜNG THCS HÀ THÁI ®Ị xuÊt ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2009-2010 Mơn thi : TỐN Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề (Đề gồm 06 câu 01 trang) Câu : 3,5điểm  10    10  a bc bc a c  a b   2/ Cho a, b, c thoả mãn: c a b  b  c  a  Tính giá trị biểu thức: P = 1   1   1    a  b  c  1/ Tính : A = Câu 2: 3,5điểm x2  y  z  x  y  z  1/ Cho ba số x, y, z tuỳ ý Chứng minh   3   1 1 1 2/ Chứng minh    a + b + c = abc ta có    a b c a b c Câu 3: 4điểm 1/ / Giải phương trình : 36 x2  y 1  28  x   mx  y  2/ Tìm giá trị cuả m để hệ phương trình  3 x  my  y 1 m2 có nghiệm thoả mãn hệ thức : x  y   m 3 Câu 4: 5điểm 1/ Cho tam giác ABC vuông A, phân giác AD a) Chứng minh hệ thức: 1   AD AB AC b) Hệ thức thay đổi đường phân giác AD đường phân giác AE 2/ Cho tam giác ABC cân A, gọi I giao điểm đường phân giác.Biết IA =2 cm, IB = 3cm Tính độ dài AB Câu 5: 2điểm Cho a, b, c độ dài cạnh BC, CA, AB tam giác ABC Chứng minh rằng: sin Câu 6: 2điểm A a  2 bc Tìm giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: ( y + ) x2 + ThuVienDeThi.com = y2 Hết - PHÒNG GIÁO DỤC HÀ TRUNG TRƯỜNG THCS HÀ THÁI HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2009-2010 Mơn thi : TỐN Thời gian: 150phút không kể thời gian giao đề (Hướng dẫn chấm gồm trang) Câu (2điểm) Vì Câu 3,5điểm Đáp án  10  > 0;  10  >  A > Điểm (1) 0,25đ A2 =  10   (4  10  )(4  10  )   10  0,25đ =  16  10  0,25đ =    =  (  1) 0,25đ =  1 0,25đ = + 2 = (  1) 0,25đ Từ (1) (2) suy ra: A = (2) 0,25đ 1 0,25đ (1,5điểm) abc bca c  a b 2 2 2 c a b abc bca cab   suy c a b Xét hai trường hợp * Nếu a + b + c =  a + b = -c b+c=-a c + a = -b abc  b   c   a   a  b   b  c   c  a  (c) (a ) (b) P = 1   1   1   =  =    = a b c abc  a  b  c   a  b  c  = -1 * Nếu a + b + c   a = b = c  P = 2.2.2 = Từ gt ta có (1,5điểm) Áp dụng BĐT Cơsi ta có: x2 + y2  2xy (1) y2 + z2  2yz (2) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ z2 + x2  2zx (3) Câu 3,5điểm Cộng vế ba BĐT ta 2( x2 + y2 + z2 )  2( xy + yz + zx )  2( x2 + y2 + z2 ) + ( x2 + y2 + z2 )  ( x2 + y2 + z2 ) + 2( xy + yz + zx )  3( x2 + y2 + z2 )  ( x + y + z )2 chia hai vế cho ta ThuVienDeThi.com 0,25đ 0,25đ 0,25đ x  y  z ( x  y  z )2  hay 0,25đ x2  y  z  x  y  z      0,25đ (2điểm) 0,25đ 1 1 1 Từ          a b c a b c 1 1       2     a b c  ab bc ca  1  abc      2 4 a b c  abc  mà a + b + c = abc abc  1 abc 1    24 a b c 1    2 a b c (2,5điểm) 36 Phương trình   28  x   x2 y 1 0,50đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ y  (1) có ĐKXĐ : x > 2, y 0,25đ >1 * Với điều kiện : x > 2, y > ta có : + Phương trình (1)  36  4( x  ) x2  Câu 4,0điểm 0,25đ (6  x  ) x2  ( y  1)  y 1  (2  (6  x  )   (2  y  1)  + Với x > 2, y >    x2    y 1  (6  x  )  Từ (2) (3)   (2  y  1)  6  x     2  y   6  x    2  y  ThuVienDeThi.com y  1) y 1  28  0,25đ 0 (2) 0,25đ (3) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,50đ 0,25đ  x  11   y  Thử lại ta thấy x = 11và y = nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm (x, y) = (11, 5) (1,5điểm) mx  y  3 x  my  Rút y từ phương trình thứ , vào phương trình thứ hai ta có: (m2 + 3)x = 2m + Do m2 + > với m nên ta có 2m  , x m 3 5m  y m 3 2m  5m  m2 Theo đề ta lại có : (*)   1 m 3 m 3 m 3 Giải phương trình ta m = Hệ phương trình  0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,50đ (3,0điểm) A E Câu 5,0điểm B D C a (2,0điểm) a Đặt AC = b; AB = c Ta có SABC = bc  bc = SABC = SABD + 2SADC = AD.AB.sin450 + AC.AD.sin450 = ( AB + AC )AD.sin450 = ( b + c )AD.sin450 AD Suy bc = ( b + c )AD = ( b + c ) 2 AD bc  = bc 2 bc 1   = AD bc c b 1   Vậy (đpcm) AD AB AC  0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ b (1,0điểm) Ta có bc = SABC = SACE - 2SABE = AE.AC.sin1350 – AE.AB.sin450 ThuVienDeThi.com 0,25đ 2  bc = ( b – c )AE = ( b – c ) AE 2 2 bc 1  =   AE bc c b 1 1 Vậy hay     AD AC AB AE AC AB = ( b – c )AE 0,25đ 0,25đ 0,25đ (2,0điểm) A M H I CB C B Kẻ AM  AC, M thuộc tia CI Chứng minh ∆ AMI cân M  MI = AI = Kẻ AH  MI  HM = HI Đặt HM = HI = x ( x > ) Xét ∆ AMC vng A ta có AM2 = MH.MC  (2 )2 = x.(2x + 3)  2x2 + 3x – 30 =  ( 2x – 5)(x + 4) =  x = 2,5 x = -4 ( loại x > 0) Vậy MC = 8cm Ta có AC2 = MC2 – AM2 = 82 – (2 )2 = 64 – 20 = 44  AC = 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 44 = 11 cm  AB = 11 cm Hình vẽ A M B Câu 2,0điểm D N C x Kẻ Ax tia phân giác góc BAC, kẻ BM  Ax CN  Ax Từ hai tam giác vuông AMB ANC, ta có A A BM  BM = c.sin sinMAB = sin = 2 AB A CN A sinNAC = sin =  CN = b sin AC 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ ThuVienDeThi.com A ( b + c) Mặt khác ta ln có BM + CN  BD + CD = BC = a A A Vì sin ( b + c )  a ( sin < 1) 2 1  Do b + c  bc nên b  c bc a A hay sin  (đpcm) 2 bc Do BM + CN = sin Từ ( y + Câu 2,0điểm ).x2 +1= y2  x2 y2 1 =  y2 y2 y2 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ x, y nguyên nên y + Ư(3) 0,25đ suy y + = ; 3; -1; -3 0,25đ Nên y = -1 ; 1; -3 ; 0,25đ x2 -1)(y+2)  , y  0,25đ  2  y  1 y  0,25đ  nên (y2 y = -1 y = suy x = Vậy giá trị nguyên x, y thỏa mãn : (x,y) = (0, 1);(0,1) CHÚ Ý : - Nếu học sinh làm cách khác cho điểm tối đa theo thang điểm ý - Khi học sinh làm phải lý luận chặt chẽ cho điểm tối đa theo ý HẾT - ThuVienDeThi.com 0,25đ 0,25đ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Mơn : Tốn Thời gian: 120’ Câu 1: Chứng minh bất đẳng thức sau: a a2 + b2 +c2 ≥ ab + bc+ ca 1 a b c ≥ + + 3 a b c a b c b 8 ( với a, b, c) ( Với a>0; b>0; c>0) Câu 2: Rút gọn biểu thức sau:   29  12 a x  3x  b x  x2  Câu 3: Cho ΔABC cân A, đường cao thuộc cạnh bên h góc đáy α Chứng minh rằng: SABC= h2 sin  cos  Câu 4: Cho đường tròn (O), dây cung AB cố định M điểm chuyển động cung AB Qua trung điểm K đoạn MB kẻ KP AM Chứng minh M chuyển động cung AB KP ln ln qua điểm cố định Hết ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ GỢI Ý ĐÁP ÁN Câu 1: a a2 + b2 +c2 ≥ ab + bc+ ca (1điểm) 2 a + b +c - ab – bc - ca ≥ 2a2 + 2b2 +2c2 -2ab –2bc - 2ca ≥ (2a2 -2ab+ b2 )+(b2 -2bc + c2 )+ (a2- 2ca +c2 ) ≥ (a-b)2 + (b-c)2 +(a-c)2 ≥ ( BĐT đúng) Do a2 + b2 +c2 ≥ ab + bc+ ca bất đẳng thức b Theo câu a ta có: a8 + b8 + c8 ≥ a4b4 + b4c4 + a4c4 = (a2b2)2 + (b2c2)2 +(c2a2)2 ≥ (a2b2)2(b2c2) + (b2c2)(c2a2) +(a2b2)2(c2a2) = a2b2c2(a2 + b2 +c2 ) ≥ a2b2c2(ab +bc+ ca) (1.5 điểm) Do a b c (ab  bc  ca) a8  b8  c8 ≥ a 3b c a 3b c Câu (3điểm) a A = b ( 1.5 điểm)   29  12 = x  3x  x4  x2  ( x  x  4)  x = x4  x2  ( x  2)  ( x ) = x4  x2  ( x  2  x )( x   x ) = x4  x2  (1.5 điểm) = x4+2 – x2 Câu 3: Hình vẽ 0,5 điểm, chứng minh 1,5 điểm Kẻ BE AC ΔBEC vng E, ta có: Sinα = sinC = BE = BC Kẻ đường cao AH HB = HC = ( 2điểm) A h h => BC = BC sin  h BC = sin  E h Trong Δ vng AHC h h B tgα = sin  sin  1 h h h2 SΔABC = BC.AH= = 2 sin  cos  sin  cos  AH = HCtgα = P Câu 4: hình vẽ (0,5điểm); chứng minh (2điểm) Tia AO cắt (O) A1 A1 điểm cố định MA1// KP ( vng góc với AM) C H (2,5điểm) M K A O ThuVienDeThi.com B IK PK cắt A1B I KI đường trung bình ΔMBA1 nên I trung điểm BA1 Do điểm I cố định A1 Vậy M di chuyển cung AB đường thẳng PK luôn qua điểm cố định I ThuVienDeThi.com ... GIÁO DỤC HÀ TRUNG TRƯỜNG THCS HÀ THÁI ®Ị xt ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2009 -2010 Mơn thi : TỐN Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề (Đề gồm 06 câu 01 trang) ... ThuVienDeThi.com = y2 Hết - PHÒNG GIÁO DỤC HÀ TRUNG TRƯỜNG THCS HÀ THÁI HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2009 -2010 Môn thi :... học sinh làm cách khác cho điểm tối đa theo thang điểm ý - Khi học sinh làm phải lý luận chặt chẽ cho điểm tối đa theo ý HẾT - ThuVienDeThi.com 0,25đ 0,25đ ĐỀ