Cho phương trình: 2 với là tham số.. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O.. Các đường cao AD, BI, CK cắt nhau tại H.. Vẽ hình bình hành BHCE.. c Gọi M là trung điểm của
Trang 1UBND TỈNH HÀ NAM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Không chuyên)
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (1,5 điểm)
Cho biểu thức: 1 1 1 1 (với và )
Q
a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tính giá trị của biểu thức Q biết a 3 2 2
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Giải hệ phương trình: 2( 3) 3( 4) 1
x y
b) Giải phương trình: x2 x 2 100
Câu 3 (1,5 điểm)
Cho phương trình: 2 (với là tham số)
2 4 5 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệmx x1, 2thỏa mãn : x1x2 6
Câu 4 (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD,
BI, CK cắt nhau tại H Vẽ hình bình hành BHCE
a) Chứng minh 0
180
BAC IHK b) Chứng minh điểm E thuộc đường tròn (O) và BADCA E
c) Gọi M là trung điểm của BC; F là giao điểm của AM và OH Chứng minh F
là trọng tâm của tam giác ABC.
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = AD BI CK
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z 3 Tìm giá trị lớn nhất
A
-HẾT -Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1: Giám thị 2:
Trang 2UBND TỈNH HÀ NAM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN
CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Không chuyên)
( Bản Hướng dẫn chấm thi gồm có 04 trang )
Câu 1
(với và )
1
Q
1
Q
0,5
= 2 . 1
1
a a
a a
a)
1,0
điểm
= 2
2
b)
0,5
điểm Q 12 a 1 22 1 2 0,25
Câu 2
2( 3) 3( 4) 1 2 3 7 7 28
a)
1,0
điểm
4 5
x
y
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x y; 4;5 0,5
x2 x 2 100 ĐKXĐ: x2
(x 2) 2 x 2 8 0
Đặt x 2 t 0
Ta có: t2 2t 8 0
Giải được t1 4
t2 2 (loại)
0,5
b)
1,0
điểm
Với t 4 x 2 4 x 18 (thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S 18
0,5
Câu 3
Trang 3x22mx4m 5 0 (1)
' m2 4m 5 m2 4m 4 1 0,5
a)
0,75
điểm (m 2)2 1 0
Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 0,25 Phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x2
Kết hợp hệ thức Vi-ét ta có: 1 2 1
=> x x1 2(m3)(m 3) m29 (*)
Mặt khác theo Vi-ét ta có x x1 2 4m5 (**) 0,25
b)
0,75
điểm
Từ (*) và (**) => m2 9 4m 5 m24m 4 0 m 2 2 2
Vậy m 2 2 2 thỏa mãn bài toán 0,25
Câu 4
180
AIH AKH
a)
1,0
điểm
=> 0
180
Vì BHCE là hình bình hành
=> CH // BE
Mà CH AB (gt)
=> BE AB
=> ABE 900
0,25
b)
1,0
điểm
Cm tương tự ta có: 0
90
ACE
=> Tứ giác ABEC nội tiếp
=> E thuộc (O).
0,25
O A
C B
E
M D
F H
I
K
Trang 4suy ra CA ECB E ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung CE) 0,25
mà BA DCBE ( cùng phụ với ABC)
Ta có MB = MC (gt)
=> OM BC
Mà AH BC (gt)
=> OM // AH
=> Hai tam giác AHF và MOF đồng dạng
=> (1)
AF
AH
0,5
c)
1,0
điểm
Lại có 0 => AE là đường kính (O)
90
ABE
=> O là trung điểm của AE.
Tứ giác BHCE là hình bình hành => M cũng là trung điểm của HE
=> OM là đường trung bình của tam giác AHE
=> 1 (2)
2
MO
AH
Từ (1) và (2) => 1
AF 2
MF
=> F là trọng tâm tam giác ABC.
0,5
Đặt SBHC = S1, SAHC = S2, SAHB = S3, SABC = S Vì ABC nhọn nên
trực tâm H nằm bên trong ABC, do đó: S = S1 + S2 + S3
Ta có:
HD S S HI S S HK S S
0,25
Cộng vế theo vế (1), (2), (3), ta được:
1 1 1
AD BI CK S S S
0,25
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương, ta có:
3
1 2 3 3 1 .2 3
S S S S S S S
3
1 2 3 1 2 3
S S S S S S 0,25
d)
1,0
điểm
Nhân vế theo vế (4) và (5), ta được: T 9
Vậy GTNN của T là 9 khi S1S2 S3 hay H là trọng tâm của ABC,
nghĩa là ABC đều
0,25
Câu 5
Ta có: 2 2 Dấu “=” xảy ra khi x = y.
2
x y x y
x y
1,0
điểm
Từ đó: 2x2 3xy y2 3 (x x y) x2 y2
Trang 5(1)
x y
Tương tự: (2)
2
y yz z y z
y z
(3)
2
z zx x z x
z x
0,25
Cộng theo vế (1), (2), (3) có:
2( ) 6
x y y z z x
A x y z
Vậy GTLN của A là 6 khi x y z 1
0,25
Chú ý: Mọi cách làm khác mà đúng đều cho điểm tương đương