Trần Sĩ Tùng Phương pháp toạ độ mặt phẳng IV PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG HYPEBOL Định nghĩa Cho F1, F2 cố định với F1F2 2c (c > 0) M ( H ) MF1 MF2 2a (a < c) F1, F2: tiêu điểm, F1F2 2c : tiêu cự Phương trình tắc hypebol x2 y2 (a, b 0, b2 c2 a2 ) 1 a b Toạ độ tiêu điểm: F1 (c; 0), F2 (c; 0) Với M(x; y) (H), MF1 , MF2 đgl bán kính qua tiêu điểm M MF1 a c c x , MF2 a x a a Hình dạng hypebol (H) nhận trục toạ độ làm trục đối xứng gốc toạ độ làm tâm đối xứng A1 (a; 0), A2 (a; 0) Toạ độ đỉnh: Độ dài trục: trục thực: 2a, trục ảo: 2b c e Tâm sai (H): (e > 1) a Hình chữ nhật sở: tạo đường thẳng x a, y b Phương trình đường tiệm cận: Đường chuẩn hypebol b y x a Phương trình đường chuẩn i ứng với tiêu điểm Fi là: x Với M (H) ta có: MF1 MF2 e d ( M , 1 ) d ( M , 2 ) a 0 e (e < 1) VẤN ĐỀ 1: Xác định yếu tố (H) Các yếu tố: x2 y2 Xác định a, b, c a2 b2 – Độ dài trục thực 2a, trục ảo 2b – Tiêu cự 2c – Toạ độ tiêu điểm F1 (c; 0), F2 (c; 0) Đưa phương trình (H) dạng tắc: – Toạ độ đỉnh A1 (a; 0), A2 (a; 0) – Tâm sai e c a b – Phương trình đường tiệm cận: y x a a – Phương trình đường chuẩn x e Baøi Cho hypebol (H) Xác định độ dài trục, tiêu cự, toạ độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh, tâm sai, phương trình đường tiệm cận, phương trình đường chuẩn Trang 43 ThuVienDeThi.com Phương pháp toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng (H), với (H) có phương trình: a) x y2 1 16 e) 16 x 25y 400 b) x y2 1 16 c) f) x y x y2 1 25 g) x y d) x y2 1 h) x 25y Baøi a) VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình tắc (H) Để lập phương trình tắc (H) ta cần xác định độ dài nửa trục a, b (H) Chú ý: Công thức xác định yếu tố (H): c + b2 c2 a2 + e + Các tiêu điểm F1 (c; 0), F2 (c; 0) a + Các đỉnh: A1 (a; 0), A2 (a; 0) Bài Lập phương trình tắc (H), biết: a) Độ dài trục thực 6, trục ảo b) Độ dài trục thực 8, tiêu cự 10 x 13 d) Độ dài trục thực 48, tâm sai 12 e) Độ dài trục ảo 6, tâm sai Bài Lập phương trình tắc (H), biết: a) Một đỉnh A(5; 0), tiêu điểm F(6; 0) b) Một tiêu điểm F(–7; 0), tâm sai e = c) Tiêu cự 13 , tiệm cận y c) (H) qua hai điểm M 2; , N (3; 4) d) Độ dài trục thực qua điểm A(5; –3) e) Tiêu cự 10 qua điểm A(–4; 3) f) Có tiêu điểm với elip (E): 10 x 36 y 360 , tâm sai Bài Lập phương trình tắc (H), biết: a) Một đỉnh A(–3; 0) tiệm cận d: x 3y b) Hai tiệm cận d: x y khoảng cách hai đường chuẩn c) Tiêu cự hai tiệm cận vng góc với d) Hai tiệm cận d: x y hai đường chuẩn : x 16 e) Đi qua điểm E(4; 6) hai tiệm cận d: 3x y Baøi a) VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm (H) thoả mãn điều kiện cho trước Trang 44 ThuVienDeThi.com Trần Sĩ Tùng Phương pháp toạ độ mặt phẳng Chú ý: Các công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm điểm M(x; y) (H): c c MF1 a x , MF2 a x a a Nếu M thuộc nhánh phải x a c c MF1 x a , MF2 x a (MF1 > MF2) a a Nếu M thuộc nhánh trái x – a c c MF1 x a , MF2 x a (MF1 < MF2) a a Baøi Cho hypebol (H) đường thẳng d vng góc với trục thực tiêu điểm bên trái F1 cắt (H) hai điểm M, N i) Tìm toạ độ điểm M, N ii) Tính MF1 , MF2 , MN a) 16 x y 144 b) 12 x y 48 c) 10 x 36 y 360 Bài Cho hypebol (H) Tìm điểm M (H) cho: i) MF2 3MF1 ii) MF1 3MF2 iii) MF1 MF2 iv) MF1 MF2 x y2 x y2 x y2 x2 b) c) d) 1 1 1 y2 16 12 Bài Cho hypebol (H) Tìm điểm M (H) nhìn hai tiêu điểm góc vng, với: a) x2 x y2 x y2 x y2 b) c) d) y2 1 1 1 4 12 16 Bài Cho hypebol (H) Tìm điểm M (H) nhìn hai tiêu điểm góc , với: a) a) x y2 1, 1200 b) x y2 1, 1200 36 13 c) x y2 1, 600 16 Baøi a) VẤN ĐỀ 4: Tập hợp điểm Để tìm tập hợp điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa dạng: Dạng 1: MF1 MF2 2a Tập hợp hypebol (H) có hai tiêu điểm F1, F2, trục thực 2a Dạng 2: x a2 y b2 Tập hợp hypebol (H) có độ dài trục thực 2a, trục ảo 2b Baøi Cho đường tròn (C): x y x điểm F2 (2; 0) a) Tìm toạ độ tâm F1 bán kính R (C) b) Tìm tập hợp tâm M đường trịn (C) di động ln qua F2 tiếp xúc với (C) c) Viết phương trình tập hợp Bài Cho hai đường trịn (C): x y 10 x (C): x y 10 x 21 a) Xác định tâm tính bán kính (C) (C) Trang 45 ThuVienDeThi.com Phương pháp toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng b) Tìm tập hợp tâm M đường tròn (T) tiếp xúc với (C) (C) c) Viết phương trình tập hợp y2 HD: c) (H): x 24 Baøi Cho hai đường thẳng : x y : x y a) Tìm tập hợp (H) điểm M có tích khoảng cách từ M đến 100 29 b) Viết phương trình đường tiệm cận (H) c) Gọi N điểm (H) Chứng minh tích khoảng cách từ N đến đường tiệm cận (H) số khơng đổi Bài Tìm tập hợp điểm M có tỉ số khoảng cách từ đến điểm F đến đường thẳng e, với: a) F (4; 0), : x 0, e c) F (6; 0), : x 0, e 3 ,e 3 d) F 3; , : x 0, e b) F (3 2; 0), : x Baøi a) VẤN ĐỀ 5: Một số tốn khác Bài Cho hypebol (H): x 16 y 144 a) Viết phương trình đường chuẩn (H) b) Viết phương trình đường tiệm cận (H) c) Gọi M điểm (H) Chứng minh tích khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận số khơng đổi Bài Cho hypebol (H): x 16 y 144 a) Tìm điểm M (H) cho bán kính qua tiêu điểm bên trái lần bán kính qua tiêu điểm bên phải M b) Tìm điểm N (H) cho F1NF2 900 c) Chứng minh đường thẳng d cắt (H) P, Q cắt hai đường tiệm cận P, Q PP = QQ HD: c) Chứng tỏ hai đoạn PQ PQ có chung trung điểm x2 y2 a2 b2 a) Gọi M điểm tuỳ ý (H) Chứng minh tích khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận số không đổi b) Từ điểm N (H), dựng hai đường thẳng song song với hai đường tiệm cận, với hai đường tiệm cận tạo thành hình bình hành Tính diện tích hình bình hành Bài Cho hypebol (H): HD: a) a2 b2 a b b) ab Baøi a) V PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PARABOL Trang 46 ThuVienDeThi.com Trần Sĩ Tùng Phương pháp toạ độ mặt phẳng Định nghĩa Cho điểm F đường thẳng không qua F M ( P ) MF d ( M , ) F: tiêu điểm, : đường chuẩn, p d ( F , ) : tham số tiêu Phương trình tắc parabol y px Toạ độ tiêu điểm: (p > 0) p F ;0 2 Phương trình đường chuẩn: : x p Với M(x; y) (P), bán kính qua tiêu điểm M MF x Hình dạng parabol (P) nằm phía bên phải trục tung (P) nhận trục hoành làm trục đối xứng O(0; 0) Toạ độ đỉnh: Tâm sai: e = p VẤN ĐỀ 1: Xác định yếu tố (P) Đưa phương trình (P) dạng tắc: y px Xác định tham số tiêu p Các yếu tố: p – Toạ độ tiêu điểm F ; 2 – Phương trình đường chuẩn : x p Baøi Cho parabol (P) Xác định toạ độ tiêu điểm phương trình đường chuẩn (P), với: a) ( P ) : y x b) ( P ) : y x c) ( P ) : y 16 x d) ( P ) : y x Baøi a) VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình tắc (P) Để lập phương trình tắc (P) ta cần xác định tham số tiêu p (P) Chú ý: Công thức xác định yếu tố (P): p p – Toạ độ tiêu điểm F ; – Phương trình đường chuẩn : x 2 Baøi Lập phương trình tắc (P), biết: a) Tiêu điểm F(4; 0) b) Tiêu điểm F(3; 0) c) Đi qua điểm M(1; –4) c) Đường chuẩn : x d) Đường chuẩn : x e) Đi qua điểm M(1; –2) Baøi Lập phương trình tắc (P), biết: a) Tiêu điểm F trùng với tiêu điểm bên phải elip (E): x y 45 b) Tiêu điểm F trùng với tiêu điểm bên phải hypebol (H): 16 x y 144 Trang 47 ThuVienDeThi.com Phương pháp toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng c) Tiêu điểm F trùng với tâm đường tròn (C): x x y Baøi a) VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm (P) thoả mãn điều kiện cho trước Chú ý: Công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm điểm M(x; y) (P): p MF x Bài Cho parabol (P) đường thẳng d vng góc với trục đối xứng tiêu điểm F cắt (P) hai điểm M, N i) Tìm toạ độ điểm M, N ii) Tính MF , MN a) ( P ) : y x b) ( P ) : y x c) ( P ) : y 16 x d) ( P ) : y x Baøi Cho parabol (P) i) Tìm điểm M (P) cách tiêu điểm F đoạn k ii) Chọn M có tung độ dương Tìm điểm A (P) cho AFM vuông F a) ( P ) : y x , k 10 b) ( P ) : y x , k c) ( P ) : y 16 x , k Baøi Cho parabol (P) đường thẳng d có hệ số góc m quay quanh tiêu điểm F (P) cắt (P) hai điểm M, N i) Chứng minh x M x N khơng đổi ii) Tính MF, NF, MN theo m a) ( P ) : y x b) ( P ) : y x c) ( P ) : y 16 x d) ( P ) : y x Baøi a) VẤN ĐỀ 4: Tập hợp điểm Để tìm tập hợp điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa dạng: Dạng 1: MF d ( M , ) Tập hợp (P) có tiêu điểm F Dạng 2: p y px Tập hợp (P) có tiêu điểm F ; 2 Bài Tìm tập hợp tâm M đường trịn (C) di động ln qua điểm F tiếp xúc với đường thẳng , với: a) F (2; 0), : x b) F (3; 0), : x c) F (1; 0), : x Baøi Cho parabol (P) Đường thẳng d quay quanh O cắt (P) điểm thứ hai A Tìm tập hợp của: i) Trung điểm M đoạn OA ii) Điểm N cho NA NO a) y 16 x b) y x c) y x Baøi a) Trang 48 ThuVienDeThi.com d) y x ... Viết phương trình tập hợp Bài Cho hai đường trịn (C): x y 10 x (C): x y 10 x 21 a) Xác định tâm tính bán kính (C) (C) Trang 45 ThuVienDeThi.com Phương pháp toạ độ mặt phẳng. .. thoả mãn điều kiện cho trước Trang 44 ThuVienDeThi.com Trần Sĩ Tùng Phương pháp toạ độ mặt phẳng Chú ý: Các công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm điểm M(x; y) (H): c c MF1 a x... a2 b2 a b b) ab Bài a) V PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PARABOL Trang 46 ThuVienDeThi.com Trần Sĩ Tùng Phương pháp toạ độ mặt phẳng Định nghĩa Cho điểm F đường thẳng không qua F M ( P ) MF d