Ôn tập Hình học 10 Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng29223

Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng §1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A LÝ THUYẾT Vectơ phương đường thẳng   Vectơ u  đgl vectơ phương đường thẳng  giá song song trùng với    Nhận xét:– Nếu u VTCP  ku (k  0) VTCP  – Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm VTCP Vectơ pháp tuyến đường thẳng   Vectơ n  đgl vectơ pháp tuyến đường thẳng  giá vng góc với    Nhận xét: – Nếu n VTPT  kn (k  0) VTPT  – Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm VTPT     – Nếu u VTCP n VTPT  u  n Phương trình tham số đường thẳng  Cho đường thẳng  qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTCP u  (u1; u2 )  x  x0  tu1   y  y0  tu2 Phương trình tham số : (1) ( t tham số)  x  x0  tu1 Nhận xét: – M(x; y)     t  R:   y  y0  tu2 – Gọi k hệ số góc  thì: với  = ฀xAv ,   900 + k = tan, u +k= , u1 với u1  y y v v    O A x O A  x Phương trình tắc đường thẳng  Cho đường thẳng  qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTCP u  (u1; u2 ) Phương trình tắc : x  x y  y0  u1 u2 (2) (u1  0, u2  0) Chú ý: Trong trường hợp u1 = u2 = đường thẳng khơng có phương trình tắc Phương trình tổng quát đường thẳng PT ax  by  c  với a2  b2  đgl phương trình tổng quát đường thẳng Nhận xét: – Nếu  có phương trình ax  by  c   có:    VTPT n  (a; b) VTCP u  (b; a) u  (b; a)  – Nếu  qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTPT n  (a; b) phương trình  là: a( x  x0 )  b( y  y0 )  Các trường hợp đặc biệt: ThuVienDeThi.com Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Các hệ số c=0 a=0 b=0 Phương trình đường thẳng  ax  by  by  c  ax  c  Tính chất đường thẳng   qua gốc toạ độ O  // Ox   Ox  // Oy   Oy   qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b  0): Phương trình : x y   a b (phương trình đường thẳng theo đoạn chắn)   qua điểm M0 ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k: Phương trình : y  y0  k ( x  x0 ) (phương trình đường thẳng theo hệ số góc) Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1 x  b1y  c1  2: a2 x  b2 y  c2  Toạ độ giao điểm 1 2 nghiệm hệ phương trình: a1 x  b1y  c1  (1)  a2 x  b2 y  c2   1 cắt 2  hệ (1) có nghiệm  a1 b1  a2 b2  1 // 2  hệ (1) vô nghiệm  a1 b1 c1   (nếu a2 , b2 , c2  ) a2 b2 c2  1  2  hệ (1) có vơ số nghiệm  a1 b1 c1   (nếu a2 , b2 , c2  ) a2 b2 c2 (nếu a2 , b2 , c2  ) Góc hai đường thẳng  Cho hai đường thẳng 1: a1 x  b1y  c1  (có VTPT n1  (a1; b1 ) )  2: a2 x  b2 y  c2  (có VTPT n2  (a2 ; b2 ) )     (n , n ) (n1 , n2 )  900 (฀1 , 2 )       180  (n1 , n2 ) (n1 , n2 )  90   n1.n2 a1b1  a2 b2   ฀ ฀ cos(1 , 2 )  cos(n1 , n2 )     n1 n2 a12  b12 a22  b22 Chú ý:  1  2  a1a2  b1b2   Cho 1: y  k1 x  m1 , 2: y  k2 x  m2 thì: + 1 // 2  k1 = k2 + 1  2  k1 k2 = –1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng : ax  by  c  điểm M0 ( x0 ; y0 ) d ( M0 , )  ax0  by0  c a2  b2  Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng Cho đường thẳng : ax  by  c  hai điểm M ( x M ; yM ), N ( x N ; yN )   ThuVienDeThi.com Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng – M, N nằm phía   (ax M  byM  c)(ax N  byN  c)  – M, N nằm khác phía   (ax M  byM  c)(ax N  byN  c)   Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1 x  b1y  c1  2: a2 x  b2 y  c2  cắt Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng 1 2 là: a1 x  b1y  c1 a12  b12  a2 x  b2 y  c2 a22  b22 B CÁC DẠNG TỐN Dạng 1: Viết phương trình tham số đường thẳng Phương pháp: muốn viết phương trình tham số  đường thẳng  cần tìm yếu tố:  Véc tơ phương đường thẳng  u (u1 ; u2 )  Tìm điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc  Chú ý:   Nếu  có hệ số góc k chọn u (1; k )    Biết hai điểm M, N thuộc  chọn u  MN    Nếu  có véc tơ pháp tuyến n(a; b) chọn u (b; a ) Ví dụ 1: Lập phương trình tham số đường thẳng  trường hợp sau: a)  qua hai điểm A(1;-4), B(-3;5)  b)  qua điểm M(1;-2) có véc tơ pháp tuyến n(4; 3) Ví dụ 2: Cho biết trung điểm cạnh AB, BC, CA tam giác M(3;-2), N(-1;1), P(5;2) Hãy lập phương trình tham số đường thẳng chứa cạnh tam giác Ví dụ 3: Lập phương trình tham số đường thẳng d trường hợp sau: a) d qua điểm M(3;-5) có hệ số góc k=-3  x  1  2t b) d qua điểm N(0;-4) song song với đường thẳng  có phương trình   y  10  t Dạng2: Viết phương trình tổng quát đường thẳng Phương pháp: muốn viết phương trình tổng quátcủa đường thẳng  cần tìm yếu tố:  Véc tơ pháp tuyến đường thẳng  n(a; b)  Tìm điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc  Áp dụng công thức a ( x  x0 )  b( y  y0 )  sau chuyển dạng ax  by  c  Nhận xét:  Nếu đường thẳng  song song trùng với đường d có phương trình ax  by  c   có phương trình tổng qt ax  by  c '  lúc ta cần tìm c’  Nếu đường thẳng  vng góc với đường d có phương trình ax  by  c   có phương trình tổng qt bx  ay  c ''  lúc ta cần tìm c”  Có thể chuyển phương trình tham số sang phương trình tổng quát cách khử tham số sau:  x  x0  tu1 x  x0 y  y0    u2 ( x  x0 )  u1 ( y  y0 )   u1 u2  y  y0  tu2 ThuVienDeThi.com Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Ví dụ 1: Lập phương trình tổng quát đường thẳng d trường hợp sau: a) d qua điểm A(2;-3) có véc tơ pháp tuyến n(1; 2)  b) d qua điểm B(4;-2) có véc tơ pháp tuyến u (4; 3) Ví dụ 2: Cho tam giác ABC biết A(1;4), B(3;2), C(7;3) Lập phương trình tổng quát đường thẳng chứa đường cao AH đường trung tuyến AM tam giác Dạng 3: Xét vị trí tương đối hai đường thẳng Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng m n có phương trình tổng quát là: (m) : x  y   , (n) : x  y  10  a) Tìm giao điểm m n b) Tính góc m n Ví dụ 2: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng cho phương trình sau đây: a) (d1 ) : x  y   0; (d ) : x  y   b) (d3 ) : x  y   0; (d ) : x  y    x  6  10t c) (d5 ) : x  y   0; (d ) :   y   8t Dạng 4: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Ví dụ 1: Trong mp Oxy cho hai điểm M(2;5) N(5;1) Lập phương trình đường thẳng qua điểm M cho khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng Ví dụ 2: Dạng 5: Phương trình đường phân giác Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng 1 ,  có phương trình 1 : x  y   0;  : x  y   Hãy lập phương trình đường phân giác góc hợp thành đường thẳng Ví dụ 2: Trong mp tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(-6;-3), B(-4;3), C(9;2) Viết phương trình đường ฀ thẳng d chứa phân giác góc BAC ( cách) C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho đường thẳng d: x-2y+2=0 điểm M(1;4) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua d Bài 2: Trong mp Oxy cho đường thẳng d có phương trình tổng quát 3x+4y-12=0 a) Xác định tọa độ giao điểm A, B d với trục Ox, Oy b) Tính tọa độ hình chiều H gốc O d c) Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d qua gốc O Bài 3: Trong mp Oxy cho tam giác ABC biết phương trình đường thẳng BC, CA, AB là: BC: x3y-6=0; CA: x+y-6=0; AB: 3x+y-8=0 a) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C tam giác b) Chứng minh tam giác ABC vng B Tính diện tích tam giác c) Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao BH tam giác ABC tìm tọa độ chân đường cao H Bài 4: Lập phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng d: x-2y-5=0 qua A(2;1) ThuVienDeThi.com Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Bài 5: Ba trung điểm cạnh tam giác M (2;1), M (5;3), M (3; 4) Tìm phương trình cạnh tam giác Bài : Lập phương trình đường thẳng qua P(6;4) tạo với hai trục toạ độ tam giác có diện tích Bài 7: Viết phương trình tổng quát đường thẳng  cho a)  song song với đường thẳng d1 có phương trình 3x-4y+2=0 cắt trục Ox, Oy A, B cho AB=5 b) Đường  qua điểm I(3;1) cắt trục Ox, Oy C D tam giác CDE cân E với E(2;-2) Bài 8: Lập phương trình đường thẳng  qua Q(2;3) cắt hai tia Ox ,Oy hai điểm M, N (  O) cho OM+ON nhỏ Bài 9: Cho M(2;3), viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai tia Ox ,Oy hai điểm hai điểm A, B cho tam giác ABC có diện tích nhỏ Bài 10: Cho P(-2;3) Tìm phương trình đường thẳng qua P cách dều hai điểm A(5;-1), B(3;7) Bài 11: Lập phương trình đường thẳng qua P(1;-2) cách Q(-1;1) khoảng d  Bài 12: Cho hai điểm A(0;5), B(4;1) Tìm  : x-4y+7=0 điểm C cho  ABC cân C Bài 13: Cho  : 2x+y-1=0 Tìm  điểm có khoảng cách đến d: 4x+3y-10=0 Bài 14: Trong mp Oxy cho hai đường thẳng ,  ' có phương trình:  : x  y   0;  ' : x  y   a) Tính góc ,  ' b) Tính khoảng cách từ điểm M(5;3) đến ,  ' c) Viết phương trình đường phân giác góc hợp ,  ' Bài 15: Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua điểm A(0;1) tạo với đường thẳng  : x+2y+3=0 góc   45o Bài 16: a) (CĐKTKT-2004) Lập phương trình đường thẳng qua A(1;1) tạo với đường thẳng d: 2x+3y+1=0 góc 45o  x   3t b) Lập phương trình đường thẳng qua A(-2;0) tạo với đường thẳng  góc 60o  y   2t Bài 17: Cho tam giác ABC với A( ;3), B(1; 2), C (4;3) Viết phương trình đường phân giác góc A Bài 18: (KA-2004) Cho tam giác ABC có: A(-6;-3), B(-4;3), C(9;2) a) Viết phương trình cạnh b) Viết phương trình đường phân giác góc A tam giác ABC  x   2t  x  5  4m ;':  Bài 19: Cho hai đường thẳng ,  ' có phương trình:  :   y  3  t  y  7  3m a) Tìm giao điểm C ,  ' b) Viết PTTQ đường thẳng d qua I(2;-3) cắt ,  ' A, B cho I trung điểm AB Bài 20: Trong mp với hệ toạ độ đề vng góc Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(1;0) hai đường cao vẽ từ hai B, C có phương trình tương ứng x-2y+1= 3x+y-1= Tính diện tích tam giác ABC Bài 21: (CĐSPVP-2002) Trong mp với hệ toạ độ đề vng góc Oxy cho tam giác ABC điểm M(-1;1) trung điểm AB Hai cạnh AC BC theo thứ tự nằm hai đường thẳng : 2x+y-2=0 ,và x+3y-3=0 a) Xác định toạ độ ba đỉnh A,B,C tam giác viết phương trình đường cao CH b) Tính diện tích tam giác ABC Bài 22: Trong mp với hệ toạ độ đề vng góc Oxy xét tam giác ABC với phương trình đường thẳng AB x-2y+7= 0, đường trung tuyến kẻ từ A, B có phương trình x+y-5 =0 2x+y-11= Hãy ThuVienDeThi.com Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng tính diện tích tam giác ABC lập phương trình hai đường thẳng AC, BC Bài 23:(KB-2004) Cho A(1;1), B(4;-3) Tìm C thuộc đường thẳng d: x-2y-1=0 cho khoảng cách từ C đến AB Bài 24: Cho A(1;2), B(2;5) Điểm M di động d: x-2y-2=0 Tìm giá trị nhỏ : a) MA+MB b) MA  MB 2.Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn MA  MB Bài 25: cho đường thẳng  m : (m  2) x  (m  1) y  2m   hai điểm A(2;3), B(1;0) a) Chứng minh  m qua điểm cố định với m b) Xác định m để  m có điểm chung với đoạn AB c) Tìm m để khoảng cách từ A đến  m lớn Ghi chú:  Nguyễn Mộng Hy:  Trần Thành Minh: §2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN A LÝ THUYẾT Phương trình đường trịn Phương trình đường trịn có tâm I(a; b) bán kính R: ( x  a)2  ( y  b)2  R Nhận xét: Phương trình x  y  2ax  2by  c  , với a2  b2  c  , phương trình đường trịn tâm I(–a; –b), bán kính R = a2  b2  c  Phương trình tiếp tuyến đường trịn: M ( x0 ; y0 ) ( tiếp tuyến qua M nhận IM véc tơ pháp tuyến) có dạng: ( x0  a )( x  x0 )  ( y0  b)( y  y0 )  Điều kiện tiếp xúc: Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R đường thẳng   tiếp xúc với (C)  d ( I , )  R B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1:Nhận dạng phương trình bậc hai phương trình đường trịn Ví dụ 1: Hãy xét xem phương trình bậc hai sau đây, phương trình phương trình đường trịn? Tìm tâm bán kính có: a) x  y  x  y  100  b) x  y  x  y  36  c) x  y  x  y  118  Ví dụ 2: Cho phương trình đường bậc hai Cm : x  y  4mx  2my  2m   (1) a) Với giá trị m (1) phương trình đường trịn? ThuVienDeThi.com Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng b) Nếu (1) phương trình đường trịn, tìm tọa độ tâm bán kính đường trịn theo m c) Tìm tập hợp tâm đường trịn Cm Dạng2: Lập phương trình đường trịn Phương pháp:  Tìm tọa độ tâm I(a;b) bán kính R đường trịn Khi phương trình đường trịn: ( x  a )  ( y  b)  R  Giả sử phương trình đường trịn có dạng: x  y  2ax  2by  c  (*), tùy điều kiện bào toán đưa hệ với ẩn số a,b,c giải hệ phương trình tìm a,b,c vào (*) Ví dụ 1: Trong mp(Oxy) cho hai điểm A(-2;0), B(0;4) Viết phương trình đường trịn (C) qua ba điểm O, A, B Ví dụ 2: Trong mp Oxy, viết phương trình đường trịn qua điểm M(1;2), N(5;2), P(1;-2) ( cách ) Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến đường trịn Phương pháp:  Nếu biết tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) đường trịn (C) tiếp tuyến qua M nhận IM véc tơ pháp tuyến có dạng: ( x0  a )( x  x0 )  ( y0  b)( y  y0 )  2.Nếu ta chưa biết tiếp điểm ta sử dụng điều kiện tiếp xúc:  tiếp xúc với (C)  d ( I , )  R Ví dụ 1: Cho đường tròn x  y  x  y  20  điểm M(4;2) a) Chứng tỏ điểm M nằm đường trịn b) Lập phương trình tiếp tuyến đường trịn M Ví dụ 2: Cho đường trịn (C) có phương trình x  y  x  y  a) Chứng tỏ điểm M(4;7) nằm ngồi đường trịn b) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) qua điểm M C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Viết phương trình đường tròn trường hợp sau: a) Đi qua điểm A(-1;3), B(1;-5) có tâm trục tung b) Qua điểm A(0;6), B(4;0), C(3;0) c) Qua điểm A(2;-1) tiếp xúc với hai trục Ox, Oy d) Có tâm điểm M(-4;2) tiếp xúc với đường thẳng có phương trình 3x+4y-16=0 e) Qua hai điểm A(2;3), B(-1;1) có tâm I(a;b) nằm đường thẳng x-3y-11=0 Bài 2: Trong mp Oxy cho hai điểm A(8;0), B(0;6) a) Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác OAB b) Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác OAB Bài 3: Trong mp Oxy cho đường trịn (C) có phương trình x  y  x  y   điểm A(1;3) a) Xác định tâm I bán kính R đường trịn b) Chứng tỏ điểm A bên ngồi đường trịn c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua A Bài 4: Cho đường thẳng  : x  y  31  điểm M(1;-7) a) Chứng tỏ điểm M thuộc đường thẳng  b) Lập phương trình đường trịn có bán kính R=5 tiếp xúc với đường thẳng  điểm M cho ThuVienDeThi.com Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Bài 5: Cho họ đường trịn (Cm ) có phương trình x  y  2(m  1) x  2(m  2) y  6m   ( m tham số) a) Tìm tâm bán kính đường trịn thuộc họ cho với m=3 b) Tìm tập hợp tâm đường tròn thuộc họ cho Bài 6: Cho đường tròn (C) x  y  x  y   a) Tìm tâm bán kính (C) b) Cho A(3;-1) Chứng minh A điểm đường trịn Viết phương trình đường thẳng d qua A cắt (C) theo dây cung có độ dài nhỏ c) Cho d’: 3x-4y=0, chứng minh d’ cắt (C) Tính độ dài dây cung Bài 7: Viết phương trình đường trịn trường hợp sau: a) Có bán kính 5, tâm thuộc Ox qua A(2;4) b) Có tâm I(2;-1) tiếp xúc ngồi với đường tròn ( x  5)  ( y  3)  c) Tiếp xúc với hai trục có tâm nằm đường thẳng  : x  y   d) Qua A(0;2), B(-1;1) có tâm đường thẳng 2x+3y=0 e) Qua A(5;3) tiếp xúc với đường thẳng d: x+3y+2=0 T(1;-1) Bài 8: a) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn x  y  biết tiếp tuyến có hệ số góc b) Viết phương trình tiếp tuyến với đường trịn x  ( y  1)  25 biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng 3x-4y=0 Bài 9: Cho hai đường tròn (C ) : x  y  (C ') : ( x  2)  ( y  3)  Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường trịn Bài 10: Cho (Cm ) : x  y  2mx  2(m  1) y  2m   a) Chứng minh (Cm) đường trịn với m b) Viết phương trình (Cm) có bán kính nhỏ c) Chứng minh có hai đường tròn (Cm) tiếp xúc với đường thẳng x+y+5=0 Bài 11: Cho đường tròn (C) x  y  x  y   a) Tìm độ dài dây cung mà (C) chắn trục Ox b) Tìm độ dài tiếp tuyến vẽ từ A(-2;3) đến đường trịn (C) c) Tìm tâm bán kính đường tròn (C’): x  y  x  y  13  Chứng minh (C) (C’) tiếp xúc T Viết phương trình tiếp tuyến chung T Bài 12: Cho đường tròn (C) x  y  x  y   a) Điểm M(-1;1) hay ngồi đường trịn? Lập phương trình đường thẳng chứa dây cung qua M có độ dài ngắn b) Lập phương trình đường thẳng qua O cắt (C) theo dây cung có độ dài Bài 13: Lập phương trình đường tròn: a) Qua A(1;2) tiếp xúc với hai trục tọa độ b) Tiếp xúc với hai đường thẳng song song  : x  y   0,  ' : x  y   có tâm Oy c) Tiếp xúc với đường thẳng  : x  y   điểm T(2;1) có bán kính d) Tiếp xúc với hai đường thẳng x  y   0, x  y   qua gốc O Bài 14: Cho đường tròn (C) ( x  2)  ( y  1)  a) Tìm Oy điểm từ kẻ hai tiếp tuyến với (C) hai tiếp tuyến vng góc b) Tìm (C) điểm gần gốc O Bài 15: Cho hai đường tròn (C ) : x  y  x  y   0, (C ') : x  y  x  y   a) Chứng minh hai đường tròn tiếp xúc ngồi Tìm tọa độ tiếp điểm T b) Viết phương trình tiếp tuyến chung T Bài 16: Cho đường tròn ( x  3)  ( y  2)  điểm M(-3;1) ThuVienDeThi.com Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng a) Chứng minh M ngồi đường trịn b) Tính phương tích M đường trịn tính độ dài tiếp tuyến MT Bài 17: Cho hai đường tròn (C ) : x  y  x  y   0, (C ') : x  y  x  y   Chứng minh hai đường trịn có hai tiếp tuyến chung Bài 18: viết phương trình tiếp tuyến đường trịn (C ) : x  y  x  y   0, a) Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng 3x+y=0 b) Biết tiếp tuyến xuất phát từ điểm A(3;-2) c) Gọi tiếp điểm câu b) T1 , T2 Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác AT1T2 đường thẳng qua hai tiếp điểm T1 , T2 Bài 19: Cho hai đường tròn (C ) : x  y  x  y   0, (C ') : x  y  x  y  16  a) Chứng minh hai đường tròn cắt nhau; b) Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm hai đường trịn; c) Tìm phương trình tiếp tuyến chung chúng Bài 20: Biện luận theo m vị trí tương đối đường thẳng  đường tròn (C): a)  : x  y  m  0, (C ) : ( x  2)  y  10 b)  : x  my  m   0, (C ) : x  y  x  y   Ghi chú:  Nguyễn Mộng Hy:  Trần Thành Minh: 6-20 §3 PHƯƠNG TRÌNH ELIP A LÝ THUYẾT Định nghĩa Cho F1, F2 cố định với F1F2  2c (c > 0) M  ( E )  MF1  MF2  2a (a > c) F1, F2: tiêu điểm, F1F2  2c : tiêu cự Phương trình tắc elip x2  y2 1 (a  b  0, b2  a2  c2 ) a b  Toạ độ tiêu điểm: F1 (c; 0), F2 (c; 0)  Với M(x; y)  (E), MF1 , MF2 đgl bán kính qua tiêu điểm M MF1  a  c c x , MF2  a  x a a Hình dạng elip  (E) nhận trục toạ độ làm trục đối xứng gốc toạ độ làm tâm đối xứng  Toạ độ đỉnh: A1 (a; 0), A2 (a; 0), B1 (0; b), B2 (0; b)  Độ dài trục: trục lớn: A1 A2  2a , trục nhỏ: B1B2  2b  Tâm sai (E): e c (0 < e < 1) a ThuVienDeThi.com Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng  Hình chữ nhật sở: tạo đường thẳng x   a, y   b (ngoại tiếp elip) Đường chuẩn elip (chương trình nâng cao) a  Phương trình đường chuẩn i ứng với tiêu điểm Fi là: x   e MF1 MF2  e  Với M  (E) ta có: (e < 1) d ( M , 1 ) d ( M , 2 ) B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Xác định yếu tố elip Ví dụ 1: Xác định độ dài trục, tọa độ tiêu điểm, tọa độ đỉnh, tâm sai vẽ elip có phương trình: x2 y  1 a) ( E ) : x  25 y  225 b) Dạng 2: Lập phương trình tắc Elip Ví dụ 1: Lập phương trình tắc Elip (E) trường hợp sau: a) Độ dài trục lớn 10 tiêu cự b) Một tiêu điểm F2 (0; 2) điểm M (1; ) nằm elip Ví dụ 2: lập phương trình elip biết a) (E) có đỉnh (5;0) tiêu cự b) (E) có đỉnh (0;3) qua điểm M(4;1) ) c) (E) qua hai điểm M (1; ), N ( 2; 2 Dạng 3: Tìm điểm thuộc elip Cần nhớ: x2 y  M ( x0 ; y0 )  ( E )  02  02   MF1  MF2  2a a b c c  MF1  a  x M , MF2  a  x M a a x2 y Ví dụ 1: Cho elip (E):  1 a) Tìm (E) điểm M có hồnh độ b) Tìm tọa độ giao điểm (E) đường thẳng y  x  ฀ MF  90o c) Tìm (E) điểm M cho góc F d) Tìm (E) điểm M cho F1M  F2 M  Ví dụ 2: Cho elip ( E ) : x  y  có tiêu điểm F1 , F2 M điểm (E) a) Tìm (E) điểm M cho F1M  F2 M b) Chứng minh: F1M F2 M  OM  a  b 10 ThuVienDeThi.com Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Dạng 4: Tập hợp điểm elip Phương pháp: Để chứng minh tập hợp điểm M elip có hai cách  Chứng minh tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cố định F1 , F2 số  Chứng minh tỉ số khoảng cách từ M đến điểm cố định F đến đường thẳng cố định  số e1) c) Khoảng cách từ đỉnh trục lớn tới đỉnh nằm trục bé tiêu cự Bài 6: Cho đoạn AB có độ dài khơng đổi Điểm A(0;a) di động trục tung điểm B(b;0) di động trục hoành M điểm chia đoạn AB theo tỉ số -2 Tìm tọa độ M, suy M di động elip x2 Bài 7: Cho elip ( E ) :  y  Tìm : a) (E) điểm N có tung độ gấp đơi hồnh độ ฀ PF  90o b) (E) điểm P cho F c) Tọa độ đỉnh hình hình vng nội tiếp (E) biết hình vng có cạnh song song với Ox, Oy Bài 8: Cho elip (E) có độ dài trục lớn qua điểm M ( ; 2) a) Lập phương trình (E) b) Tính độ dài dây cung (E) vng góc với trục lớn tiêu điểm; Bài 3: Tìm elip  11 ThuVienDeThi.com Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng c) Tìm (E) điểm M cách tâm O khoảng 26 Bài 9: Lập phương trình (E) biết: a) Tiêu cự khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm 5; b) Độ dài trục nhỏ tiêu điểm có tọa độ (2;0) c) Một tiêu điểm F2 (5;0) khoảng cách hai đỉnh Bài 10: Lập phương trình (E) biết: a) Độ dài trục lớn qua điểm (2 2; 2) ; b) Qua hai điểm P(2 2; ), Q(2; ) 3 c) Có tiêu cự qua điểm (1; ) ฀ MF  90o d) Qua điểm M ( ; ) F 5 Bài 11: Cho (E) x  y  36 a) Xác định tiêu điểm, độ dài trục b) Một đường thẳng thay đổi d: y=x+m Định m để d cắt (E) hai điểm P, Q; c) Tìm tọa độ trung điểm I PQ Chứng tỏ I di động đoạn thẳng cố định d thay đổi; d) Gọi P’ Q’ đối xứng P, Q qua gốc O Tứ giác PQP’Q’ hình gì? Định m để hình thoi Bài 12: Cho hai elip ( E1 ) : x  y  16, ( E2 ) : x  y  36 Viết phương trình đường trịn qua giao điểm e lip Bài 13: Cho đường trịn tâm F1 (2;0) , bán kính điểm F2 (2;0) M tâm đường tròn di động qua F2 tiếp xúc với (F1) Chứng minh m thuộc elip (E) Viết phương trình (E) Bài 14: a) Viết phương trình (E) biết có tiêu điểm F(-2;0) khoảng cách từ F đến đỉnh trục nhỏ b) Hai đường thẳng d: mx-y=0 d’:x+my=0 cắt (E) M, P N, Q Tứ giác MPNQ hình gì? Tính diện tích theo m c) Định m để MNPQ hình vng Bài 15: Cho elip ( E ) : x  y  45 có tiêu điểm F1 , F2 M điểm (E) a) Chứng minh: chu vi tam giác F1MF2 khơng đổi Tìm M để diện tích tam giác F1MF2 1 b) Tìm M cho T  F1M  F2 M  lớn  F1M F2 M Bài 16: Cho đường trịn tâm O, bán kính AB đường kính trục Ox Gọi M, N hai điểm di động tiếp tuyến đường tròn A B, có tung độ m,n ln thỏa mãn điều kiện mn=4 a) Chứng minh MN tiếp tuyến đường tròn (O); b) AN BM cắt I Chứng minh I di động elip c) Gọi H, K trung điểm AM BN Chứng minh đường tròn đường kính HK qua hai tiêu điểm E Bài 17: Cho điểm M di động ( E ) : x  16 y  144 H K hình chiếu M hai trục Tìm M để diện tích tứ giác OHMK lớn Bài 18: Cho M, N hai điểm Elip ( E ) : x  y  36 không trùng với đỉnh Gọi I trung điểm MN 12 ThuVienDeThi.com Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng a) Chứng minh rằng: tích hệ số góc đường MN đường OI có giá trị khơng đổi b) Viết phương trình đường MN biết I có tọa độ (1;1) Ghi chú:  Nguyễn Mộng Hy:  Trần Thành Minh: 6§4 PHƯƠNG TRÌNH HYPEBOL A LÝ THUYẾT Định nghĩa Cho F1, F2 cố định với F1F2  2c (c > 0) M  ( H )  MF1  MF2  2a (a < c) F1, F2: tiêu điểm, F1F2  2c : tiêu cự Phương trình tắc hypebol x2  y2 1 (a, b  0, b2  c2  a2 ) a b  Toạ độ tiêu điểm: F1 (c; 0), F2 (c; 0)  Với M(x; y)  (H), MF1 , MF2 đgl bán kính qua tiêu điểm M MF1  a  c c x , MF2  a  x a a Hình dạng hypebol  (H) nhận trục toạ độ làm trục đối xứng gốc toạ độ làm tâm đối xứng  Toạ độ đỉnh: A1 (a; 0), A2 (a; 0)  Độ dài trục: trục thực: 2a, trục ảo: 2b  Hypebol gồm hai nhánh: nhánh trái gồm điểm có x  a , nhánh phải gồm điểm có x  a c  Tâm sai (H): (e > 1) e a  Hình chữ nhật sở: tạo đường thẳng x   a, y   b  Phương trình đường tiệm cận: Đường chuẩn hypebol b y   x a  Phương trình đường chuẩn i ứng với tiêu điểm Fi là: x   Với M  (H) ta có: MF1 MF2  e d ( M , 1 ) d ( M , 2 ) (e > 1) B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Xác định yếu tố hypebol 13 ThuVienDeThi.com a 0 e Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Ví dụ 1: Tìm độ dài trục, tọa độ tiêu điểm, tọa độ đỉnh, phương trình tiệm cận vẽ Hypebol có phương trình sau: x2 y a) x  16 y  144 b)  1 Dạng2: Lập phương trình tắc hypebol Ví dụ 1: Lập phương trình tắc Hypebol (H) cho biết tiêu cự 20 tiệm cận có phương trình 4x-3y=0 Ví dụ 2: Lập phương trình tắc hypebol biết: a) (H) có độ dài trục thực 6, tiêu điểm (4;0) b) (H) có đỉnh (5;0), tiệm cận y=2x c) (H) có tiệm cận y   x qua điểm M (4; 2) d) (H) qua hai điểm M (1; 3), N ( 2; 2) e) (H) có tiêu điểm F2 (3;0) qua điểm (3; ) Dạng 3: Tìm điểm thuộc hypebol Cần nhớ: x2 y  M ( x0 ; y0 )  ( H )  02  02   MF1  MF2  2a a b c c  MF1  a  x M , MF2  a  x M a a x2 y  1 a) Tìm (H) điểm M có tung độ ฀ MF  90o b) Tìm (H) điểm M cho góc F c) Tìm (H) điểm M cho F1M  F2 M Ví dụ 1: Cho hypebol ( H ) : Dạng 4: Tập hợp điểm hypebol Phương pháp: Để chứng minh tập hợp (H) điểm M Hypebol ta có hai cách:  Cách 1:  Tìm hai điểm cố định F1, F2  Chứng minh MF1  MF2  2a (2a  F1 F2 ) Khi M di động hypebol có hai tiêu điểm F1 , F2 có trục thực 2a  Cách 2: o Tìm điểm cố định F đường thẳng  cố định ( F  ) MF o Chứng minh  e  Khi M di động hypebol (H) có tiêu điểm F, đường d ( M , ) chuẩn  tâm sai e Ví dụ 1: Cho điểm A cố định đường thẳng  cố định không qua A M điểm di động cho với m dương, đường trịn C(M;m) ln tiếp xúc với  đường trịn C’(M;2m) ln qua A Hãy chứng tỏ M di động hypebol 14 ThuVienDeThi.com Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hai đường trịn ngồi Tìm quỹ tích tâm đường trịn tiếp xúc với hai đường trịn Bài 2: Lập phương trình tắc hypebol biết: a) Nửa trục thực 4, tiêu cự 10 b) Tiêu cự 13 , tiệm cận y  x c) Tâm sai e  hypebol qua điểm ( 10;6) Bài 3: Trong hệ tọa độ Oxy cho A1 (a;0), A2 (a;0) Gọi (C) đường tròn thay đổi qua A1 , A2 ; MM’ đường kính (C) ln song song với Ox Tìm quỹ tích điểm M M’ Bài 4: Tìm quỹ tích tâm đường trịn chắn hai trục Ox, Oy hai đoạn thẳng có độ dài 2a 2b Bài 5: Chứng minh tích khoảng cách từ điểm tùy ý hypebol đến hai đường tiệm cận số không đổi x2 y Bài 6: Cho Hypebol ( H ) :   có tiêu điểm F1 , F2 , điểm M thuộc (H) Chứng minh: tích khoảng a b cách từ M đến hai tiệm cận có giá trị khơng đổi x2 y  Một đường d có phương trình y=x+m cắt (H) M,N hai Bài 7: Cho Hypebol ( H ) :  tiệm cận P,Q Chứng minh: MP=NQ Bài 8: xác định độ dài trục, tọa độ đỉnh, tiêu điểm, tiệm cận vẽ hypebol sau; x2 y a) b) x  y  36  1 y2 Bài 9: Cho hypebol (H): x   Tìm (H): a) Điểm M có hồnh độ b) Điểm N cách hai trục tọa độ ฀ PF  90o c) Điểm P cho F d) Tọa độ đỉnh hình chữ nhật sở (H) biết hình chữ nhật có cạnh song song với trục tọa độ có diện tích e) Tìm điểm Q cho F2Q  F1Q Bài 10: Cho hypebol (H) có độ dài trục thực qua điểm M ( 5; 2) a) Lập phương trình (H) b) Tính độ dài dây cung (H) vng góc với trục thực tiêu điểm; c) Tìm giao điểm (H) với đường trịn đường kính F1 F2 với F1 , F2 tiêu điểm (H) Bài 11: Lập phương trình tắc hypebol (H) biết: a) Tiêu cự có độ dài khoảng cách từ đỉnh trục thực đến tiêu điểm 1; b) Độ dài trục ảo tiêu điểm (3;0) c) Một tiêu điểm F2 (5;0) tiệm cận y=2x; d) Một tiệm cận y  x qua điểm (3; 15) e) Một tiêu điểm (2;0) qua điểm (3; 2) Bài 12: Lập phương trình tắc hypebol (H) biết ฀ MF  90o a) (H) qua điểm ( 3;1) góc F 15 ThuVienDeThi.com Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng b) Một tiêu điểm có tọa độ (2;0) khoảng cách từ đến tiệm cận 1; c) Một tiêu điểm có tọa độ (3;0) dây cung qua tiêu điểm vng góc với Ox có độ dài 5; d) Một tiệm cận có hệ số góc khoảng cách từ tiêu điểm đến tiệm cận Bài 13: Cho đường trịn tâm I(-6;0) có bán kính điểm J(6;0) (M) đường trịn di động qua J tiếp xúc với (I) Chứng minh tập hợp tâm đường tròn (M) hypebol Viết phương trình hypebol Bài 14: Cho Hypebol ( H ) : x  y  36 a) Xác định tiêu điểm, độ dài trục tiệm cận b) M điểm tùy ý (H) Chứng minh: ( F1M  F2 M )  4OM số c) Cho đường thẳng d thay đổi x+y+m=0 Chứng minh: d cắt (H) hai điểm phân biệt P,Q Tính PQ theo m Bài 15: Cho Hypebol ( H ) có đỉnh có tọa độ (1;0) tiêu điểm ( 5;0) a) Viết phương trình (H) b) Định m để hai đường d: mx-y=0 d’: x+my=0 cắt (H) c) Gọi M, P N,Q giao điểm d d’ với (H) Tứ giác MNPQ hình gì? Tính diện tích m  Bài 16: Cho hypebol (H): x  y  20 đường thẳng d: 2x-y+m=0 a) Định m để d cắt (H) hai điểm M, N phân biệt b) Tìm tập hợp trung điểm MN; c) Gọi P, Q đối xứng M, N qua O Định m để tứ giác MNPQ hình thoi Bài 17: Cho Hypebol ( H ) : x  y  12 a) Tìm tọa độ đỉnh, tiêu điểm, đường tiệm cận (H) ฀ MF  1200 b) Tìm (H) điểm M cho F 1  c) Tìm M thuộc (H) cho T  F1M  F2 M  lớn F2 M F1M d) Cho điểm M thuộc (H), tính tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận Bài 17: Cho elip (E) hypebol (H) biết chúng có tiêu điểm F(2;0), tiệm cận (H) chứa đường chéo hình chữ nhật sở (E) hợp với Ox góc 30o a) Viết phương trình tắc (H) (E) b) Viết phương trình đường trịn qua giao điểm (H) (E) Bài 18: Cho hai điểm A1 (2;0), A2 (2;0) Gọi (I) đường tròn di động qua A1, A2 MM’ đường kính (I) phương với Ox Chứng minh tập hợp điểm M, M’ hypebol Bài 19: Cho đường tròn tâm O, bán kính Gọi A A’ hai điểm đường trịn có hồnh độ -1 Đường thẳng di động x=m ( m khác 0, -1;1) cắt đường trịn M, M’ (M có tung độ dương) a) Tìm tọa độ M M’; b) Viết phương trình đường thẳng AM A’M’ Chứng minh giao điểm AM, A’M’ di động hypebol cố định Ghi chú:  Nguyễn Mộng Hy:  Trần Thành Minh: 6-19 §5 PHƯƠNG TRÌNH PARABOL 16 ThuVienDeThi.com Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng A LÝ THUYẾT Định nghĩa: Cho điểm F đường thẳng  không chứa F ( P)  M / MF  d ( M , )}  F gọi tiêu điểm,  đường chuẩn (P)  p  d ( F , ) : tham số tiêu p p Phương trình tắc parabol: Với F ( ;0),  : x   ( p  0) 2 M ( x; y )  ( P)  y  px Hình dạng parabol:  O đỉnh parabol  (P) có trục đối xứng Ox  Dây cung vng góc với trục đối xứng F có độ dài 2p Tính chất thường dùng để vẽ (P) p  MF  MK   xM B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Xác định yếu tố parabol Ví dụ 1: Tìm tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn parabol a) y  x b) y  x  Dạng2: Lập phương trình tắc parabol Ví dụ 1: Lập phương trình tắc parabol (P) trường hợp sau: a) (P) có tiêu điểm F ( 3;0) b) (P) có đường chuẩn x=-3 Ví dụ 2: Lập phương trình tắc parabol (P) biết: a) Tiêu điểm F(5;0) b) (P) qua điểm (2;-4) c) (P) qua điểm M có hồnh độ cách tiêu điểm F khoảng Ví dụ 3: Cho điểm F(4;0) Gọi (M) đường tròn tâm M di động tiếp xúc với trục tung qua F Chứng minh tập hợp điểm M parabol viết phương trình Dạng 3: Tìm điểm thuộc parabol Ví dụ 1: Cho parabol (P): y  x a) Tìm (P) điểm M cách F khoảng 4; b) Tìm (P) điểm M khác O cho khoảng cách từ M đến Oy gấp hai lần khoảng cách từ M đến Ox Dạng 4: Tập hợp điểm parabol Phương pháp: Để chứng minh tập hợp (P) điểm M parabol ta chứng minh M cách điểm cố định F đường thẳng  cố định không qua F Khi M di động parabol (P) Khi M di động parabol (P) có tiêu điểm F đường chuẩn  ( P)  {M / MF  d ( M , )} 17 ThuVienDeThi.com Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Ví dụ 1: Cho điểm A cố định đường thẳng d cố định không qua A Xét đường trịn (C) thay đổi có tâm M, biết (C) qua A (C) tiếp xúc với d Hãy chứng tỏ m di động parabol C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho đường tròn (O) tiếp xúc với đường thẳng d Tìm quỹ tích tâm đường trịn tiếp xúc với đường tròn (O) tiếp xúc với đường thẳng d hai điểm phân biệt Bài 2: Viết phương trình parabol biết: a) Ox trục đối xứng tiêu điểm F(4;0) b) Ox trục đối xứng tiêu điểm F(-2;0) Bài 3: Vẽ parabol x  8 y Bài 4: Cho parabol (P) có phương trình y  x a) Tìm độ dài bán kính qua tiêu điểm ứng với điểm M(x;y) thuộc (P) b) Tìm điểm nằm (P) cách tiêu điểm khoảng Bài 5: Lập phương trình đường thẳng chứa dây parabol y  x nhận điểm I(3;1) làm trung điểm Bài 6: Cho parabol (P): y  x a) Xác định đường chuẩn tiêu điểm (P) b) Cho đường thẳng  : x  y   Tính khoảng cách ngắn  (P) Viết tiếp tuyến với (P) A(2;2) Bài 7: Cho (P): y  x đường thẳng d qua tiêu điểm F có hệ số góc (k  0) k a) Viết phương trình đường thẳng d viết phương trình tung độ giao điểm d (P) Chứng minh d cắt (P) hai điểm M, N tích khoảng cách từ M N đến trục đối xứng parabol có giá trị khơng đổi b) Định k để MN=20 c) Gọi H K hình chiếu M, N lên đường chuẩn  Chứng minh đường trịn đường kính MN ln tiếp xúc với đường chuẩn Bài 8: Cho parabol (P) y  x a) Tìm độ dài dây cung AB parabol biết hoành độ A B 1; b) Tìm (P) điểm cách tiêu điểm F khoảng 5; c) Tìm m để đường thẳng d : x  y  m  có với (P) điểm chung Bài 9: Cho Parabol ( P) : y  x a) Tìm (P) điểm cách d: 3x-4y+10=0 khoảng ngắn b) Cho A B hai điểm (P) có tung độ -2 M điểm cung AB có tung độ y với 2  y  Tính diện tích tam giác MAB theo y Tìm y để diện tích tam giác MAB nhỏ c) Tìm m cho đường y=x+m cắt (P) hai điểm M, N FM=2FN Bài 10: Lập phương trình tắc parabol: a) Qua điểm có tung độ cách tiêu điểm khoảng b) Qua hai điểm M, N có tung độ -1;3 M, N, F thẳng hàng; c) Qua điểm M có tung độ cách đường chuẩn khoảng 2 Bài 11: Cho Parabol ( P) : y  px AB dây cung di động (P) a) Biết đường thẳng AB có hệ số góc không đổi k khác Chứng minh: trung điểm I AB di động đường thẳng cố định b) Viết phương trình đường AB biết trung điểm đoạn AB có tọa độ (2;4) 18 ThuVienDeThi.com Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Bài 12: Cho đường tròn (C ) : x  y  x  đường tròn (M) di động tâm M ln tiếp xúc ngồi với (C) trục Oy hai điểm phân biệt Chứng minh M di động parabol cố định viết phương trình Bài 13: Cho đường trịn (O) : x  y  M điểm tùy ý (O) có hình chiếu lên Ox H Gọi A điểm (O) có tung độ -2 a) Gọi (x0;y0) tọa độ M, viết phương trình OM AH; b) Suy giao điểm I OM AH di động parabol Bài 14: Cho Parabol ( P) : y  x Một đường d qua tiêu điểm F có hệ số góc k khác cắt (P) M,N a) Cm tích khoảng cách từ M, N đến trục Ox có giá trị khơng đổi b) Tìm k cho FM=4FN c) Chứng minh góc MON tù Bài 15: Cho Parabol ( P) : y  x a) Xác định tiêu điểm F đường chuẩn  (P) b) Một đường thẳng quay quanh tiêu điểm F có hệ số góc k khác cắt (P) M, N Chứng minh: tích khoảng cách từ M,N đến trục tung có giá trị không đổi c) Gọi H, K hình chiếu M, N đường chuẩn Tính diện tích hình thang MNKH theo k Bài 16: Cho Parabol ( P) : y  x a) Tìm tiêu điểm F đường chuẩn; b) Một đường thẳng qua F có hệ số góc m cắt (P) M, N Tìm tọa độ trung điểm I MN Suy I di động parabol cố định Bài 17: Cho Parabol ( P) : y  x Hai đường thẳng qua O vng góc với có hệ số góc k,  (k  0) cắt P M,N k a) Tìm tọa độ điểm M, N b) Chứng minh M, N qua điểm cố định c) Chứng minh trung điểm đoạn MN thuộc parabol cố định Bài 18: Cho Parabol ( P) : y  x đường thẳng d di động có phương trình y=m m  a) Xác định tiêu điểm F đường chuẩn  b) d cắt đường chuẩn  , Oy, (P) K,H,M Tìm tọa độ điểm c) Gọi I trung điểm OH Viết phương trình IM chứng tỏ đường thẳng IM cắt (P) điểm d) Chứng minh MI  KF Suy MI phân giác góc KMF Bài 19: Trong mp(Oxy), cho A(1;1), A’(1;-1) Gọi M điểm di động Oy có tung độ m a) Viết phương trình hai đường cao tam giác MAA’; b) Chứng minh trực tâm H tam giác MAA’ thuộc parabol cố định Ghi chú:  Nguyễn Mộng Hy:  Trần Thành Minh: 7- 19 ThuVienDeThi.com ... hypebol 13 ThuVienDeThi.com a 0 e Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Ví dụ 1: Tìm độ dài trục, tọa độ tiêu điểm, tọa độ đỉnh, phương trình tiệm cận vẽ Hypebol có phương trình sau: x2 y a) x ... M b) Chứng minh: F1M F2 M  OM  a  b 10 ThuVienDeThi.com Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Dạng 4: Tập hợp điểm elip Phương pháp: Để chứng minh tập hợp điểm M elip có hai cách  Chứng... có độ dài trục lớn qua điểm M ( ; 2) a) Lập phương trình (E) b) Tính độ dài dây cung (E) vng góc với trục lớn tiêu điểm; Bài 3: Tìm elip  11 ThuVienDeThi.com Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt