CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ÔN THI VÀO LỚP 10 I Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho a, b,c số không âm chứng minh (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Giải: Cách 1: Dùng bất đẳng thức phụ: x y 2 xy Ta có a b 2 4ab ; b c 2 4bc ; c a 2 4ac a b b c c a 64a b c 8abc 2 2 (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Dấu “=” xảy a = b = c Ví dụ 2: 1 (403-1001) a b c 2) Cho x, y, z > x + y + z = CMR:x + 2y + z 4(1 x)(1 y )(1 z ) 1) Cho a, b, c > a + b + c = CMR: 3) Cho a > 0, b > 0, c > CMR: a b c bc ca ab 4) Cho x ,y thỏa mãn x y ;CMR: x+y Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 a b c Chứng minh a3 b3 c3 bc ac ab Giải: a2 b2 c2 Do a, b, c đối xứng,giả sử a b c a b c b c a c a b Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có a2 a b c a2 b2 c2 a b c b2 c2 = = bc ac ab bc a c a b 2 a3 b3 c3 Vậy Dấu xảy a=b=c= bc ac ab Ví dụ 4: Cho a, b, c, d > abcd = 1.Chứng minh : a b c d ab c bc d d c a 10 Giải: Ta có a b 2ab 2 c d 2cd Do abcd =1 nên cd = 1 (dùng x ) ab x Ta có a b c 2(ab cd ) 2(ab Mặt khác: ab c bc d d c a =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) ) (1) ab ThuVienDeThi.com = ab 1 ac bc ab ac bc Vậy a b c d ab c bc d d c a 10 Ví dụ 5: Cho số a, b, c, d chứng minh rằng: (a c) (b d ) a b c d Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski tacó ac+bd a b c d mà a c 2 b d 2 a b 2ac bd c d a2 b2 a2 b2 c2 d c2 d (a c) (b d ) a b c d II Một số tập thường gặp đề thi vào lớp 10 Bài 1: Cho số thực dương a, b, c CMR: a2 b2 c2 abc + + bc ac ba Bài giải: a bc + a (áp dụng bất đẳng thức Cô si) bc b2 ac c2 ab Tương tự ta có: + b; + c ac ba a2 b2 c2 abc + + + a+b+c bc ac ba a2 b2 c2 abc + + (đpcm) bc ac ba a2 b2 c2 abc Vậy + + bc ac ba 1 Bài 2: Cho x, y > 0; thoả x + y = Tìm Min A = + Bài giải: x y xy Với a, b, c > ta có: ab 1 (a, b > 0) ab ab a b ab (x y)2 Mặt khác: x + y xy => xy = (áp dụng bất đẳng thức Cô si) 4 1 1 1 4 A= + + + = + 4 + =4+2=6 2 2xy x y 2xy 2xy (x y) x y 2xy 2xy Vậy MinA = x = y = Ap dụng bất đẳng thức (a + b)2 4ab => Bài Cho a, b, c : abc 1 1 CMR : 2 a 2b b 2c c 2a Hướng dẫn Ta có: a b 2ab; b 2b a 2b ab b 1 ThuVienDeThi.com 1 a 2b ab b 1 Tương tự 1 1 1 2 2 a 2b b 2c c 2a ab b bc c ca a Mặt khác: 1 1 ab b 1 ab b bc c ca a ab b ab c abc ab bca ab b 1 1 => a b c 1 a 2b b 2c c 2a Bài 4: Cho ba số x,y,z dương xyz = CMR : => �3 + �3 + �3 + �3 + �3 + � + + + ≥3 �� �� �� Bài giải Ta có x3 y 3 x3 y 3xy z y 3 z y zy x3 z 3 x3 z xz Nên vế trái = xy zy xz 1 3 33 xy xy zy xz zy xz Vì xyz = Dấu “ = “ x = y = z Bài 5: Cho số dương a, b, c chứng minh rằng: a3 b3 c3 a b c b3 c3 a3 b c a Vận dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: a3 b3 b3 c3 c3 a3 b3 b3 c3 c3 1 a (1) b 1 b (2) c Giải c (3) 3 a a a Cộng vế theo vế (1) (2) (3) ta có: 1 a3 b3 c3 a b c a b c 2( ) ) 2( b c a b c a b c a a b c 2( ) b c a a3 b3 c3 a b c Vậy: b3 c3 a3 b c a ThuVienDeThi.com 3 xy zy xz Bài (1đ) (Đắc Lắc 12 – 13) Cho hai số dương x, y thõa mãn: x + 2y = Chứng minh rằng: 3 x y HD: Áp dụng 1/x + 1/y + 1/z 9/(x + y + z) Bài 7: (Hải Dương 12 – 13) 1 Tìm giá trị lớn biểu thức a b Cho số dương a, b thỏa mãn Q 1 2 a b 2ab b a 2ba Hướng dẫn Với a 0; b ta có: (a b)2 a 2a 2b b a b 2a 2b a b 2ab 2a 2b 2ab Tương tự có 1 (1) a b 2ab 2ab a b 1 b a 2a b 2ab a b (2) Từ (1) (2) Q ab a b 1 1 a b 2ab mà a b ab ab Q a b 2(ab) 1 Khi a = b = Q Vậy giá trị lớn biểu thức 2 Vì Bài 8: (Hà Nội 12 – 13) Với x, y số dương thỏa mãn điều kiện x 2y , tìm giá trị nhỏ biểu thức: M x y2 xy Hướng dẫn Ta có M = x2 y x2 y x y x y 3x ( ) xy xy xy y x 4y x 4y Vì x, y > 0, áp dụng bdt Co si cho số dương x y x y x y ; ta có 2 1, 4y x 4y x 4y x dấu “=” xảy x = 2y x y x y Từ ta có M ≥ + = , dấu “=” xảy x = 2y 2 Vậy GTNN M , đạt x = 2y Vì x ≥ 2y , dấu “=” xảy x = 2y Bài 9: Hướng dẫn: ThuVienDeThi.com Bài 10 (Hà Nam: 12 – 13) Cho ba số thực a, b, c thoả mãn a 1; b 4;c Tìm giá trị lớn biểu thức: P Hướng dẫn: bc a ca b ab c abc Bài 11: (Hưng Yên 12 – 13) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1 1 xy xz 1 11 1 4 HD xy xz x y z x y z x 4 x Chứng minh Bài 12: (Thanh Hóa 12 – 13) Cho hai số thực a; b thay đổi, thoả mãn điều kiện a + b a > 8a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = b2 4a Hướng dẫn ThuVienDeThi.com a = b = 0,5 Bài 13: (Quảng Ngãi 12 – 13) Cho x 0, y thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Hướng dẫn: Với x 0, y ta có x2 y 2 xy xy xy 2 xy xy 2 xy 2 2 Do A xy xy 3 Dấu “=” xảy x y x 0, y Từ x y x y 2 x y Vậy A 2 x y Bài 14: (Quảng nam 12 – 13) Cho a, b ≥ a + b ≤ Chứng minh : Hướng dẫn: a 2b a 2b Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: Ta có: a 2b 1 2 = (1) (bđt Côsi) a 2b a b 1 (a 1)(b ) 2 ThuVienDeThi.com 2 xy xy a 1 b (bđt Cô si) (a 1)(b ) 2 (2) (a 1)(b ) 2 Từ (1) (2) suy ra: a 2b Dấu “=” xảy : a + = b + a + b = a = b = 4 Bài 15: Chuyên lam Sơn Thanh Hóa 11 – 12 (Vòng 01) Cho a, b, c ba số thực dương t/m a + b + c = Tìm Max P biết P ab ab 2c bc bc 2a ca ac 2b Hướng dẫn * Vì a + b+ c = 2c+ab = c(a+b+c)+ab= ca+cb+c2+ ab = (ca+ c2)+(bc + ab) = c(a+c) + b(a+c)=(c+a)(c+b) 2c+ab = (c+a)(c+b) 1 1 áp dụng cosi ta có ac bc ac bc 1 dấu (=) a + c = b + c a = b (a c)(b c) ac bc 1 1 hay ( ) (c a )(c b) c a c b a ; b ; c > nên ab 2c ab ab ab ab (1) dấu a = b c a (c b) c a c b bc cb bc (2) dấu b = c bc 2a a b a c ac ca ca (3) dấu a = c 2b ca c b b a Tương tự: cộng vế với vế (1) ; (2) ; (3) ta có ab ab cb cb ac ac ab bc ca ( + + ) ab 2c bc 2a ca 2b c a c b b a c a b a c b ab cb ab ac cb ac P ( )( )( ca ca bc cb a b a b (a c).b a.(b c) c.(b a ) 1 = a b c ca bc ab 2 ab bc ca P= ≤ dấu a = b = c = ab 2c bc 2a ca 2b Vậy P = a = b = c = : P= Bài 16: (Vĩnh Phúc 11 – 12) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = ab bc ca c ab a bc b ca Hướng dẫn: Từ a + b + c = => ac + bc + c2 = c (Do c > 0) ThuVienDeThi.com Vì vậy: c + ab = ac + ab + bc + c2 = (b+c)(c+a) a b ab ab Do a c b c (Cô – si) (b c)(c a) c ab b c c a bc ca Tương tự: bc ca ; ca ab 2 a bc b ca ac bc ab a c b c ab Vậy P 2 Do đó: MinP = 3/2, xảy a = b= c = 1/2 Bài 17: (Hà Nội 11 – 12) Với x > 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức: M 4x 3x Hướng dẫn 2011 4x 1 2011 x x x 2010 4x 4x (2 x 1) ( x ) 2010 4x 1 Vì (2 x 1)2 x > , Áp dụng bdt Cosi cho số dương ta có: x + 4x 4x 1 x 4x M = (2 x 1)2 ( x ) 2010 + + 2010 = 2011 4x x x 2 x 1 M 2011 ; Dấu “=” xảy x x= x x 4x 2 x x x x Vậy Mmin = 2011 đạt x = M x 3x Bài 18 (Hải Dương 11 – 12) Cho x, y, z ba số dương thoả mãn x + y + z =3 Chứng minh rằng: x y z x x yz y y zx z z xy Hướng dẫn Từ x yz x yz 2x yz (*) Dấu “=” x2 = yz Ta có: 3x + yz = (x + y + z)x + yz = x2 + yz + x(y + z) x(y z) 2x yz Suy 3x yz x(y z) 2x yz x ( y z ) (Áp dụng (*)) ThuVienDeThi.com x 3x yz x ( x y z ) x x 3x yz x (1) x y z y z z y (2), (3) z 3z xy x y z y 3y zx x y z x y z 1 Từ (1), (2), (3) ta có x 3x yz y 3y zx z 3z xy Tương tự ta có: Dấu “=” xảy x = y = z = Bài 19: Cho số a, b, c lớn 25 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a b c b 5 c 5 a 5 25 Do a, b, c > (*) nên suy ra: a , b , c Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho số dương, ta có: Q a b a (1) b 5 b c b (2) c 5 c a c (3) a 5 Cộng vế theo vế (1),(2) (3), ta có: Q 5.3 15 Dấu “=” xẩy a b c 25 (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy Min Q = 15 a b c 25 ThuVienDeThi.com ... b ≤ Chứng minh : Hướng dẫn: a 2b a 2b Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: Ta có: a 2b 1 2 = (1) (bđt Côsi) a 2b a b 1 (a 1)(b ) 2 ThuVienDeThi.com... c d II Một số tập thường gặp đề thi vào lớp 10 Bài 1: Cho số thực dương a, b, c CMR: a2 b2 c2 abc + + bc ac ba Bài giải: a bc + a (áp dụng bất đẳng thức Cô si) bc b2 ac c2 ab Tương... y xy => xy = (áp dụng bất đẳng thức Cô si) 4 1 1 1 4 A= + + + = + 4 + =4+2=6 2 2xy x y 2xy 2xy (x y) x y 2xy 2xy Vậy MinA = x = y = Ap dụng bất đẳng thức (a + b)2 4ab => Bài