Đề thi học sinh giỏi Năm học 2011 – 2012 môn Toán lớp 634971

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - NĂM HỌC 2011 – 2012 MƠN TỐN - LỚP Thời gian làm 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Bài (4.0 điểm) : Tính giá trị biểu thức a/ A     11   2012   b/ B  1   1   1   1   1   2011 2012        Bài (4.0 điểm) : a/ Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 1 1      2 (2n) 2n  3n  4n    Bài (3.0 điểm ) : Cho biểu thức : A  n3 n3 n3 b/ Chứng minh : a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên b/ Tìm n để A phân số tối giản Bài (3.0 điểm) : Tìm số nguyên tố ab ( a > b > ), cho ab  ba số phương Bài (4.0 điểm) : Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA OB a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA góc ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC góc (a + 10)o với tia OB góc (a + 20)o Tính ao b/ Tính góc xOy, biết góc AOx 22o góc BOy 48o c/ Gọi OE tia đối tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD góc AOC ao Bài (3.0 điểm) : Cho A  102012  102011  102010  102009  a/ Chứng minh A chia hết cho 24 b/ Chứng minh A khơng phải số phương Hết ThuVienDeThi.com GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN : HUYỆN HOẰNG HOÁ NĂM 2011-2012 CÂU NỘI DUNG ĐIỂM a/ A     11   2012 2.0 A  (2  2012) (2012  2) :  :  675697   1 1   b/ B  1   1   1   1   1   2011 2012  Câu         2012         2011 B                 2   3   4   2011 2011   2012 2012  2010 2011 B  2011 2012 B 2012 2.0 a/ Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 =>(3y – 1)(2x + 1) = -55 => x   55 (1) 3y  Để x nguyên 3y –  Ư(-55) = 1;5;11;55; 1; 5; 11; 55 +) 3y – = => 3y = => y = 1, thay vào (1) => x = 28 (Loại) 13 +) 3y – = 11 => 3y = 13 => y = (Loại) +) 3y – = => 3y = => y = 2.0 +) 3y – = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1 +) 3y – = - => 3y = => y = (Loại) +) 3y – = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = +) 3y – = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = 53 Câu +) 3y – = -55 => 3y = -53 => y = (Loại) Vậy ta có cặp số x, y nguyên thoả mãn (x ; y ) = (28 ; 1) , (-1 ; 19) , (5 ; -1), (2 ; -3) b/ Chứng minh : 1 1      2n Ta có 1 1     (2n) 1 1 A     2 (2.2) (2.3) (2.4) (2.n) 1 1 1  1 1 1  A              42 n   1.2 2.3 3.4 (n  1)n  A 1 1 1 1 1 A            1 2 3 (n  1) n  1 1 A  1    (ĐPCM) 4 n ThuVienDeThi.com 2.0 Cho biểu thức : A  2n  3n  4n    n3 n3 n3 a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên Ta có : 2n  3n  4n  (2n  1)  (3n  5)  (4n  5) 2n   3n   4n  n       n3 n3 n3 n3 n3 n3 n 3 4 (2) A  1 n3 n3 A nguyên n – Ư(4) = 1; 2; 4; 1; 2; 4=> n  4;5;7; 2;1; 1 A Câu 1.0 b/ Tìm n để A phân số tối giản n 1 (Theo câu a) n3 Xét n = ta có phân số A = phân số tối giản 3 Ta có : A  Xét n  ; Gọi d ước chung (n + 1) (n – 3) => (n + 1)  d (n – 3)  d => (n + 1) - (n – 3) chia hết cho d => chia hết cho d => d = 1 ; 2; 4 => d lớn => A phân số tối giản Kết luận : Với n = A phân số tối giản Tìm số nguyên tố ab ( a > b > ), cho ab  ba số phương Ta có : ab  ba  (10a  b)  (10b  a)  10a  b  10b  a  9a  9b  9(a  b)  32 (a  b) Vì => a,b  1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 =>  a- b  Để ab  ba số phương a – b = 1; Câu +) a – b = (mà a > b) ta có số ab : 98 ; 87 ; 76; 65; 54 ; 43; 32; 21 Vì ab số nguyên tố nên có số 43 thoả mãn +) a – b = (mà a > b) ta có số ab : 95 ; 84 ; 73; 62; 51 Vì ab số ngun tố nên có số 73 thoả mãn Kết luận : Vậy có hai số thoả mãn điều kiện toán 43 73 Hình vẽ D C 1.0 3.0 y (a+20)o (a+10)o x 22o Câu ao 48o A O B E Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA OB a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA góc ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC góc (a + 10)o với tia OB góc (a + 20)o.Tính ao ThuVienDeThi.com 2.0 Do OC, OD nằm nửa mặt phẳng bờ AB ฀ ฀ (a  10  a ) Nên tia OC nằm hai tia OA v OD COD  COA ฀ ฀  DOB  ฀AOB => ฀AOC  COD => ao + (a + 10)o + (a + 20)o = 180o => 3.ao + 30o = 180o => ao = 50o b/ Tính góc xOy, biết góc AOx 22o góc BOy 48o Tia Oy nằm hai tia OA v OB ฀ Ta có : ฀AOy  180o  BOy  180o  48o  132o  ฀AOx  22o Nên tia Ox nằm hai tia OA Oy ฀  ฀AOy  22o  xOy ฀  132o  xOy ฀  132o  22o  110o => ฀AOx  xOy c/ Gọi OE tia đối tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD góc AOC ao V ì tia OC nằm hai tia OA OD nên o ฀AOC  COD ฀  ฀AOD  ฀AOD  a o  a  10   2a o  10o  2.50o  10o  110o ฀ Vì AOx  ฀AOD(22o  110o ) nên tia Ox nằm hai tia OA OD ฀ ฀ ฀ ฀ => AOx  xOD  ฀AOD  22o  xOD  110o  xOD  110o  22o  88o Vậy số đo góc kề bù với góc xOD có số đo : 180o – 88o = 92o Cho A  102012  102011  102010  102009  a/ Chứng minh A chia hết cho 24 Ta có :    1.0 1.0  A  103 102009  102008  102007  102006   8.125 102009  102008  102007  102006    A  125 102009  102008  102007  102006  1 8 (1) Ta lại có số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có tổng tổng chữ số 1, nên số 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 chia cho có số dư chia cho dư Câu Vậy A chia cho có số dư dư phép chia (1 + + + + 2) chia cho Hay dư phép chia chia cho (có số dư 0) Vậy A chia hết cho Vì hai số nguyên tố nên A chia hết cho 8.3 = 24 b/ Chứng minh A số phương Ta có số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có chữ số tận Nên A  102012  102011  102010  102009  có chữ số tận Vậy A khơng phải số chỉnh phương số phương số có chữ số tận ; 4; ; ; GV : Nguyễn Đức Tính – số 08 - Bào Ngoại - Đơng Hương – TP Thanh Hố ThuVienDeThi.com 1.5 1.5 ...GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN : HUYỆN HOẰNG HOÁ NĂM 2011- 2012 CÂU NỘI DUNG ĐIỂM a/ A     11   2012 2.0 A  (2  2012) (2012  2) :  :  675697   1 1 ...  1   2011 2012  Câu         2012         2011 B                 2   3   4   2011 2011   2012 2012  2010 2011 B  2011 2012 B 2012 2.0 a/... Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 =>(3y – 1)(2x + 1) = -55 => x   55 (1) 3y  Để x nguyên 3y –  Ư(-55) = 1;5;11;55; 1; 5; 11; 55 +) 3y – = => 3y = => y = 1, thay vào