ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN – LÝ – HÓA – SINH TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2011-2012 MÔN TOÁN LỚP 11 – SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN – LÝ – HÓA – SINH TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2011-2012 MÔN TOÁN LỚP 11 – SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN

S GIO DC V O TO K thi chn HSG gii Toỏn, Lý, Hoỏ, Sinh trờn MTCT LONG AN Mụn TON khi 11, nm hc 2011-2012 Ngy thi: 05/02/2012 CHNH THC Thi gian: 90 phỳt (khụng k phỏt ) Chỳ ý: - Cỏc giỏ tr phi tớnh ra s thp phõn, ly chớnh xỏc 5 ch s thp phõn khụng lm trũn; - Thớ sinh phi ghi túm tt cỏch gii hay cụng thc tớnh. Bi 1. Tớnh gn ỳng nghim (, phỳt, giõy) ca phng trỡnh 4cos2 3cos 1+ = x x Bi 2. Tớnh gn ỳng giỏ tr ln nht v nh nht ca hm s 2sin 3cos 1 cos + 2 + = x x y x Bi 3. Trong mt phng ta Oxy, cho hai im 1 1 P 0; ;Q ;1 12 13 ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ v ng thng cú phng trỡnh x y 0+ = . Tỡm im M trờn sao cho tng MP MQ+ nh nht. Bi 4. Tớnh tng ( ) n 0 1 2 n 1 n n n n n 1 1 1 1 1 1 2 3 n n 1 n 1 C 1 C 2C 3C nC S . A A A A A 2012 + + = + + + + + ữ , bit: 0 1 2 n n n C C C 211+ + = . Bi 5. Cho t din u ABCD cnh bng 2012 cm. Kộo di BC v phớa C mt on CE 2012= cm, kộo di BD v phớa D mt on DF 2012= cm. Gi M l trung im ca AB. Tớnh din tớch ca thit din to bi t din vi mt phng (MEF). Bi 6. Tỡm cp s ( , )x y nguyờn dng vi x nh nht tha phng trỡnh: 595220)12(807156 22 3 2 ++=++ xyxx Bi 7. Tỡm h s ca s hng cha 8 x trong khai trin ca biu thc: 8 2 3 2 5 + ữ x x Bi 8. Cho dóy s (u n ) tha món iu kin sau: + + = = = 1 2 2 1 2012 2012 2 3 n n n u u u u u Tớnh gn ỳng giỏ tr tng 20 s hng u tiờn ca dóy s (u n ). Bi 9. Gii h phng trỡnh : ỡ + + = ù ù ớ ù + + = ù ợ 2 2 2 2 2 2 ( )(1 ) 5 ( )(1 ) 49 x y xy xy x y x y x y Bi 10. Cho t giỏc ABCD nụi tiờp trong ng tron (O) ban kinh R=4,20 cm, AB=7,69 cm, BC=6,94 cm, CD=3,85 cm. Tim ụ dai canh con lai va tinh diờn tich cua t giac ABCD. ---------------------------- HT ------------------------------- H v tờn thớ sinh:. S bỏo danh: Thớ sinh khụng c s dng ti liu. Giỏm th khụng gii thớch thi. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Kỳ thi chọn HSG giải Toán, Lý, Hoá, Sinh trên MTCT LONG AN Môn Toán khối 11, năm học 2011-2012 ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Tóm tắt cách giải Kết quả Điểm 1 Đặt t = cosx thì 11 ≤≤− t và 2 2 cos2 2cos 1 2 1x x t= − = − Phương trình đã cho trở thành 2 8 3 3 0t t+ − = Giải phương trình này ta được 1,2 3 105 16 t − ± = (thỏa đk) Sau đó giải các phương trình 1 cos x t= và 2 cos x t= 0 0 63 4'4,4" 360k ± + 0 0 145 53'13,68" 360k ± + 0,5 0,5 2 Ta biến đổi 2sin 3cos 1 cos + 2 x x y x + − = về pt: 2sinx + (3–y)cosx = 2y + 1 Pt có nghiệm khi ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 1y y+ − ≥ + 5 61 5 61 3 3 − − − + ⇒ ≤ ≤y + max 5 61 3 − + =y khi x là nghiệm của pt: 2sinx + (3–y max )cosx = 2y max + 1 + min 5 61 3 − − =y khi x là nghiệm của pt: 2sinx + (3–y min )cosx = 2y min + 1 max min 0,93674 4,27008 y y ≈ ≈ − 0,5 0,5 3 Gọi P’ là điểm đx với P qua ∆ ⇒ = ∩ ∆M P'Q Gọi I là trung điểm PP’ 1 1 I ; 24 24 æ ö ÷ ç -Þ ÷ ç ÷ ç è ø ; 1 P' ;0 12 æ ö ÷ ç - ÷ ç ÷ ç è ø 25 P'Q ;1 156 æ ö ÷ ç = ÷ ç ÷ ç è ø uuur ; 25 1 P'Q : x y 0 156 12 - + = M M x 0,07182 y 0,07182 =- = 0,5 0,5 4 Ta có 0 1 2 n n n C C C 211 n 20+ + = ⇒ = 0 1 2 20 19 20 20 20 20n 1 1 1 1 1 1 2 3 20 21 C 2C 3C 21C20C . A A A A A + + + + + 0 1 2 20 20 20 20 20 20 C C C . C 2= + + + + = . Vậy 20 2 S 2012 = 23376,84649 1,0 5 Đặt a 2012= . Ta có: 2 a NP a NI 3 3 = =Þ (I là trung điểm NP) 2 2 0 a 13 ME BE BM 2BE.BM cos60 2 = + - = 1 a 13 MN ME 3 6 = = Trong tam giác vuông MNI ta có: 2 2 a MI MN NI 2 = - = Vậy ( ) 2 2 MNP 1 a S MI.NP cm 2 6 = = 335,33333 1,0 6 Ta có : 595220)12(807156 22 3 2 ++=++ xyxx 5952)12(80715620 2 3 22 −−++= xxxy Suy ra : 20 5952)12(807156 2 3 2 −−++ = xxx y Dùng máy Casio FX 570ES: Khai báo : X = X + 1 : 3 2 2 156X + 807 + (12X) - 52X - 59 Y= 20 x = 11,00000 y = 29,00000 1,0 CALC: 0 X Nhn = cho n khi mn hỡnh hin Y l s nguyờn dng thỡ dng. 7 t 1 a 3 ; b 2 ; c 5 = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 2 0 8 1 7 2 8 8 3 4 8 3 5 2 4 4 2 8 2 8 8 8 a x b cx C a C a x b cx . C a x b cx C a x b cx . C x b cx + + = + + + + + + + + + + + Ta thy 8 x ch cú trong cỏc s hng ( ) 3 3 5 2 8 C a x b cx + v ( ) 4 4 4 2 8 C a x b cx + vi h s tng ng l 3 5 2 4 4 4 8 8 C a 3bc v C a b Vy h s ca s hng cha 8 x l : 3 5 2 4 4 4 8 8 C a 3bc C a b+ 3260,72569 1,0 8 Khai bỏo: (Dựng mỏy Casio FX 570ES) D D 2 : A 2B 3A : B 2A 3B : X X A B = + = = = + + CALC: 2 D, 2012 A, 2012 B, 0 X Nhn = cho n khi D = 20. c kt qu bin X 3037423,05118 1,0 9 Ta thy x y 0= = l nghim ca h phng trỡnh. Vi x 0 ; y 0ạ ạ , h ó cho 2 2 2 2 1 1 x y 5 x y 1 1 x y 49 x y ỡ ù ù + + + = ù ù ù ớ ù ù + + + = ù ù ù ợ . t 1 1 u x , v y x y = + = + h tr thnh 2 2 u v 5 u 7 u 2 v 2 v 7 u v 53 ỡ ỡ ỡ + = = =- ù ù ù ù ù ù ị ớ ớ ớ ù ù ù =- = + = ù ù ợ ợ ù ợ T ú h cú nghim 7 3 5 7 3 5 1; ; ; 1 2 2 ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ - - ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ x y 0,00000= = x 1,00000 y 6,85410 ỡ =- ù ù ớ ù = ù ợ x 1,00000 y 0,14589 ỡ =- ù ù ớ ù = ù ợ x 6,85410 y 1,00000 ỡ = ù ù ớ ù =- ù ợ x 0,14589 y 1,00000 ỡ = ù ù ớ ù =- ù ợ 1,0 10 ã sin / 2ACB AB R= ã 1 sin ( / 2 )ACB AB R = ã 1 2sin ( / 2 )AOB AB R = Tng t : ã 1 2sin ( / 2 )BOC BC R = ã 1 2sin ( / 2 )COD CD R = ã ã ã ã 0 360 ( )AOD AOB BOC COD = + + , ã 2 sin 2 AOD DA R= ã ã ã ã 2 1 (sin sin sin sin ) 2 ABCD S R AOB BOC COD AOD= + + + 4,29329DA ABCD S 29,64389 0,5 0,5 Ghi chỳ: - Sai ch s thp phõn cui cựng tr 0,2 im; - Sai ch s thp phõn th t v trc cho 0,0 im kt qu. Chm hng gii ỳng 0,2 im; - Khụng nờu túm tt cỏch gii tr 0,2 im. . đi m NP) 2 2 0 a 13 ME BE BM 2BE.BM cos60 2 = + - = 1 a 13 MN ME 3 6 = = Trong tam giác vuông MNI ta có: 2 2 a MI MN NI 2 = - = Vậy ( ) 2 2 MNP 1 a S MI.NP. 2012 cm. Kộo di BC v phớa C mt on CE 2012= cm, kộo di BD v phớa D mt on DF 2012= cm. Gi M l trung im ca AB. Tớnh din tớch ca thit din to bi t din vi mt phng