ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN KHỐI 11– SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN KHỐI 11– SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO Kỳ thi chọn HSG giải Toán, Lý, Hóa, Sinh trên MTCT LONG AN Môn: Toán khối 11, năm học 2012-2013 Ngày thi: 27/01/2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 90 phút (không kể phát đề) Chú ý: - Các giá trị phải tính ra số thập phân, lấy chính xác 5 chữ số thập phân không làm tròn. - Thí sinh phải ghi tóm tắt cách giải hay công thức tính. - Mỗi bài làm đúng thí sinh được một điểm. Bài 1. Tính gần đúng các nghiệm (radian) trên khoảng ( ) 0; π của phương trình sin2x – 2sinx – cosx + 1 = 0. Bài 2. Cho các hàm số 2 ( ) ax , ( ) ax +2 3 2 f x g x x = + = − . Tính các giá trị gần đúng của a để ( ) 1 2 2013 2014g f   + + =   . Bài 3.Trong một lớp có 15 học sinh nam và 20 học sinh nữ, chọn ngẫu nhiên 10 học sinh. Tính gần đúng xác suất để 10 học sinh được chọn phải có ít nhất 2 học sinh nam và 2 học sinh nữ. Bài 4. Cho dãy số ( ) n u có: 1 2 3 4 2013 2013 2012 2013 2012 2011 2013 2012 2011 2010 ; ; ; ; 1! 1! 2! 1! 2! 3! 1! 2! 3! 4! u u u u= = + = + + = + + + ( ) 2013 2012 2011 1! 2! 3! n u = + + + n soá haïng Tính giá trị gần đúng của 1 2 3 15 .S u u u u= + + + + . Bài 5.Tính gần đúng các nghiệm của hệ phương trình 2 2 2 2 ( 1) 2 ( 1) 1 ( ) 1 1 . y x x y x y x y  + = +     + + =  ÷     Bài 6. Tính gần đúng các nghiệm của phương trình 2 2 6 4x x x+ + + = . Bài 7. Gọi a là số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức 12 9 2 2 5 1 3 x P x x x     = − + +  ÷  ÷  ÷     . Tính gần đúng giá trị của a. Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn, biết A(-1;1), B(3;0), C(4; 3) và D(1; m). Tính các giá trị gần đúng của m? Bài 9. Tam giác ABC cạnh AB=8, BC=10, AC=6, M là trung điểm cạnh AB, P là điểm nằm trên cạnh BC. Tính gần đúng giá trị bé nhất của AP + PM. Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1; 3), B(–2; 1), C(–1; –3). Tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện 2 2 2 100MA MB MC+ + = là một đường tròn. Tính giá trị gần đúng của tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó. ……………….Hết……………… Họ và tên thí sinh:……………………………………………. Số báo danh:………………. Thí sinh không sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích đề thi. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO Kỳ thi chọn HSG giải Toán, Lý, Hóa, Sinh trên MTCT LONG AN Môn: Toán khối 11, năm học 2012-2013 ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Tóm tắt cách giải hay công thức tính Đáp số Điểm 1 cos 1 (2sin 1)(cos 1) 0 2sin 1 0 6 (0; ) 5 6 x pt x x x x do x x π π π =  ⇔ − − = ⇔  − =   =  ⇔ ∈   =   0,52359 2,61799 x x ≈   ≈  1,0 2 1 2 A+ − > . Nhập vào máy tính 2 ( 2013) 2 2014 3 2 x xA A + + + = − . Dùng lệnh solve tìm được nghiệm 0,99811 834,96803 a a ≈ ≈ − 1,0 3 10 10 1 9 9 1 15 20 15 20 15 20 10 35 . . 1 C C C C C C P C + + + = − P ≈ 0,98470 1,0 4 2014 1: : : ! X X X B A C C B A B X − = + = + = + = CACL X=0,A=0,B=0,C=0. Sau đó ấn liên tục x=15=>KQ 49857,23809 1,0 5 2 2 2 1 1 2 (1) 1 1 1 (2) 1 1 1 (2) 2 3 0 3 1 6 x y x y hpt y x y x y y y y y y x x    + = +   ÷    ⇔   + + + =       ⇔ + + + − = ⇔ + = −  ÷  ÷     ⇒ + = − Ta được: 2 2 6 1 0 3 1 0 x x y y  + + =   + + =   0,17157 5,82842 0,38196 2,61803 x x y y  ≈ −    ≈ −   ≈ −     ≈ −   1,0 6 2 2 2 6 (1) 3 1 6 2 2 1 6 (2) (1) 0,56155; (2) 2,79128 x x x x x x x x  + = +     + = + − =   ÷  ÷     − − = +   ⇔ ≈ ⇔ ≈ − 0,56155 2,79128 x x ≈   ≈ −  1,0 7 • Số hạng tổng quát của 9 2 5 x x   −  ÷   là ( ) 3 9 3 3 9 1 9 ( 5) . 5 k k k C x a C − − ⇒ = − • Số hạng tổng quát của 12 2 1 3 x x   +  ÷   là 884,14855a ≈ − 1,0 ( ) 4 12 24 3 8 12 2 12 ( 3) . 3 k k k C x a C − − − ⇒ = Vậy 1 2 884,14855a a a= + ≈ − 8 Đường tròn qua 3 điểm A,B,C có phương trình: 2 2 37 57 6 0 13 13 13 x y x y+ − − − = kết hợp phương trình x=1 ta tìm được 2 giá trị m: 4,85949 0,47488 m m ≈   ≈ −  4,85949 0,47488 m m ≈   ≈ −  1,0 9 M’ đối xứng M qua BC. PM+PA=PM’+PA ≥ M’A PM+PA nhỏ nhất khi M’,P ,A thẳng hàng Từ ABCV tìm được 4 cosB= 5 Áp dụng định lí cosin trong 'BM AV tìm được ' 7,87908AM ≈ ' 7,87908AM ≈ 1,0 10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 1 3 2 1 1 3 100 3 3 4 2 75 0 4 2 25 0 3 3 MA MB MC x y x y x y x y x y x y x y + + = ⇔ − + − + + + − + + + + = ⇔ + + − − = ⇔ + + − − = Tâm 2 1 230 ; 3 3 3 I R −   =  ÷   0,66666; 0,33333 5,05525 I R −    ÷   ≈ 1,0 Ghi chú: - Sai chữ số thập phân cuối cùng trừ 0,2 điểm. - Sai chữ số thập phân thứ tư trở về trước cho 0,0 điểm kết quả. Chấm hướng giải đúng 0,2 điểm. - Không nêu tóm tắt cách giải trừ 0,2 điểm. . −  4,85949 0,47488 m m ≈   ≈ −  1,0 9 M đối xứng M qua BC. PM+PA=PM’+PA ≥ M A PM+PA nhỏ nhất khi M ,P ,A thẳng hàng Từ ABCV t m được 4 cosB= 5 Áp. C(–1; –3). Tập hợp các đi m M thỏa m n điều kiện 2 2 2 100MA MB MC+ + = là m t đường tròn. Tính giá trị gần đúng của tọa độ t m và bán kính của đường tròn