ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2010-2011 MÔN TOÁN LỚP 11 - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO Kỳ thi chọn HSG giải Toán, Lý, Hoá, Sinh trên MTCT LONG AN Môn Toán Lớp 11 năm học 2010-2011 -------------- Ngày thi : 23.01.2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian 90 phút ( không kể phát đề ) . Chú ý: - Các giá trị đều phải tính ra số thập phân, lấy chính xác 5 chữ số thập phân không làm tròn. - Thí sinh phải ghi tóm tắt cách giải hay công thức tính (có thể chỉ ghi bước tính cuối ra kết quả) Bài 1: Cho 12 sin 13 a = − và 3 2 a π π 〈 〈 . Tính gần đúng tan 4 a π − ÷ Bài 2: Các đường trung tuyến của tam giác ABC là AM = 5cm, BE = 4cm, CF = 3cm. Tính gần đúng tổng các bình phương độ dài ba cạnh tam giác ABC. Bài 3: Tính gần đúng giá trị lớn nhất của: 2 ( ) sin 2 x f x x= + trên , 2 2 π π − Bài 4 : Cho khai triển 2 0 1 2 1 . 3 n n n x a a x a x a x − = + + + + ÷ , biết 2 a bằng 5. Tính giá trị gần đúng hệ số của số hạng đứng giữa của khai triển trên. Bài 5 : Cho : x 1005 + y 1005 = 1,1245 và x 2010 + y 2010 = 2,469. Hãy tính gần đúng giá trị biểu thức:P = x 3015 + y 3015 Bài 6 : Trong mặt phẳng Oxy cho M ( ) 2, 3 . Gọi 1 M là ảnh của M qua ( ) 0 ; 90O Q + , 2 M là ảnh đối xứng của 1 M qua trục Ox. Xác định tọa độ gần đúng của điểm 2 M Bài 7 : Tính tổng gần đúng của S = 2 2 2 2 3 2011 1 1 1 . A A A + + + . Bài 8 : Một hộp đựng 3 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính gần đúng xác suất để chọn được hơn một viên bi đỏ. Bài 9 : Trên các cạnh AB, BC, CA của một tam giác ABC có diện tích 2012 người ta chọn lần lượt các điểm M, N, P thoả mãn điều kiện: AM BN CP 1 MB NC PA 5 = = = . Tính gần đúng diện tích của tam giác MNP Bài10 : Tính gần đúng nghiệm dương nhỏ nhất (theo độ , phút, giây) của phương trình: 8 8 17 sin cos 32 x x+ = …………………………………HẾT………………………………… SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO Kỳ thi chọn HSG giải toán, lý, hoá, sinh trên MTCT LONG AN Môn Toán Lớp 11 năm học 2010-2011 -------------- Ngày thi : 23.01.2011 ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Tóm tắt cách giải Kết quả Điểm 1 • cosa = 5 12 tan 13 5 a− ⇒ = • 1 tan tan 4 1 tan a a a π − − = ÷ + 0,41176≈ − 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 25 2 2 1 16 2 2 1 9 2 2 a b c b a c a b c c a b + − = ÷ + − = ⇒ + + ÷ + − = ÷ 66,66666≈ 1 3 , 2 2 2 ( ) 1 ( ) 2 4 2 2 4 sin 1 x x f x Max f x x π π π π π π − ≤ − ≤ ≤ ⇒ ⇒ ≤ + ⇒ ≤ Dấu = xãy ra khi x = 2 π 1,78539≈ 1 4 2 2 3 1 5 5 10 3 n T C n = ⇔ − = ⇔ = ÷ Hệ số cần tìm 5 5 10 1 3 C − ÷ 1,03703≈ − 1 5 Đặt a = x 1005 ; b = y 1005 => cần tính a 3 +b 3 . Biến đổi được: ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 2 1 3 2 a b a b a b a b + = + + − + Từ đó tính được a 3 +b 3 3,63128 1 6 ( ) 2 3, 2M − − 1,73205 1,41421 x y ≈ − ≈ − 0,5 0,5 7 S = 1 1 1 1 2! 3! 4! 2011! 0! 1! 2! 2009! 1 1 1 1 1 . . 1 1.2 2.3 3.4 2010.2011 2011 + + + + = + + + + = = − 0,99950≈ 1 8 Không gian mẫu: 3 7 C X: số bi đỏ được chọn. X { } 0,1,2,3∈ 0,37142≈ 1 ( 1) ( 2) ( 3)P X P X P X〉 = = + = = 2 1 3 3 4 3 3 3 7 7 . 12 1 35 35 C C C C C + = + 9 Gọi S 1 , S 2 , S 3 lần lượt là diện tích các tam giác BMN,CNP, AMP. Ta có: ABN ABC S BN S BC = Mà: BC BN NC 1 k 1 1 BN BN k k + + = = + = Vậy: ABN k S S k 1 = + Ta có: NBM NBA S MB S AB = Mà: AB AM MB 1 k MB MB + = = + Vậy: NBM ABN 1 S S k 1 = + Nên: NBM 2 k S S (k 1) = + hay 1 2 k S S (k 1) = + Vì S 1 , S 2 , S 3 có vai trò như nhau nên: S 1 = S 2 = S 3 2 k S (k 1) = + Diện tích tam giác MNP bằng: MNP S S= − 2 3k S (k 1)+ = 2 3k 1 S (k 1) − ÷ + ≈ 26,16560 1 10 Ta có : 8 8 17 sin cos 32 x x+ = 4 4 4 2 1 cos 2 1 cos2 17 1 17 (cos 2 6cos 2 1) 2 2 32 8 32 x x x x − + ⇔ + = ⇔ + + = ÷ ÷ Đặt cos 2 2x = t, với t∈[0; 1], Ta có 2 2 1 17 13 2 6 1 6 0 13 4 4 2 t t t t t t = + + = ⇔ + − = ⇔ = − Vì t∈[0;1], nên 2 1 1 cos4 1 1 cos 2 2 2 2 2 x t x + = ⇔ = ⇔ = ⇔cos4x = 0 ⇔ 4 ,( ) 2 8 4 π π π x kπ x k k Z= + ⇔ = + ∈ 0 0 22 30'00'' 45k+ 1 Ghi chú: - Sai chữ số thập phân cuối cùng trừ 0,2 điểm - Sai chữ số thập phân thứ tư về trước cho 0,0 điểm kết quả.Chấm hướng giải đúng hoặc hướng giải tương đương 0,2 điểm - Không nêu sơ lượt hướng giải hoặc hướng giải sai trừ 0,2 điểm N P M A B C . Trong m t phẳng Oxy cho M ( ) 2, 3 . Gọi 1 M là ảnh của M qua ( ) 0 ; 90O Q + , 2 M là ảnh đối xứng của 1 M qua trục Ox. Xác định tọa độ gần đúng của đi m. hơn m t viên bi đỏ. Bài 9 : Trên các cạnh AB, BC, CA của m t tam giác ABC có diện tích 2012 người ta chọn lần lượt các đi m M, N, P thoả m n điều kiện: AM