ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2010-2011 MÔN TOÁN LỚP 12 - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Kỳ thi chọn HSG giải Toán, Lý, Hoá, Sinh trên MTCT LONG AN Môn Toán khối 12 , năm học 2010-2011 -------------- Ngày thi : 23/01/2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 90 phút ( không kể phát đề ) . Chú ý: Các giá trị đều phải tính ra số thập phân, lấy chính xác 5 chữ số thập phân không làm tròn. Bài 1: Cho hàm số: 2 2 3 2 3 5y x x x= − + − − + .Tính gần đúng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Bài 2: Cho 0, 0, 1x y x y > > + = . Tính gần đúng giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 x y T x y = + − − Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD , biết độ dài đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trung điểm cạnh đáy là 3,415d cm = , góc giữa cạnh bên và đáy bằng 42 o .Tính gần đúng thể tích khối chóp đó . Bài 4: Cho : x 1005 + y 1005 = 1,005 và x 2010 + y 2010 = 2,010. Hãy tính gần đúng giá trị biểu thức:P = x 3015 + y 3015 . Bài 5: Tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình : +=+ +=+ yyxx xyyx 222 222 log2log72log log3loglog Bài 6: Cho hàm số : − 1 y = f(x) = x + 1 + x 1 có đồ thị (C) .Tìm gần đúng tọa độ những điểm trên (C) có hoành độ lớn hơn 1, sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đường tiệm cận của nó một tam giác có chu vi bé nhất. Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A . Đường thẳng AB có phương trình : x+y-3 = 0, đường thẳng BC có phương trình : 2x - y = 0 .Tìm gần đúng tọa độ điểm C biết đường thẳng AC đi qua M ( ) 2010, 2011 Bài 8:Cho hàm số: 3 2 3 9 3 5y x mx x m= − + + − . Tính giá trị gần đúng của m để hàm số có hai cực trị và hình chiếu vuông góc của hai điểm cực trị lên đường thẳng y = 2011 2010x + , trùng nhau. Bài 9: Tính gần đúng các nghiệm của phương trình: 2 3 2 4 2 x x x + + = Bài 10: Cho dãy số(u n ) xác định như sau : 1 1 2 2 1 ( 1,2,3, .) 1 ( 2 1) n n n u u u n u + = + − = = − − Tính gần đúng : P = 2010 2011 u u+ ---------------------------- HẾT ------------------------------------ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO LONG AN NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM KHỐI 12 Bài Tóm tắt hướng giải Kết quả Điểm 1 2 ( ) 2 3 2 3 5f x x x x= − + − − + có tập xác định là: 5 ; 1 2 D = − ( ) 2 2 2 4 2 3 5 4 3 4 3 '( ) 2 2 2 3 5 2 2 3 5 x x x x f x x x x x − − + − + − − = + = − − + − − + ( ) 2 2 '( ) 0 4 2 3 5 4 3 48 72 71 0f x x x x x x= ⇔ − − + = + ⇔ + − = (x ≥ -0,75) Giải phương trình bậc hai ta được: 1 2 9 7 6 9 7 6 2,178869017 0,75; 0,6788690166 1 12 12 x x − − − + = ≈ − < − = ≈ < Do đó phương trình chỉ có một nghiệm trong tập xác định là: 2 9 7 6 0,6788690166 12 x − + = ≈ ( ) 5 9 7 6 18 7 6 8; 1 1; 0,2133929501 2 12 4 f f f − + − + − = − = − = ≈ − ÷ ÷ ÷ . Vậy: 5 5 ;1 ; 1 2 2 9 7 6 18 7 6 5 ( ) 0,2134; ( ) 8 12 4 2 Max f x f Min f x f − − − + − + = = ≈ − = − = − ÷ ÷ ÷ -0,21339 -8,00000 0,5 0,5 2 Đặt 2 2 cos ; sin 0; 2 x a y a a π = = ⇒ ∈ ÷ khi đó ( ) ( ) 2 2 3 3 sin cos 1 sin .cos cos sin cos sin sin cos sina.cos sin .cos a a a a a a a a T a a a a a + − + = + = = Đặt 2 1 sin cos 2 sin sin .cos 4 2 t t a a a a a π − = + = + ⇒ = ÷ Với 0 1 2 2 a t π < < ⇒ < ≤ Khi đó ( ) 3 2 3 1 t t T f t t − + = = − ; ( ) ( ) ( ( ) ( ) 4 2 2 3 ' 0 1; 2 2 2 1 t f t t f t f t − − = < ∀ ∈ ⇒ ≥ = − Vậy ( ( ) ( ) 1; 2 min 2 2 t f t f ∈ = = khi 1 2 x y = = . Hay min 2T = khi 1 2 x y = = . 1,41421 1 3 Gọi cạnh đáy của chóp tứ giác đều SABCD là a , chiều cao là h , ϕ là góc giữa cạnh bên và đáy, d là khoảng cách từ đỉnh đến trung điểm cạnh đáy Khi ấy SH tg AH ϕ = hay 2 2 a h SH tg ϕ = = . Mặt khác, 2 2 2 ( ) 2 a h d+ = hay 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 a a tg d ϕ + = . Suy ra 2 2 1 d a tg ϕ = + và 2 2 2 2 1 2 a d h tg tg tg ϕ ϕ ϕ = = + . Thể tích tứ diện được tính theo công thức: 2 3 2 2 2 2 3 1 1 2 4 4 2 3 3 3 (1 2 ) 1 2 (1 2 ) d tg d d tg V ha tg tg tg ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = = = + + + . 15,93124 1 4 Đặt a = x 1005 ; b = y 1005 => cần tính a 3 +b 3 . Biến đổi được: ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 2 1 3 2 a b a b a b a b + = + + − + Từ đó tính được a 3 +b 3 2,52253 1 5 ĐK: 0, 0x y〉 〉 2 2 2 2 2 2 log log 3 log log 72 log 2 log x y y x x x y y + = + ⇔ + = + ( ) +=++ +=+ yyxx xyyx 222 222 log2log3log23 log3loglog - Suy ra: y = 2x - 13log2 1 2 − = x 13log2 2 2 − = y x = 0,46084 y = 0,92169 0,5 0,5 6 Phương trình tiệm cận đứng : x = 1. Phương trình tiệm cận xiên : y = x + 1. Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận , thì I ( 1 ; 2 ). 2 1 1 y x 1 y 1 . x 1 (x 1) ′ = + + ⇒ = − − − Gọi 1 A(a ;a 1 ) (C) a 1. a 1 + + ∈ > − Phương trình tiếp tuyến tại A là : 2 1 1 y 1 (x a) a 1 (d) (a 1) a 1 = − − + + + − − . (d) cắt tiệm cận đứng tại B thì tọa độ của 2a B(1; ) a 1− . (d) cắt tiệm cận xiên tại C thì tọa độ của C(2a 1;2a)− . Ta có : 2 IB ; IC 2 2 a 1 ; IB.IC 4 2. a 1 = = − = − 2 2 2 2 2 BC IB IC 2IB.IC. cos IB IC 8. 4 π = + − = + − CV = IB + IC + BC =IB+IC+ 2 2 IB IC 8+ − 4 2 IB.IC 2 2( 2 1) 4 2 2 2( 2 1).≥ + − = + − CV min = 4 4 2 2 2( 2 1) IB IC+ − ⇔ = 4 2 1 2 2 x 1 x 1 x 1 2 ⇔ = − ⇔ = + − Vậy 4 4 4 1 1 A(1 ; 2 2 ). 2 2 + + + x=1,84089 y = 4,03010 0,5 0.5 7 Gọi (d) là đường thẳng qua M và song song với AB. (d): 2010 2011 0x y+ − − = Gọi (D) là đường thẳng qua M và vuông góc với BC. (D): 2 2010 2 2011 0x y+ − − = Gọi I, H lần lượt là giao điểm của (d) và (D) với BC: I 2010 2011 2 2010 2 2011 , 3 3 + + ÷ ÷ , H 2010 2. 2011 2 2010 4 2011 , 5 5 + + ÷ ÷ Vậy C 2010 7. 2011 2 2010 14 2011 , 15 15 + + ÷ ÷ x=23,91614 y=47,83229 0,5 0,5 8 Ta có ( ) ( ) 2 2 1 3 6 9 6 2 6 5 3 3 m y x x mx m x m = − − + + − + − ÷ Rút ra phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: ( ) 2 6 2 6 5y m x m= − + − Với Đk: 3 3m m〈− ∨ 〉 Theo yêu cầu bài toán. Ta có: ( ) 2 2 6 2011 1 6 2 . 2011 1 2 2011 m m + − = − ⇔ = 1,73526 -1,73526 0,5 0,5 9 ĐK 3x ≥ − . ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 3 1 1 2 4 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 x x x x x x x + + + + + = ⇔ + − = ⇔ + − = + . Đặt 2 1 1, 1 1 2 2 1 2 x u u x v u v + = + = + = + ⇒ − = . Ta được hệ phương trình 2 2 1 1 2 1 1 2 u v v u − = − = ⇒ 3 17 5 13 , 4 4 x x − ± − ± = = 0,28077 -1,78077 -0,34861 -2,15138 0,25 0,25 0,25 0,25 10 Đặt u 1 = tga = 2 và tan tan 4 8 tan tan 2 1 8 8 1 tan .tan 4 8 π π π π π π − = ⇒ = − + * u 2 = ) 8 ( 8 .1 8 π π π += − + atg tgtga tgtga u 3 = ) 8 .2( )) 8 (( 8 1 8 ) 8 ( π ππ ππ += +− ++ atg atgtg tgatg *Bằng qui nạp ta chứng minh được : ) 8 )1(( π −+= natgu n *Cho n = 2010, ta có : 2010 ( 2009 ) ( 251 ) ( ) 8 8 8 u tg a tg a tg a π π π π = + = + + = + = 2 2 1 ( ) 8 2 1 tg a π − + = − *Cho n = 2011, ta có : 2011 ( 2010. ) ( 251 ) ( ) 8 4 4 u tg a tg a tg a π π π π = + = + + = + = 2 1 ( ) 4 1 2 tg a π + + = − -0,58578 1 Ghi chú: - Sai chữ số thập phân cuối cùng trừ 0,2 điểm - Sai chữ số thập phân thứ tư về trước cho 0,0 điểm kết quả.Chấm hướng giải đúng 0,2 điểm - Không nêu sơ lượt hướng giải trừ 0,2 điểm . 3 3 m y x x mx m x m = − − + + − + − ÷ Rút ra phương trình đường thẳng qua hai đi m cực trị là: ( ) 2 6 2 6 5y m x m= − + − Với Đk: 3 3m m〈−. .T m gần đúng tọa độ đi m C biết đường thẳng AC đi qua M ( ) 2010, 2011 Bài 8:Cho h m số: 3 2 3 9 3 5y x mx x m= − + + − . Tính giá trị gần đúng của m để