THÔNG TIN TÀI LIỆU
SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2014 – 2015 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24/03/2015 ( Đề thi gồm có 01 trang ) Câu (2,0 điểm): a) Tính giá trị biểu thức: A = x3 x x 5 5 2 1 2 b) Cho x, y thỏa mãn: x 2014 2015 x 2014 x y 2014 2015 y 2014 y Chứng minh: x y Câu (2,0 điểm): với x a) Giải phương trình x3 x 1 x 2 x x 3 x xy x y b) Gi¶i hệ phương trình sau: x x y y 1 Câu (2,0 điểm): a) Tìm số nguyên tố p cho số p 1; p 3; p số nguyên tố b) Tìm số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: 3x 18 y z y z 18 x 27 Câu (3,0 điểm): Cho đường trịn (O;R) đường kính BC Gọi A điểm thỏa mãn tam giác ABC nhọn AB, không chứa D lấy AC cắt đường tròn điểm thứ hai tương ứng E D Trên cung BC F(F B, C) AF cắt BC M, cắt đường tròn (O;R) N(N F) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE P(P A) a) Giả sử BAC 600 , tính DE theo R b) Chứng minh AN.AF = AP.AM c) Gọi I, H thứ tự hình chiếu vng góc F đường thẳng BD, BC Các để biểu thức đường thẳng IH CD cắt K Tìm vị trí F cung BC BC BD CD đạt giá trị nhỏ FH FI FK Câu (1,0 điểm): Cho số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: xy yz zx xyz Tìm giá trị lớn biểu thức: M 1 x y z x y 3z 3x y z - HẾT -Họ tên thí sinh: …………………………………Số báo danh …………… Chữ kí giám thị ……………………… Chữ kí giám thị ………………… ThuVienDeThi.com SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG CÂU ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH MƠN TỐNLỚP THCS NĂM HỌC 2014 – 2015 Lưu ý: Thí sinh làm theo khác cho điểm tối đa Điểm thi làm tròn đến 0,25 điểm PHẦN NỘI DUNG ĐIỂM Đặt a = 2+ a2 a) 1,0điểm 5 5 ,a>0 22 5 4 62 4 x 1 0,25 1 a 3 5 1 1 62 62 1 1 1 2 2 x = x2 x 0,25 B = 2x3 + 3x2 – 4x + B = 2x(x2 + 2x -1 ) - ( x2 + 2x -1 ) + = 0,25 x 2014 2015 x 2014 x y 2014 2015 y 2014 y (1) ĐKXĐ: 2014 x; y 2014 Câu1 2,0 điểm 0,25 0,25 (1) x 2014 y 2014 2015 x 2015 y 2014 y 2014 x Nếu x khác y 2014 x; y 2014 x 2014 y 2014 >0; 2015 x 2015 y >0; 2014 x 2014 y >0 , (1) b) 1,0điểm 1 x y (2) x 2014 y 2014 2015 x 2015 y 2014 x 2014 y 0,25 Khi dễ chứng tỏ 1 0 2014 x 2014 y 2015 x 2015 y Mà x y nên (2) vơ lý VT(2) ln khác Nếu x=y dễ thấy (1) Vậy x = y 0,25 0,25 x3 x 1 x 2 x x (1) 0,25 ĐKXĐ: x 1 Đặt: y Câu 2,0 điểm x 1; z Khi (1) có dạng : x3 + y3 + z3= (x + y +z)3 (2) Chứng minh (2) (x+y)(x+z)(z+x) = a) 1,0 điểm Với: x + y = x Với: x + z = x Với: y + z = x 1 x 1 x x 1 ( Thỏa mãn) 2 x ( không thỏa mãn) x - vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm: x ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 3 x xy x y x x 1 + y y 1 = 3 x xy x y 2 x xy y x y 2 x + y x y x + y x y 0.25 Ta có: x xy y x y y x y x 1 0.25 y x y x b) 1,0 ®iĨm Với y x thay vào (2) ta được: x2 – 2x +1 = suy x = 0.25 Ta nghiệm (1;1) y x thay vào (2) ta được: 5x2 – x – = , suy x = 1; x 4 0.25 4 13 ) ; 5 4 13 Vậy hệ có nghiệm (1;1) ( ; ) 5 Ta nghiệm (1;1) ( Tìm số nguyên tố p cho số p 1; p 3; p số nguyên tố +) Nếu p=7k+i; k,i nguyên, i thuộc tập 1; 2; 3 Khi p chia cho dư: 1;4;2 Xét p p 1; p & p a) 1.0 điểm 0.25 0.25 Nếu p chia cho dư p chia hết trái GT Nếu p chia cho dư p chia hết trái GT Nếu p chia cho dư p chia hết trái GT Câu 2,0 điểm +) Xét p=2 p =16 (loại) 0.25 +) Xét p=7k, p nguyên tố nên p=7 nguyên tố, có: p 97; p 101; p 151 số nguyên tố Vậy p =7 Giả thiết x 3 18 y z y z 54 (1) 0.25 +) Lập luận để z 3 z 3 z 9 z (*) (1) 3( x 3) z y ( z 6) 54(2) (2) 54 3( x 3) z y ( z 6) 3( x 3) 2.9 y ( x 3) y 12 b) y y 1; y y nguyên dương 1,0 ®iĨm Nếu y y (1) có dạng: 2 2 x 3 z 72 z 72 z 0,25 0,25 0,25 72 z z (vì có(*)) Khi x 3 27 x 3 , x nguyên dương nên tìm x=6 2 Nếu y y (vì y ngun dương) (1) có dạng: ThuVienDeThi.com 0,25 x 3 14 z 126 14 z 126 z z z (vì z nguyên dương) Suy ( x 3) x (vì x nguyên dương) x x Đáp số y 2; y z z Vẽ hình (1 trường hợp) A N 0,25 D E P I O B H C a) 1,0 ®iĨm M K F Sđ BAC Câu 3,0 điểm 1800 sd DE 600 sd DE Suy EOD 600 nên tam giác OED 0,25 suy ED = R 0,25 APE ADE (2 góc nội tiếp chắn cung AE) ABM ADE (Cùng bù với góc EDC) ABM APE nên tam giác APE đồng dạng với tam giác ABM Suy ra: 0,25 AE AM Nên AE AB AM AP (1) b) AP AB 1,0 ®iĨm Tương tự chứng minh tam giác ANE đồng dạng với tam giác ABF AE AF AE AB AN AF (2) AN AB Từ (1) (2) suy ra: AN.AF = AP.AM c) 1,0 ®iĨm 0,25 Xét I nằm B, D( Nếu I nằm B,D vai trị K với DC I với BD) FCK Tứ giác BIHF, BDCF nội tiếp nên FHK ( FBD ), suy tứ giác CKFH nội tiếp nên FKC 90 ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 DK BH FK FH CK BI Tương tự tam giác CFK đồng dạng tam giác BFI nên: FK FI DC BH BI Suy ra: FK FH FI DC BD BH BD BI BH ID FK FI FH FI FI FH FI ID HC DC BD BH HC BC Mà suy ra: FI FH FK FI FH FH FH Lý luận tam giác DFK đồng dạng tam giác BFH nên: Vậy BC BD CD BC BC BD CD nên nhỏ FH lớn FH FI FK FH FH FI FK F trung điểm cung BC 1 Có xy yz zx xyz (1) x y z a b ( a b) Ta chứng minh với x, y dương: (*) x y x y a b2 y x (*) ( x y ) (a b) a b 2ab x y y x 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 1,0 điểm y x y x x =0 a= b a b b đúng; “=” a x y x y y 12 12 (1 1) 22 Áp dụng(*) ta có: (" " y : z 1) y z yz yz 22 22 (2 2) 42 (" " y y z y z ) y y z 3y z 3y z 42 42 (4 4) 64 (" " x y z ) 4x 3y z 4x 3y z 4x 3y z 0,25 64 42 22 12 12 (" " x y z & y z x=y=z) 4x 3y z 4x y y z x y z 0,25 64 (" " x y z ) x y 3z x y z 64 (" " x y z ) 3x y z x y z 1 1 1 1 1 ( theo (1)) M x y z x y 3z 3x y z x y z Vậy M đạt GTLN x = y = z = 3( theo (1)) 0,25 Tương tự: Hết ThuVienDeThi.com ...SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG CÂU ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH MƠN TỐNLỚP THCS NĂM HỌC 2014 – 2015 Lưu ý: Thí sinh làm theo khác cho điểm tối đa Điểm thi làm tròn đến 0,25... 0,25 (1) x 2014 y 2014 2015 x 2015 y 2014 y 2014 x Nếu x khác y ? ?2014 x; y 2014 x 2014 y 2014 >0; 2015 x 2015 y >0; 2014 x 2014 y >0 , (1) b) 1,0điểm... + 3x2 – 4x + B = 2x(x2 + 2x -1 ) - ( x2 + 2x -1 ) + = 0,25 x 2014 2015 x 2014 x y 2014 2015 y 2014 y (1) ĐKXĐ: ? ?2014 x; y 2014 Câu1 2,0 điểm 0,25 0,25 (1) x 2014
Ngày đăng: 30/03/2022, 15:30
Xem thêm: