Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Hải Dương lớp 10 THPT năm học 2012 – 2013 môn thi: Toán46511

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (2,5 điểm) a) Cho hàm số y  x  x  hàm số y   x  m Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trung điểm I đoạn thẳng AB đến trục tọa độ b) Giải bất phương trình:  x2  x   0 2x  Câu (2,5 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(1;2) Đường thẳng  đường phân giác góc A có phương trình 2x  y   ; Khoảng cách từ C đến  gấp lần khoảng cách từ B đến  Tìm tọa độ A C biết C nằm trục tung b) Cho tam giác ABC vuông A, gọi  góc hai đường trung tuyến BM CN tam giác Chứng minh sin   Câu (2,5 điểm)   a) Cho tam giác ABC Gọi D, E điểm thỏa mãn: BD  BC;   AE  AC Tìm vị trí điểm K AD cho điểm B, K, E thẳng hàng b) Cho tam giác ABC  vuông  ở2 A;  BC  = a; CA = b; AB = c Xác định điểm I 2 thỏa mãn hệ thức: b IB  c IC  2a IA  ; Tìm điểm M cho biểu thức ( b MB2  c MC2  2a MA ) đạt giá trị lớn Câu (2,5 điểm) a) Giải phương trình:  6 x   x   5 x  x  b) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  xyz Chứng minh rằng:   x2   y   z    xyz x y z …………………Hết………………… Họ tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………………………… Chữ ký giám thị 1:………………….Chữ ký giám thị 2:……………………… ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013 Câu Ý Nội dung Điểm Cho hàm số y  x  x  hàm số y   x  m Tìm m để đồ thị a hàm số cắt hai điểm phân biệt A, B đồng thời trung điểm đoạn 1,25 thẳng AB cách trục tọa độ Yêu cầu toán  PT sau có hai nghiệm phân biệt x  x    x  m hay x  x   m  (*)có  '   m>1 x  xB  1; Gọi x A ; x B nghiệm (*), I trung điểm AB ta có x I  A yI  x I  m  m  Yêu cầu toán  y I  x I b 0,25 0,25  m    m  2; m  0,25 0,25 Kết hợp ĐK, kết luận m  0,25 Giải bất phương trình: x  4x    (1) 2x   x  x   TXĐ:    x  2;2  x   x  (1)  x  4x   1,25 0,25 2x  Nếu  x   x  x    x  , bất phương trình nghiệm với x:  x  2 x   Nếu  x      x  x   0,25 0,25 bất pt cho  2x    x  4x  2  x  16 x  16   x  x   x  20 x  19  0,25 5 x  2 ;x  2 5 Kết hợp nghiệm, trường hợp ta có:  x3 0,25 Tập nghiệm bpt cho: (1;2)  (2  ;3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B (1;2) Đường thẳng  đường phân giác góc A có phương trình 2x  y   ; khoảng cách a từ C đến  gấp lần khoảng cách từ B đến  Tìm tọa độ A C biết C 1,25 nằm trục tung y 1 ; C(0:y0) ; D(C;  )= , theo ta có 5 y0    y  10; y  8 5 D(B;  )= ThuVienDeThi.com 0,25 Vẽ hệ trục tọa độ, điểm B, ý C khác phía B  suy C(0;-8) 0,25 Gọi B’(a;b) điểm đối xứng với B qua  B’nằm AC   Do BB'  u   (1; 2) nên ta có: a  2b   ; 0,25 Trung điểm I BB’ phải thuộc  nên có: 2a  b   Từ ta có: a= -7/5; b=4/5   Theo định lý Ta - Let suy CA  CB' 0,25    44  A(x; y);CA  x; y  ;CB'    ;   5  21 26 Từ suy A( ; ) ;C(0;-8) 0,25 10 Xét tam giác vuông ABC vuông A, gọi  góc hai đường trung 1,25 b tuyến BM CN tam giác Chứng minh sin   Gọi a, b c tương ứng độ dài cạnh đối diện góc A, B C c2 tam giác Có CN  b  b BM  c  B N G 0,25 C A M BG  CG  BC2 ฀ Gọi G trọng tâm tam giác ABC, ta có cos BGC  2BG.CG 2 2 2(b  c ) 2(b  c ) = ; Do cos  2 2 (4c  b )(4b  c ) (4c  b )(4b  c ) Có 5(b  c ) (4c  b )(4b  c )  ;"  "  4c  b  4b  c  b  c 2 2 2(b  c ) 2(b  c ).2 Do cos    5(b  c ) (4c  b )(4b  c ) Hay sin    cos   3 Dấu có tam giác vng cân đỉnh A     Cho tam giác ABC Gọi D, E BD  BC; AE  AC Tìm vị trí điểm K AD cho điểm B, K, E thẳng hàng a 0,25 0,25 0,25 1,25      Vì AE  AC  BE  BC  BA(1) 4 4      Giả sử AK  x.AD  BK  x.BD  (1  x)BA A E K B 0,25 0,25 D C ThuVienDeThi.com      2x   BD  (1  x)BA Mà BD  BC nên AK  x.AD  BK  3   Vì B, K, E thẳng hàng(B  E ) nên có m cho BK  mBE  m  3m  2x  Do có: BC  BA  BC  (1  x)BA 4   3m     m 2x   Hay    BC  1  x   BA   4     Do BC; BA không phương nên m 2x 3m   &1  x   Từ suy x  ; m  4   Vậy AK  AD Cho tam giác ABC vuông A; BC = a; CA = b; AB = c     b Xác định điểm I thỏa mãn hệ thức: 2a IA  b IB  c2 IC  ; Tìm điểm M: biểu 2 2 2 thức 2a MA  b MB  c MC đạt giá trị lớn b BH  c CH Do đó: C H  2 Giải phương trình:  6 x   x   x  x ĐK: x  0,25 1,25    b BH  c CH  Từ có (2a IA  b IB2  c IC2 )  3b c     Mặt khác xMA  x(IA  IM)  x(IM  IA  2IA.IM) Tương tự cho yMB2; zMC2 cộng đẳng thức lại ta có xMA  yMB2  zMC2  (x  y  z)IM  xIA  yIB2  zIC2 Thay số có: 2a MA  b MB2  c MC2  a IM  3b c  3b c Dấu xảy M trùng I a 0,25 0,25      Suy b IB  c IC  b IH  c IH  a IH     Kết hợp giả thiết suy 2a IA  a IH hay 2.IA  IH Do điểm I thỏa mãn gt I thỏa mãn A trung điểm IH     Với x, y, z tùy ý thỏa mãn: x.IA  y.IB  z.IC  (*) bình phương vơ hướng vế   (*), ý 2IA.IB  IA  IB2  AB2 ta có: (x.IA  y.IB2  z.IC2 )(x  y  z)  xyc  xzb  yza 0,25 Kẻ đường cao AH, ta có b  a.CH;c  a.BH nên A B 0,25  (*) 1 ;x   2 0,25 0,25 0,25 0,25 1,25 0,25 (*)  (3x  1)  (2x  1)  2(3x  1) 2x    (3x  1)  (2x  1)  (10x  8x)   3x   2x    x 1 2 ThuVienDeThi.com 0,25  2x   2x  2(a)   2x   4x(b) 0,25 Giải(a) đối chiếu ĐK có nghiệm x  4  4  Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  xyz Chứng minh rằng: 0,25 Giải (b) vơ nghiệm Kết luận (*) có nghiệm x  0,25   y2   z2    xyz (I) y z 1,25 b   x2 x Giả thiết suy ra: 1    Ta Có: xy yz zx  1  1   1  1 x2 1 1  2              ;"  "  y  z x x xy yz zx  x y  x z   x y z  Viết hai BĐT tương tự cộng lại ta được:  1 1   x2   y   z        ;"  "  x  y  z x y z x y z  1 1 2 Ta CM:      xyz  xy  yz  zx   xyz   x  y  z  x y z  x  y   y  z   z  x   Điều luông 2 0,25 0,25 0,25 Dấu có x=y=z Vậy (I) CM, dấu có x=y=z= Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 ...ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013 Câu Ý Nội dung Điểm Cho hàm số y  x  x  hàm số y   x  m ... (2x  1)  (10x  8x)   3x   2x    x 1 2 ThuVienDeThi.com 0,25  2x   2x  2(a)   2x   4x(b) 0,25 Giải(a) đối chiếu ĐK có nghiệm x  4  4  Cho x, y, z số thực dương thỏa... luông 2 0,25 0,25 0,25 Dấu có x=y=z Vậy (I) CM, dấu có x=y=z= Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa ThuVienDeThi.com 0,25 0,25