Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Hải Dương lớp 12 THPT năm học 2013 – 2014 môn thi: Toán25435

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 22 tháng 10 năm 2013 (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I (2,0 điểm) 1) Cho hàm số y  x3  2mx  x (1) đường thẳng () : y  2mx  (với m tham số) Tìm m để đường thẳng () đồ thị hàm số (1) cắt ba điểm phân biệt A, B, C cho diện tích tam giác OBC 17 (với A điểm có hồnh độ khơng đổi O gốc toạ độ) 2x  có đồ thị (C) đường thẳng d: y  2 x  m Chứng minh d cắt (C) x2 hai điểm A, B phân biệt với số thực m Gọi k1 , k hệ số góc tiếp tuyến 2) Cho hàm số y  (C) A B Tìm m để P = k1 2013  k 2013 đạt giá trị nhỏ Câu II (2,0 điểm)   1) Giải phương trình: sin x  cos x  sin  x  2) Giải hệ phương trình: Câu III (2,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức:    1 4   3 xy  y   x 1  x   x (9 y  1)  4( x  1) x  10  S 1 1      1.0!.2013! 2.1!.2012! 3.2!.2011! 4.3!.2010! 2014.2013!.0!  u1   n 2) Cho dãy số (un) thỏa mãn:  (n  N *) Tìm lim   k 1 u k u  u  u  n  n 1 n    Câu IV (3,0 điểm) ฀ B  SAC ฀ ฀ 1) Cho khối chóp S ABC có SA = 2a, SB = 3a, SC = 4a, AS  900 , BSC  1200 Gọi M, N đoạn SB SC cho SM = SN = 2a Chứng minh tam giác AMN vng Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SAB ) theo a 2) Cho tứ diện ABCD cạnh a, hai điểm M, N chạy tương ứng đoạn AB CD cho BM = DN Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ MN Câu V (1,0 điểm) Cho số thực x, y, z thỏa mãn: xyz  2 Chứng minh rằng: x8  y8 y8  z8 z  x8 8   x4  y4  x2 y2 y4  z4  y2 z2 z4  x4  z2 x2 …………… Hết……………… Họ tên thí sinh:…………………………………………Số báo danh: ………………… Chữ ký giám thị 1:………………………….Chữ ký giám thị 2: ThuVienDeThi.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 22 tháng 10 năm 2013 HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) (Điểm tồn lấy điểm lẻ đến 0,25; thí sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa) Câu Nội dung I1 1) Cho hàm số y  x3  2mx  3x (1) đường thẳng () : y  2mx  (với m tham 1,0đ số) Tìm m để đường thẳng () đồ thị hàm số (1) cắt ba điểm phân biệt A, Điểm B, C cho diện tích tam giác OBC 17 (với A điểm có hồnh độ khơng đổi O gốc toạ độ) Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số (1) (  ) nghiệm phương trình: x3  2mx  x  2mx   x3  2mx  (2m  3) x   x   ( x  1)  x  (2m  1) x       x  (2m  1) x   0(2) 0,25 Vậy () đồ thị hàm số (1) cắt ba điểm phân biệt  phương trình (2) có hai (2m  1)    m  nghiệm phân biệt x     m    2  Khi đó, ba giao điểm A(1;2m-2), B( x1 ;2mx1  2), C( x2 ;2mx2  2) , x1 ; x nghiệm phương trình (2) nên x1  x  2m  1, x1x  2 0,25 BC.d Trong d = d(O; ) = 1+4m BC  ( x2  x1 )  (2mx2  2mx1 )  ( x1  x2 )  x1 x2  4m  1 Tam giác OBC có diện tích S   BC  2m  1  8 4m  1   I2 1,0đ S 2m  1 8 Vậy S = 17  m  4m  4m   17   (TM) m  2 2) Cho hàm số y  2x  có đồ thị (C) đường thẳng d: y = - 2x + m Chứng minh x2 0,25 0,25 d cắt (C) hai điểm A, B phân biệt với số thực m Gọi k1 , k hệ số góc tiếp tuyến (C) A B Tìm m để P = k1 2013  k 2013 đạt giá trị nhỏ Xét phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C) d:  x  2 2x   2 x  m   x2 2 x  (6  m) x   2m  0(*) ThuVienDeThi.com 0,25 Xét phương trình (*), ta có:   0, m  R x = -2 không nghiệm (*) nên d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B với m 0,25 Hệ số góc tiếp tuyến A, B k1  1 , x1 , x nghiệm phương trình (*), ta thấy , k2  ( x  1) ( x1  1) k1 k  x1  22 x2  22  x1 x2  x1  x2  42  (k1>0, k2>0) 0,25 Có P = k1 2013  k 2013  k1 k 2013  2014 , dó MinP = 22014 đạt k1  k  1   ( x1  2)  ( x  2) 2 ( x1  2) ( x  2) x1 , x phân biệt nên ta có x1 +2 = - x2 -  x1 + x2 = -  m = - Vậy m = - giá trị cần tìm II1 1,0đ 0,25  1) Giải phương trình: sin x  cos x  sin  x    (1)  4 PT(1)  2sin2x.cos2x + 2cos22x =4(sinx – cosx)  (cosx – sinx) (cos x  sin x)(sin x  cos x)  2  *) cos x  sin x   x   k 0,25 0,25 *) (cosx + sinx)(sin2x + cos2x) + =  cosx + sin3x + = (2) cos x  1  hệ vô nghiệm sin x  1 0,25 *) Vì cos x  1; sin 3x  1, x nên (2)   Vậy PT có nghiệm là: x  II2 1,0đ 2) Giải hệ phương trình:  0,25  k (k  Z )  (1) 3 xy  y   x 1  x   x (9 y  1)  4( x  1) x  10(2)    ĐK: x  NX: x = không TM hệ PT Xét x > PT (1)  y  y y   x 1  x x  y  y (3 y )   x  0,25      (3) x  x Từ (1) x > ta có: y > Xét hàm số f(t)= t + t t  , t > Ta có: f’(t) = + t   t2 t2 1 >0 Suy f(t) đồng biến (0,+∞)     3y = x  x PT(3)  f(3y)= f  ThuVienDeThi.com 0,25 Thế vào pt(2) ta PT: x  x  4( x  1) x  10 Đặt g(x)= x  x  4( x  1) x  10 , x > Ta có g’(x) > với x >  g(x) hàm số đồng biến khoảng (0,+∞) 0,25 Ta có g(1) = Vậy pt g(x) = có nghiệm x = Với x =1  y = 3 KL: Vậy hệ có nghiệm nhất: (1; ) III1 1) Rút gọn biểu thức: 1,0đ S 0,25 1 1 1        1.0!.2013! 2.1!.2012! 3.2!.2011! 4.3!.2010! (k  1).k!.(2013  k )! 2014.2013!.0! 2013 Ck  S 2013!  2013 k  ( k  1).k!.(2013  k )! k 0 k  2013 +) Ta có: S   +) Ta có: k C 2013 C k 1 2013! 2014!    2014 k  (k  1)!.(2013  k )! 2014.(k  1)!2014  (k  1)! 2014 (k =0;1;…;2013) k 1 C 2014 2014 k  C 2014  2014 k 1 k  2014 0,25 0,25 2013 +) Do đó: S.2013!=  +) S.2013! = III2 1,0đ 0,25 2014  1 2014   S  2014! 2014   0,25   u  n   2) Cho dãy số (un) thỏa mãn:  (n  N *) Tìm lim    k 1 u k  u  u  u  n  n 1 n +) Ta có: u n 1  u n  (u n2  4u n  4)  0, n  Dãy không giảm Nếu có số M: un  M với n, tồn limun = L Vì un  u1  L  u1 +) Khi ta có: L = L2 – L +  L = (Vô lý)  limun =   1 +) Ta có: u n2  2u n   2u n 1  u n (u n  2)  2(u n 1  2)   u n (u n  2) 2(u n 1  2) 1 1 1       ( n  N * ) u n  u n u n 1  u n u n  u n 1  +) Do đó:  n 1 1      lim  u1  u n 1  k 1 u k  k 1 u k n   = 2 u   IV1 ฀ B  SAC ฀ ฀ 1) Cho khối chóp S ABC SA  2a, SB  3a, SC  4a, AS  900 , BSC  1200 1,5đ Gọi M, N đoạn SB SC cho SM = SN = 2a Chứng minh tam giác AMN vng Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SAB ) theo a ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 S Dùng ĐL Cosin tính được: S A 0,25 MN = 2a N A N C M H M B AM= 2a , AN=2a (Tam giác vng SAC có SC=2SA nên góc ASC = 600)  tam 0,25 giác AMN vuông A Gọi H trung điểm MN, SA = SM = SN tam giác AMN vuông A 0,25  SH  ( AMN ) ; tính SH = a Tính VS AMN  0,25 VS AMN VS ABC 0,25 2a 3 SM SN    VS ABC  2a SB.SC IV2 0,25 3VS ABC 6a   a Vậy d (C ;( SAB ))  S SAB 3a 2) Cho tứ diện ABCD cạnh a, hai điểm M, N chạy tương ứng đoạn AB 1,5đ đoạn CD cho BM = DN Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ MN +) Đặt BM DN  x , với  x    x Khi ta có: BM  x.BA DN  x.DC BA DC +) Ta có: DN  x.DC  BN  BD  x( BC  BD)  BN  x.BC  (1  x).BD 0,25 0,25 Do đó: MN  BN  BM  x.BC  (1  x).BD  x.BA +) MN2 = x a  (1  x) a  x a  x(1  x) a2 a2 a2  x  x(1  x) 2 0,25 = a2 x  (1  x)  x  x(1  x)  x  x(1  x) = (2x2 – 2x + 1)a2 +) Xét hàm số f(x) = 2x2 – 2x + đoạn 0;1 ta có: 0,25 1 max f ( x)  f (0)  f (1)  1, f ( x)  f ( )  2 +) MN đạt giá trị nhỏ a M, N trung điểm AB, CD +) MN đạt giá trị lớn a M  B, N  D M  A, N  C ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 Cho số thực x, y, z thỏa mãn: x.y.z = 2 V 1,0đ Chứng minh rằng: x8  y8 y8  z8 z  x8 8   x4  y4  x2 y2 y4  z4  y2 z2 z4  x4  z2 x2 +) Đặt a = x2, b = y2, c = z2 , từ giả thiết ta có: a>0, b>0, c>0 a.b.c = Do ab  0,25 a2  b2 3(a  b ) nên a  b  ab  Dấu“=”có  a=b 2 +) Ta có: a4  b4 a4  b4 a4  b4  Ta chứng minh:  (a  b ) (1) 2 3 a  b  ab a  b2 a  b2 2    0,25  Thật vậy: (1)  2( a  b )  (a  b )  (a2 – b2)2  (luôn đúng) a4  b4  (a  b ) Dấu“=”có  a2=b2  a=b 2 a  b  ab Do ta được: +) Áp dụng BĐT ta có: b4  c4  (b  c ) Dấu“=”có  b=c 2 b  c  bc 0,25 c4  a4  (c  a ) Dấu“=”có  c=a 2 c  a  ca Cộng vế BĐT ta được: a4  b4 b4  c4 c4  a4  (a  b  c ) (2) Dấu“=”có  a=b=c   2 2 2 a  b  ab b  c  bc c  a  ca +) Theo BĐT Cơ-si ta có: 2 (a  b  c )  2.3 a b c  Dấu“=”có  a=b=c Do ta có ĐPCM Dấu đẳng thức xảy  x  y  z  ThuVienDeThi.com 0,25 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 22 tháng 10 năm 2013 HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm... 2013! 2014!    2014 k  (k  1)!. (2013  k )! 2014. (k  1)!? ?2014  (k  1)! 2014 (k =0;1;… ;2013) k 1 C 2014 2014 k  C 2014  2014 k 1 k  2014 0,25 0,25 2013 +) Do đó: S .2013! =  +) S .2013! ... 1.0! .2013! 2.1!.2 012! 3.2!.2011! 4.3!.2010! (k  1).k!. (2013  k )! 2014 .2013! .0! 2013 Ck  S 2013!   2013 k  ( k  1).k!. (2013  k )! k 0 k  2013 +) Ta có: S   +) Ta có: k C 2013 C k 1 2013!