SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 22 tháng 10 năm 2013 (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I (2,0 điểm) 1) Cho hàm số y x3 2mx x (1) đường thẳng () : y 2mx (với m tham số) Tìm m để đường thẳng () đồ thị hàm số (1) cắt ba điểm phân biệt A, B, C cho diện tích tam giác OBC 17 (với A điểm có hồnh độ khơng đổi O gốc toạ độ) 2x có đồ thị (C) đường thẳng d: y 2 x m Chứng minh d cắt (C) x2 hai điểm A, B phân biệt với số thực m Gọi k1 , k hệ số góc tiếp tuyến 2) Cho hàm số y (C) A B Tìm m để P = k1 2013 k 2013 đạt giá trị nhỏ Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: sin x cos x sin x 2) Giải hệ phương trình: Câu III (2,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: 1 4 3 xy y x 1 x x (9 y 1) 4( x 1) x 10 S 1 1 1.0!.2013! 2.1!.2012! 3.2!.2011! 4.3!.2010! 2014.2013!.0! u1 n 2) Cho dãy số (un) thỏa mãn: (n N *) Tìm lim k 1 u k u u u n n 1 n Câu IV (3,0 điểm) B SAC 1) Cho khối chóp S ABC có SA = 2a, SB = 3a, SC = 4a, AS 900 , BSC 1200 Gọi M, N đoạn SB SC cho SM = SN = 2a Chứng minh tam giác AMN vng Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SAB ) theo a 2) Cho tứ diện ABCD cạnh a, hai điểm M, N chạy tương ứng đoạn AB CD cho BM = DN Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ MN Câu V (1,0 điểm) Cho số thực x, y, z thỏa mãn: xyz 2 Chứng minh rằng: x8 y8 y8 z8 z x8 8 x4 y4 x2 y2 y4 z4 y2 z2 z4 x4 z2 x2 …………… Hết……………… Họ tên thí sinh:…………………………………………Số báo danh: ………………… Chữ ký giám thị 1:………………………….Chữ ký giám thị 2: ThuVienDeThi.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 22 tháng 10 năm 2013 HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) (Điểm tồn lấy điểm lẻ đến 0,25; thí sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa) Câu Nội dung I1 1) Cho hàm số y x3 2mx 3x (1) đường thẳng () : y 2mx (với m tham 1,0đ số) Tìm m để đường thẳng () đồ thị hàm số (1) cắt ba điểm phân biệt A, Điểm B, C cho diện tích tam giác OBC 17 (với A điểm có hồnh độ khơng đổi O gốc toạ độ) Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số (1) ( ) nghiệm phương trình: x3 2mx x 2mx x3 2mx (2m 3) x x ( x 1) x (2m 1) x x (2m 1) x 0(2) 0,25 Vậy () đồ thị hàm số (1) cắt ba điểm phân biệt phương trình (2) có hai (2m 1) m nghiệm phân biệt x m 2 Khi đó, ba giao điểm A(1;2m-2), B( x1 ;2mx1 2), C( x2 ;2mx2 2) , x1 ; x nghiệm phương trình (2) nên x1 x 2m 1, x1x 2 0,25 BC.d Trong d = d(O; ) = 1+4m BC ( x2 x1 ) (2mx2 2mx1 ) ( x1 x2 ) x1 x2 4m 1 Tam giác OBC có diện tích S BC 2m 1 8 4m 1 I2 1,0đ S 2m 1 8 Vậy S = 17 m 4m 4m 17 (TM) m 2 2) Cho hàm số y 2x có đồ thị (C) đường thẳng d: y = - 2x + m Chứng minh x2 0,25 0,25 d cắt (C) hai điểm A, B phân biệt với số thực m Gọi k1 , k hệ số góc tiếp tuyến (C) A B Tìm m để P = k1 2013 k 2013 đạt giá trị nhỏ Xét phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C) d: x 2 2x 2 x m x2 2 x (6 m) x 2m 0(*) ThuVienDeThi.com 0,25 Xét phương trình (*), ta có: 0, m R x = -2 không nghiệm (*) nên d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B với m 0,25 Hệ số góc tiếp tuyến A, B k1 1 , x1 , x nghiệm phương trình (*), ta thấy , k2 ( x 1) ( x1 1) k1 k x1 22 x2 22 x1 x2 x1 x2 42 (k1>0, k2>0) 0,25 Có P = k1 2013 k 2013 k1 k 2013 2014 , dó MinP = 22014 đạt k1 k 1 ( x1 2) ( x 2) 2 ( x1 2) ( x 2) x1 , x phân biệt nên ta có x1 +2 = - x2 - x1 + x2 = - m = - Vậy m = - giá trị cần tìm II1 1,0đ 0,25 1) Giải phương trình: sin x cos x sin x (1) 4 PT(1) 2sin2x.cos2x + 2cos22x =4(sinx – cosx) (cosx – sinx) (cos x sin x)(sin x cos x) 2 *) cos x sin x x k 0,25 0,25 *) (cosx + sinx)(sin2x + cos2x) + = cosx + sin3x + = (2) cos x 1 hệ vô nghiệm sin x 1 0,25 *) Vì cos x 1; sin 3x 1, x nên (2) Vậy PT có nghiệm là: x II2 1,0đ 2) Giải hệ phương trình: 0,25 k (k Z ) (1) 3 xy y x 1 x x (9 y 1) 4( x 1) x 10(2) ĐK: x NX: x = không TM hệ PT Xét x > PT (1) y y y x 1 x x y y (3 y ) x 0,25 (3) x x Từ (1) x > ta có: y > Xét hàm số f(t)= t + t t , t > Ta có: f’(t) = + t t2 t2 1 >0 Suy f(t) đồng biến (0,+∞) 3y = x x PT(3) f(3y)= f ThuVienDeThi.com 0,25 Thế vào pt(2) ta PT: x x 4( x 1) x 10 Đặt g(x)= x x 4( x 1) x 10 , x > Ta có g’(x) > với x > g(x) hàm số đồng biến khoảng (0,+∞) 0,25 Ta có g(1) = Vậy pt g(x) = có nghiệm x = Với x =1 y = 3 KL: Vậy hệ có nghiệm nhất: (1; ) III1 1) Rút gọn biểu thức: 1,0đ S 0,25 1 1 1 1.0!.2013! 2.1!.2012! 3.2!.2011! 4.3!.2010! (k 1).k!.(2013 k )! 2014.2013!.0! 2013 Ck S 2013! 2013 k ( k 1).k!.(2013 k )! k 0 k 2013 +) Ta có: S +) Ta có: k C 2013 C k 1 2013! 2014! 2014 k (k 1)!.(2013 k )! 2014.(k 1)!2014 (k 1)! 2014 (k =0;1;…;2013) k 1 C 2014 2014 k C 2014 2014 k 1 k 2014 0,25 0,25 2013 +) Do đó: S.2013!= +) S.2013! = III2 1,0đ 0,25 2014 1 2014 S 2014! 2014 0,25 u n 2) Cho dãy số (un) thỏa mãn: (n N *) Tìm lim k 1 u k u u u n n 1 n +) Ta có: u n 1 u n (u n2 4u n 4) 0, n Dãy không giảm Nếu có số M: un M với n, tồn limun = L Vì un u1 L u1 +) Khi ta có: L = L2 – L + L = (Vô lý) limun = 1 +) Ta có: u n2 2u n 2u n 1 u n (u n 2) 2(u n 1 2) u n (u n 2) 2(u n 1 2) 1 1 1 ( n N * ) u n u n u n 1 u n u n u n 1 +) Do đó: n 1 1 lim u1 u n 1 k 1 u k k 1 u k n = 2 u IV1 B SAC 1) Cho khối chóp S ABC SA 2a, SB 3a, SC 4a, AS 900 , BSC 1200 1,5đ Gọi M, N đoạn SB SC cho SM = SN = 2a Chứng minh tam giác AMN vng Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SAB ) theo a ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 S Dùng ĐL Cosin tính được: S A 0,25 MN = 2a N A N C M H M B AM= 2a , AN=2a (Tam giác vng SAC có SC=2SA nên góc ASC = 600) tam 0,25 giác AMN vuông A Gọi H trung điểm MN, SA = SM = SN tam giác AMN vuông A 0,25 SH ( AMN ) ; tính SH = a Tính VS AMN 0,25 VS AMN VS ABC 0,25 2a 3 SM SN VS ABC 2a SB.SC IV2 0,25 3VS ABC 6a a Vậy d (C ;( SAB )) S SAB 3a 2) Cho tứ diện ABCD cạnh a, hai điểm M, N chạy tương ứng đoạn AB 1,5đ đoạn CD cho BM = DN Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ MN +) Đặt BM DN x , với x x Khi ta có: BM x.BA DN x.DC BA DC +) Ta có: DN x.DC BN BD x( BC BD) BN x.BC (1 x).BD 0,25 0,25 Do đó: MN BN BM x.BC (1 x).BD x.BA +) MN2 = x a (1 x) a x a x(1 x) a2 a2 a2 x x(1 x) 2 0,25 = a2 x (1 x) x x(1 x) x x(1 x) = (2x2 – 2x + 1)a2 +) Xét hàm số f(x) = 2x2 – 2x + đoạn 0;1 ta có: 0,25 1 max f ( x) f (0) f (1) 1, f ( x) f ( ) 2 +) MN đạt giá trị nhỏ a M, N trung điểm AB, CD +) MN đạt giá trị lớn a M B, N D M A, N C ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 Cho số thực x, y, z thỏa mãn: x.y.z = 2 V 1,0đ Chứng minh rằng: x8 y8 y8 z8 z x8 8 x4 y4 x2 y2 y4 z4 y2 z2 z4 x4 z2 x2 +) Đặt a = x2, b = y2, c = z2 , từ giả thiết ta có: a>0, b>0, c>0 a.b.c = Do ab 0,25 a2 b2 3(a b ) nên a b ab Dấu“=”có a=b 2 +) Ta có: a4 b4 a4 b4 a4 b4 Ta chứng minh: (a b ) (1) 2 3 a b ab a b2 a b2 2 0,25 Thật vậy: (1) 2( a b ) (a b ) (a2 – b2)2 (luôn đúng) a4 b4 (a b ) Dấu“=”có a2=b2 a=b 2 a b ab Do ta được: +) Áp dụng BĐT ta có: b4 c4 (b c ) Dấu“=”có b=c 2 b c bc 0,25 c4 a4 (c a ) Dấu“=”có c=a 2 c a ca Cộng vế BĐT ta được: a4 b4 b4 c4 c4 a4 (a b c ) (2) Dấu“=”có a=b=c 2 2 2 a b ab b c bc c a ca +) Theo BĐT Cơ-si ta có: 2 (a b c ) 2.3 a b c Dấu“=”có a=b=c Do ta có ĐPCM Dấu đẳng thức xảy x y z ThuVienDeThi.com 0,25 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 22 tháng 10 năm 2013 HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm... 2013! 2014! 2014 k (k 1)!. (2013 k )! 2014. (k 1)!? ?2014 (k 1)! 2014 (k =0;1;… ;2013) k 1 C 2014 2014 k C 2014 2014 k 1 k 2014 0,25 0,25 2013 +) Do đó: S .2013! = +) S .2013! ... 1.0! .2013! 2.1!.2 012! 3.2!.2011! 4.3!.2010! (k 1).k!. (2013 k )! 2014 .2013! .0! 2013 Ck S 2013! 2013 k ( k 1).k!. (2013 k )! k 0 k 2013 +) Ta có: S +) Ta có: k C 2013 C k 1 2013!