Toán học Phương trình hàm trên N34714

Ph ng trình hàm N D Tr n Nam D ng – HKHTN Tp HCM ng B u L c – THPT chuyên Tr n i Ngh a Tóm t t: Bài gi i thi u ph ng pháp k thu t gi i ph ng trình hàm t p r i r c nh N, Z, Q, Z2 … Cách ti p c n c a vi t Ví d – Phân tích – L i gi i – Nh n xét Ph n cu i m t s t p áp d ng t gi i M đ u M t ph ng trình hàm bao g m thành ph n chính: t p ngu n (mi n xác đ nh), t p đích (mi n giá tr ); ph ng trình hay h ph ng trình hàm; u ki n b sung cho hàm s (l p hàm) T ba thành ph n có nh ng phân lo i t ng ng Ph ng trình hàm N, ph ng trình hàm R, ph ng trình hàm Z2 …; ph ng trình hàm v i bi n t do, bi n t do, nhi u bi n t do, ph ng trình hàm chuy n đ i giá tr trung bình …; ph ng trình hàm l p hàm kh vi, ph ng trình hàm l p hàm liên t c, ph ng trình hàm đa th c … ây y u t quan tr ng c n xét đ n gi i ph ng trình hàm i u có th th y rõ qua ví d v ph ng trình hàm Cauchy Bài tốn t ng qt tìm t t c hàm s f: R  R tho mãn ph ng trình f(x+y) = f(x) + f(y) v i m i x, y thu c R, theo m t ngh a khơng có l i gi i, th nh ng v i nh ng gi i h n t p ngu n, t p đích, tính ch t c a hàm s (đ n u, liên t c, đa th c …) ph ng trình gi i đ c tr n v n Bài xét ph ng trình hàm v i hàm s xác đ nh N (hay Z, Q t p r i r c khác) gi i ph ng trình hàm xác đ nh m t t p đó, ta ph i hi u rõ c u trúc tính ch t c a t p h p i v i N, ta s ý đ n nh ng y u t sau: phép toán c ng nhân N; N đ c s p th t ; th t N t t; đ nh lý c b n c a s h c v phân tích m t s th a s nguyên t Th t N ph ng trình hàm Ví d Tìm t t c hàm s f: N*  N* cho (a) f(2) = 2; (b) f(mn) = f(m)f(n) v i m i m, n thu c N*; (c) f(m) < f(n) v i m i m < n (Putnam 1963) L i gi i: M t nh ng công c quan tr ng ta th ng s d ng gi i toán N* Nguyên lý quy n p toán h c Công c đ n gi n cho m t ph ng pháp hi u qu đ cơng phá tốn DeThiMau.vn (i) (ii) (iii) (iv) (v) f(1) = f(1.1) = f(1)f(1) => f(1) = f(4) = f(2.2) = f(2).f(2) = 2.2 = Ta có = f(2) < f(3) < f(4) = T đó, f(3) s nguyên d ng, suy f(3) = T ng t nh v y, f(6) = f(2)f(3) = 2.3 = nên t ta suy f(6) = c ng nh trên, suy f(5) = Ta ch ng minh f(n) = n b ng quy n p Th t v y, gi s có f(k) = k v i m i k  n Xét k = n+1 N u k ch n f(k) = f(2)f(k/2) = 2.(k/2) = k N u k l k+1 ch n f(k+1) = f(2)f((k+1)/2) = k+1 Và t b t đ ng th c k-1 = f(k-1) < f(k) < f(k+1) = k+1 ta suy f(k) = k Theo nguyên lý quy n p toán h c, ta có f(n) = n v i m i n nguyên d ng Trong l i gi i trên, s d ng hai tính ch t quan tr ng th t N* ph ng pháp quy n p tốn h c Tính ch t k - < f(k) < k+1 suy f(k) = k m t tính ch t r t quan tr ng đ c s d ng Trong l i gi i trên, s d ng hi u qu c ba u ki n i u s x y n u làm y u m t u ki n? Ví d Tìm t t c hàm s f: N*  N* cho (a) f(2) = 2; (b) f(mn) = f(m)f(n) v i m i m, n thu c N*, (m, n) = 1; (c) f(m) < f(n) v i m i m < n L i gi i: i m khác bi t so v i tốn u ki n (b) Chúng ta s khơng có đ c f(4) = f(2)f(2) = nh l i gi i tr c Chúng ta s c g ng ch ng minh r ng f(3) = 3, t suy f(6) = T đây, dùng tính ch t = f(3) < f(4) < f(5) < f(6) = ta suy f(4) = 4, f(5) = Ti p t c ta l i có f(10) = f(2)f(5) = 2.5 = 10 l i suy f(7) = 7, f(8) = 8, f(9) = … Nh th , m m u ch t ch ng minh f(3) = i u có th th c hi n đ b ng cách s d ng ba tính ch t đ nh sau: f(3)f(5) = f(15) < f(18) = f(2)f(9) < f(2)f(10) = f(2)f(2)f(5) = 4f(5) Suy f(3) < 4, t f(3) = N u ta thay đ i u ki n (a) ý có th x y tr hàm khơng có nghi m Ta xét ví d d i đây: ng h p ph Ví d Ch ng minh r ng không t n t i hàm s f: N*  N* cho (a) f(2) = 3; (b) f(mn) = f(m)f(n) v i m i m, n thu c N*, (m, n) = 1; (c) f(m) < f(n) v i m i m < n DeThiMau.vn c ng trình L i gi i: Gi s ng c l i, t n t i hàm s f tho mãn u ki n đ t f(3) = a S d ng b t đ ng th c 23 < 32 ta có 27 = f(2)3 = f(23) < f(32) = f(3)2 = a2, suy a > M t khác ta l i có 33 < 25 suy a3 < 243 < 343 = 73, t a < Nh v y ta ph i có a = Bây gi , ý 38 = 6561 < 8192 = 213, t 68 < 313 hay 28 < 35 mâu thu n 28 = 256, 35 = 243 Mâu thu n ch ng t u gi s ban đ u sai, t c k t lu n c a toán M t khác, rõ ràng hàm s f(n) = n2 tho mãn tính ch t (b), (c) u ki n f(2) = nghiên c u thêm v v n đ này, xét t p sau: Bài t p Tìm t t c hàm s f: N*  N* cho (a) f(2) = 2; (b) f(mn) = f(m)f(n) v i m i m, n thu c N*; (c) f(m) < f(n) v i m i m < n Bài t p Tìm t t c giá tr nguyên d ng k cho t n t i hàm s f: N*  N* tho mãn đ ng th i u ki n: (a) f(2) = k; (b) f(mn) = f(m)f(n) v i m i m, n thu c N*; (c) f(m) < f(n) v i m i m < n Trong t t c ví d t p xem xét trên, tính đ n u c a hàm s f đóng m t vai trị quan tr ng l i gi i th y rõ h n t m quan tr ng c a tính ch t này, ta có th ch r ng n u b tính đ n u, s có vơ s hàm s tho mãn u ki n (a), (b) C th , s d ng đ nh lý c b n c a s h c n = p1a1…pkak, ta có th cho f(2) = 2, f(pi) = qi v i qi nguyên d ng r i thác tri n hàm s f đ i v i h p s theo công th c f(n) = q1a1…qkak v i n = p1a1…pkak Trong ví d trên, c ng s d ng m t u ki n quan tr ng, đ c s d ng m t cách r t t nhiên (làm nh m t ng v vai trò c a nó) ó u ki n v t p đích Th c s , n u khơng có u ki n này, nh ng lý lu n < f(3) < suy f(3) = s khơng th c hi n đ c Vì th , t p d i ch c ch n s gây khó kh n cho nhi u ng i v t qua đ c nó, s hi u rõ h n đâu nh ng tính ch t quan tr ng đ gi i đ c ph ng trình hàm ban đ u Bài t p Tìm t t c hàm s f: N*  [1, ) cho (a) f(2) = 2; (b) f(mn) = f(m)f(n) v i m i m, n thu c N*; (c) f(m) < f(n) v i m i m < n Trong ph n trên, xem xét ng d ng c a th t N đ gi i ph ng trình hàm Chú ý Q, R m t s t p h p s khác c ng có th t , tính ch t đ c s d ng không ch th t , mà cịn tính “s ph n t DeThiMau.vn ti c t t d p sau” c a N D i đây, s xem xét ng d ng c a m t tính ch t khác a N, Nguyên lý s p th t t t C th m t t p b t k c a N có ph n nh nh t Tính ch t trơng có v r t đ n gi n th c vô hi u qu , ng đ ng v i Nguyên lý quy n p toán h c Chúng ta xem xét m t s ví d áp ng Ví d N u f: N*  N* hàm s tho mãn u ki n f(n+1) > f(f(n)) v i m i n nguyên d ng, ch ng minh r ng f(n) = n v i m i n thu c N* (IMO 1977) L i gi i: G i d ph n t nh nh t mi n giá tr c a f, t c d = { f(n): n  N*} Theo nguyên lý s p th t t t, d t n t i nh t G i m giá tr cho f(m) = d N u m > ta có d = f(m) > f(f(m-1)), mâu thu n V y m = Nh v y f(n) đ t giá tr nh nh t t i nh t m m = Bây gi xét t p h p {f(n): n  2} Ta có th ch ng minh t ng t nh m c tr c giá tr nh nh t c a t p f(2) H n n a, f(1) < f(2) theo cách ch n f(1) C th , n u f(1) = f(2) f(1) > f(f(1)) mâu thu n i u có th làm ti p t c đ nh n đ c f(1) < f(2) < f(3) … < f(n) < … (1) Chú ý r ng f(1)  i u c ng v i (1) suy r ng f(k)  k v i m i k nguyên d ng Gi s f(k) > k v i k Khi f(k)  k+1 S d ng (1) ta suy r ng f(k+1)  f(f(k)) Nh ng u mâu thu n v i u ki n đ Nh v y ta có f(k) = k v i m i k nguyên d ng M t cách gi i khác: C ng nh cách gi i ta ch ng t r ng f(1) giá tr nh nh t c a t p {f(n), n  N*} f(2) giá tr nh nh t c a {f(n), n  2} N u f(1) > ta có f(1)  f(f(1))  f(2) theo tính ch t nh nh t c a f(2) Nh ng u mâu thu n v i u ki n đ V y f(1) = Bây gi ta xét g(n) = f(n+1) – Ta th y r ng g(g(n)) = g((f(n+1)-1) = f(f(n+1)) – < f(n+2) – = g(n+1) Nh v y g tho mãn t t c nh ng u ki n mà f tho mãn i u ch ng t r ng g(1) = th f(2) = B ng quy n p, ta ch ng minh đ c r ng f(n) = n v i m i n Các tính ch t s h c c a N ph ng trình hàm Ngồi phép tốn c b n tính th t , t p h p s t nhiên có nhi u tính ch t s h c thú v , ví d đ nh lý c b n c a s h c, v n đ bi u di n s (additive number theory), s chia h t, phép chia Euclid … T t c tính ch t DeThiMau.vn có th ng d ng vi c gi i ph d minh ho ng trình hàm Chúng ta xem xét m t s ví Ví d Tìm t t c hàm f: N  N tho mãn u ki n a) f(m2 + n2) = f2(m) + f2(n) v i m i m, n thu c N b) f(1) > L i gi i: Cho m = n = vào ph ng trình hàm, ta đ c f(0) = 2f2(0) N u f(0)  t suy f(0) = 1/2, u mâu thu n f nh n giá tr N V y f(0) = u d n đ n f(m2) = f2(m) Ta có th vi t a) d i d ng f(m2+n2) = f2(m) + f2(n) = f(m2) + f(n2) Ta c ng ý r ng f(1) = f(12) = f2(1) Vì f(1) > nên f(1) = T suy f(2) = f(12+12) = f2(1) + f2(1) = 2; f(4) = f(22) = f2(2) = 4; f(5) = f(22+12) = f2(2) + f2(1) = 5; f(8) = f(22+22) = f2(2) + f2(2) = H n n a, ta th y r ng 25 = f2(5) = f(52) = f(32+42) = f2(3) + f2(4) = f2(3) + 16, t suy f(3) = T ta l i có f(9) = f(32) = f2(3) = 9; f(10) = f(32+12) = f2(3) + f2(1) = 10 S d ng đ ng th c 72 + 12 = 52 + 52, bi t f(5), f(1), ta có th tính đ c f(7) = Cu i cùng, ta s d ng đ ng th c 102 = 62 + 82 đ thu đ c f(6) = Nh v y ta có f(n) = n v i m i n  10 Ta s d ng h ng đ ng th c sau (5k+1)2 + 22 = (4k+2)2 + (3k-1)2; (5k+2)2 + 12 = (4k+1)2 + (3k+2)2; (5k+3)2 + 12 = (4k+3)2 + (3k+1)2; (5k+4)2 + 22 = (4k+2)2 + (3k+4)2; (5k+5)2 = (4k+4)2 + (3k+3)2 V i k  3, ta th y r ng s h ng v ph i nh h n s h ng l n nh t v trái Các đ ng th c cho phép tính f(n) theo giá tr c a f t i m nh h n Ví d v i k = 2, t đ ng th c đ u tiên ta có f(112 + 22) = f(102 + 52) T tính đ c f(11) = 11 (Vì bi t f(2) = 2, f(10) = 10, f(5) = 5.) V y ta có th k t lu n r ng f(n) = n v i m i n thu c N Bài toán d i có th gi i đ c b ng k thu t t ng t Bài đ ng AMM n m 1999 đ c nhi u n c s d ng làm đ th ch n đ i n (Pháp 2004, Hà N i 2005, Vi t Nam 2005) Bài t p Tìm t t c hàm s f: Z  Z tho mãn ph f(a3 + b3 + c3) = f3(a) + f3(b) + f3(c) DeThiMau.vn ng trình v i m i a, b, c thu c Z Ví d Tìm t t c hàm s f: N*  N* tho mãn u ki n a) f toàn ánh; b) m | n ch f(m) | f(n) v i m i m, n nguyên d ng T ng t nh v y, v i ph ng trình hàm Z, Q, ta c n hi u rõ c u trúc c a t p h p ngu n đ xây d ng l i gi i D i ta xem xét m t s ví d v ph ng trình hàm Q Ví d Tìm t t c hàm s f: Q  Q tho mãn ph f(x+y) + f(x-y) = f(2x) v i m i x, y thu c Q ng trình L i gi i: ây m t ví d kinh n Ví d Tìm t t c hàm s f: Q+  Q+ tho mãn u ki n a) f(x+1) = f(x) + v i m i x thu c Q+; b) f(x3) = f3(x) v i m i x thu c Q+ L i gi i: T b), cho x = suy f(1) = B ng quy n p, d dàng ch ng minh đ c r ng f(n) = n v i m i n thu c N*, h n n a, f(x+n) = f(x) + n v i m i n nguyên d ng Xét x = p/q Ta ch ng minh r ng f(x) = x Th t v y, ta có (x + q2)3 = x3 + 3(p/q)2q2 + 3(p/q)q4 + q6 = x3 + (3p2 + 3pq3 + q6) đây, s h ng ngo c s nguyên d ng Áp d ng tính ch t a), u v a ch ng minh nói trên, ta có (1) f((x + q2)3) = f(x3 + (3p2 + 3pq3 + q6)) = f(x3) + 3p2 + 3pq3 + q6 Áp d ng tính ch t b) ta có (1) có th vi t l i thành (f(x) + q2)3 = f3(x) + 3p2 + 3pq3 + q6 ây m t ph ng trình b c theo f(x) Gi i ra, ý r ng f(x) > 0, ta đ c f(x) = p/q = x M t k thu t hi u qu khác đ gi i ph ng trình hàm s d ng m b t đ ng N u X m t t p h p f: X  X m t ánh x m x đ c g i m b t đ ng c a f n u f(x) = x S t n t i m b t đ ng có th giúp gi i quy t m t s tốn Ví d Tìm t t c hàm s f: N  N tho mãn ph ng trình hàm f(m+f(n)) = f(f(m)) + f(n), v i m i m, n thu c N (IMO 1996) H đ m c s ph ng trình hàm DeThiMau.vn Bài tốn ph ng trình hàm N, m t ph ng di n đó, có th coi tốn v dãy s Vì v y, d i đây, xem xét m t s ng d ng c a h đ m c s toán dãy s H đ m c s có th dùng đ xây d ng nhi u dãy s có tính ch t r t thú v Nhìn ph ng di n c a m t c s khác, có th r t khó nh n quy lu t, nh ng n u ch n c s tốn tr nên vô đ n gi n Xin nh c l i v i b m t s nguyên d ng l n h n hay b ng m i s nguyên d ng N đ u có th bi u di n m t cách nh t d i d ng N = a1 ak (b) = a1bk-1 + + ak v i  a1  b-1,  a2, , ak  b-1 ó đ nh ngh a h đ m c s d ng c b n nh t Tuy nhiên, có th l y m t dãy s nguyên b t k (có tr t đ i t ng nghiêm ng t) làm h đ m c s ví d h đ m c s (-2), h đ m c s Fibonacci (3 = - + 1, 17 = 13 + + ) Các h đ m th m t vài ví d : ng s d ng nh t h đ m c s c s D i ta xét Ví d 10 (IMO 1983) Ch ng minh ho c ph đ nh m nh đ sau: T t p h p 105 s nguyên d ng đ u tiên ln có th ch n m t t p g m 1983 s cho khơng có ba s l p thành m t c p s c ng L i gi i: Ta ch ng minh m nh đ t ng quát: T 3n s t nhiên đ u tiên ln có th ch n 2n s cho khơng có ba s l p thành m t c p s c ng Th t v y, xét h đ m c s t p h p t t c s có  n ch s Ch n s mà bi u di n tam phân c a ch ch a ch s ch s Khi có 2n s nh v y khơng có ba s chúng l p thành m t c p s c ng Ví d 11 (Singapore 1995) Cho dãy s {fn} xác đ nh b i f1 = 1, f2n = fn f2n+1 = f2n+1 (i) Tính M = max{f1, , f1994} (ii) Tìm t t c giá tr n,  n  1994 cho fn = M L i gi i: Kinh nghi m m t chút ta th y fn t ng ch s c a n h đ m nh phân T 1994 < 2048 = 211 suy M = 10 Ví d 12 Dãy s {fn} đ c xác đ nh b i f1 = 1, f2n = 3fn, f2n+1 = f2n + Hãy tính f100 L i gi i: fn đ c xác đ nh nh sau: Xét bi u di n nh phân c a n r i tính giá tr c a s nh phân h tam phân Vì 100 = 26 + 25 + 22 nên f100 = 36 + 35 + 32 = 981 Ví d 13 Dãy s {an} đ c xác đ nh b i  a0 < 1, an = 2an-1 n u 2an-1 < an = 2an-1 - n u 2an-1  H i có giá tr a0 đ a5 = a0 DeThiMau.vn L i gi i: Phân tích Khi tính an theo an-1 ta có th “l a ch n“ m t hai công th c T t nhiên, v i a0 ch n r i t t c b c ti p theo đ u xác đ nh m t cách nh t Tuy nhiên, ta có th ch n a0 nh th đ sau cơng th c tính theo k ch b n cho Có 25 = 32 k ch b n nh v y Ví d v i k ch b n (1, 1, 2, 1, 2) ta có x1 = 2x0, x2 = 2x1 = 4x0, x3 = 2x2 - = 8x0-1, x4=2x3 = 16x0-2, x5=2x4-1 = 32x0-3 Gi i ph ng trình x0 = x5 ta đ c x0 = 3/31 T t nhiên, đ có đ c m t l i gi i hoàn ch nh, ta c n ph i l p lu n ch t ch đ th y r ng x0 thu đ c khác v i m i x0 thu đ c, dãy s s “đi” nh k ch b n đ nh Tuy nhiên, phân tích g i h ng đ n h nh phân Và ta có l i gi i đ p m t sau: N u a0 =0,d1d2d3 bi u di n nh phân c a a0 a1 = 0,d2d3d4 Th t v y, n u 2a0 < d1 = a1 = 2a0 = 0,d2d3d4 cịn n u 2a0  d1 = a1 = 2a0 - = 0,d2d3d4 Hoàn toàn t ng t , a2 = 0,d3d4d5 , , a5 = 0,d6d7d8 Nh v y a5 = a0 ch a0 phân s nh phân tu n hồn chu k Có 25 = 32 chu k tu n hoàn nh v y, chu k 11111 cho a0 = (lo i) V y t t c có 31 giá tr a0 tho mãn yêu c u đ ó 0,(00000), 0,(00001), , (0,11110) Tính sang h th p phân giá tr 0, 1/31, 2/31, , 30/31 Ví d 14 Hàm s f xác đ nh t p h p s nguyên d f(1) = 1, f(3) = 3, f(2n) = f(n) f(4n+1) = 2f(2n+1) – f(n) f(4n+3) = 3f(2n+1) – 2f(n) Tìm s giá tr n cho f(n) = n,  n  1988 ng nh sau (IMO 1988) Dãy s [n] ph ng trình hàm T ng t nh ph n tr c, tr c h t ta xét m t s v n đ lý thuy t v dãy s [n] Dãy s d ng xn = [n] có nhi u tính ch t s h c thú v N u  > {[n]}n 1 dãy s nguyên d ng phân bi t, có s bi n thiên g n gi ng m t c p s c ng nh ng l i không ph i m t c p s c ng Dãy s đ c bi t thú v  s vô t b c Ta có m t k t qu quen thu c sau đây: nh lý: N u ,  s vô t d ng tho mãn u ki n 1/ + 1/ = hai dãy s xn = [n], yn = [n], n=1, 2, 3, l p thành m t phân ho ch c a t p h p s nguyên d ng Ch ng minh: Xét hai dãy s , 2, 3, , 2, 3, Không m t s h ng s h ng s nguyên V i m i s nguyên d ng N, có [N/] s h ng c a dãy th nh t n m bên trái N [N/] s h ng c a dãy th hai Nh ng DeThiMau.vn N/ + N/ = N, ,  s vô t , ph n l c a s N/ N/ s d ng có t ng b ng (do đ ng th c trên) Suy có [N/] + [N/] = N - s h ng c a c hai dãy n m bên trái N Vì bên trái N+1 có N s h ng c a c hai dãy nên gi a N N+1 có m t s h ng c a m t hai dãy, t suy u ph i ch ng minh Hai dãy s vét h t t p h p s nguyên d ng i u cho m t h ng suy ngh : n u hai dãy s vét h t t p h p s ngun d ng có kh n ng chúng s có d ng Và nhi u tốn đ c xây d ng theo h ng Chúng ta xét m t ví d Ví d 15 (AMM) Gi s {fn} {gn} hai dãy s nguyên d ng đ c xác đ nh nh sau 1) f1 = 2) gn= na - - fn, a s nguyên l n h n 4, 3) fn+1 s nguyên d ng nh nh t khác s f1, f2, , fn, g1, g2, , gn Ch ng minh r ng t n t i h ng s , , cho fn = [n], gn = [n] v i m i n = 1, 2, 3, L i gi i: Theo cách xây d ng {fn} {gn} l p thành m t phân ho ch c a N* Gi s ta tìm đ c ,  tho mãn u ki n đ u bài, đó, ta ph i có 1/ + 1/ = Ngồi ra, n đ l n na - = fn + gn ~ n + n, suy  +  = a V y ,  ph i nghi m c a ph ng trình x2 - ax + a = Xét ph ng trình x2 - ax + a = có hai nghi m  <  Vì a > 4, ,  s vô t Dãy s {fn} {gn} đ c xác đ nh m t cách nh t, đ ch ng minh kh ng đ nh c a toán, ta ch c n ch ng minh {[n]} {[n]} tho mãn u ki n 1), 2), 3) Rõ ràng [] = 1, [n] = [n(a-)] = na + [-n)] = na - [n] - (do - n vô t ) Gi s [n] = [m] = k, đ t n = k + r, m = k + s v i < r, s < n + m = k(1/ + 1/) + r/ + s/ = k + r/ + s/, u không th x y < r/ + s/ < Nh v y v i m i m, n ta có [n]  [m] Ti p theo, [(n+1)]  [n] + 1, [(n+1)]  [n] + > [n] + Cu i gi s k m t s nguyên b t k n = [(k+1)/] N u n > k/ k < n < (k+1)/ = k+1 [n] = k N u n < k/ (k-n) > k - k/ = k(1-1/) = k, (k-n) < k - ((k+1)/ - 1) = k+1, suy [(k-n)] = k T nh n xét ta suy m i s nguyên d ng k có m t dãy s l n hai dãy s {[n]} {[n]} tho mãn u ki n 3) (đpcm) DeThiMau.vn Ghi chú: Trong l i gi i trên, ta không dùng đ n k t qu c a đ nh lý c ng m t cách ch ng minh khác cho đ nh lý Ví d 16 Tìm t t c hàm s h: N*  N* tho mãn u ki n h(h(n)) + h(n+1) = n+2 v i m i n thu c N* Bài t p Cho hàm s f: N*  N* t ng nghiêm ng t tho mãn u ki n Hãy tìm f(2001) f(f(n)) = 3n Tìm t t c hàm s f: N*  N* tho mãn u ki n f(f(n)) = 2n v i m i n Ch ng minh r ng t n t i hàm s f: N*  N* tho mãn u ki n f(f(n)) = n2 v i m i n (Ba Lan 1997) Hàm s f: N*  Z đ c xác đ nh nh sau f(1) = 0, f(n) = f([n/2]) + (-1)n(n+1)/2 v i m i n = 2, 3, … V i m i s t nhiên k, tìm s giá tr n cho 2k  n < 2k+1 f(n) = Cho hàm s f: [0, 1]  [0, 1] tho mãn u ki n sau i) f không gi m; ii) f(0) = 0, f(1) = 1; iii) f(1-x) = – f(x) v i m i x thu c [0, 1] iv) f(x/2) = x/3 Hãy tìm a) f(1/7), f(1/9), f(1/13); b)* Nêu ph ng pháp tìm f(x) v i x b t k cho tr c Tìm t t c hàm s f: N*  N* cho f(f(m) + f(n)) = m + n v i m i m, n thu c N* Tìm t t c hàm s f: N  N cho f(f(n)) + f(n) = 2n + v i m i n thu c N (IMO 1988 SL) Tìm t t c hàm s f: N*  N* cho f(m + f(n)) = n + f(m+1) v i m i m, n thu c N* Tìm t t c hàm s f: Z  Z tho mãn ph f(m+n) + f(m)f(n) = f(mn+1) DeThiMau.vn ng trình v i m i s nguyên m, n 10 Ch ng minh r ng không t n t i hàm s f: N  N cho f(f(n)) = n + 1987 (IMO 1987) 11 Hãy xác đ nh xem có t n t i hay không hàm s f: N*  N* cho a) f(1) = 2; b) f(f(n)) = f(n) + n v i m i n nguyên d ng; c) f(n) < f(n+1) v i m i n nguyên d ng (IMO 1993) 12 Xét t t c hàm s f: N*  N* tho mãn u ki n f(m2f(n)) = n(f(m))2 v i m i m, n nguyên d ng Tìm giá tr nh nh t c a f(1998) (IMO 1998) 13 Hàm s f(n) xác đ nh v i m i giá tr ngun d ngun khơng âm Ngồi ra, bi t r ng f(m+n) – f(m) – f(n) = ho c 1, f(2) = 0, f(3) > f(9999) = 3333 Hãy tìm f(1982) ng n nh n giá tr (IMO 1982) 14 Tìm t t c hàm s f: Z  Z cho v i m i s nguyên x, y, f(f(x) + y)) = x + f(y + 2006) (CH Séc 2006) 15 Xét t t c hàm s f: N*  N* tho mãn u ki n f(xf(y)) = yf(x) v i m i x, y nguyên d ng Hãy tìm giá tr nh nh t c a f(2007) (CH Séc 2007) 16 T n t i hay không m t song ánh f t N* vào N* tho mãn u ki n sau? i) f(n+2006) = f(n) + 2006 v i m i n thu c N*; ii) f(f(n)) = n + n u n = 1, 2, 3, …, 2004 iii) f(2549) > 2550 (Thái Lan 2006) 17 Cho f hàm s t N vào N tho mãn u ki n f(|f(n) – n|) + n  |f(n) – n| + v i m i n thu c n Ch ng minh r ng ph ng trình f(m) = có vơ s nghi m DeThiMau.vn 18 Cho f: N*  N* m t toàn ánh g: N*  N* m t đ n ánh cho v i m i n nguyên d ng ta có f(n)  g(n) Ch ng minh r ng f = g (Rumani 1988) 19 Cho f: N*  N* m t song ánh Ch ng minh r ng t n t i ba s nguyên d ng a, b, c cho a < b < c f(a) + f(c) = 2f(b) (Concours general 1995) 20 Xây d ng m t hàm s f: Q+  Q+ tho mãn u ki n f(xf(y)) = f(x)/y v i m i x, y s h u t d ng 21 Cho f: N*  N* cho a) V i m i a, b nguyên t f(ab) = f(a)f(b); b) V i m i p, q nguyên t , f(p+q) = f(p) + f(q) Ch ng minh r ng f(2) = 2, f(3) = f(1999) = 1999 (CH Ailen 1999) 22 Ch ng minh r ng không t n t i hàm s f: Z  Z cho v i m i x, y nguyên ta có f(x + f(y)) = f(x) – y (Cu c thi Tốn Áo-Ba Lan 1997) 23 Tìm t t c hàm s f: Q+  Q+ tho mãn u ki n f(x+1) = f(x) + f(x2) = f2(x) v i m i x h u t d ng (Ukraina 1997) 24 Ch ng minh r ng t n t i m t ch m t hàm s f: N*  N* cho v i m i m, n nguyên d ng f(m + f(n)) = n + f(m+95) Giá tr c a t ng 19  f (k ) b ng bao nhiêu? k 1 (IMO 1995 SL) 25 (Canada 1993) Cho y1, y2, y3 dãy s xác đ nh b i y1 = v i m i s nguyên d ng k y4k = 2y2k, y4k+1 = 2y2k+1, y4k+2 = 2y2k+1 + 1, y4k+3 = 2y2k+1 Ch ng minh r ng dãy s y1, y2, y3 nh n t t c giá tr nguyên d ng, m i giá tr m t l n 26 Gi s r ng sn dãy s nguyên d ng tho mãn u ki n  sn+m - sn - sm  K v i K m t s nguyên d ng cho tr c V i s nguyên d ng N có t n t i s th c a1, a2, aK cho DeThiMau.vn sn = [a1n] + + [aKn] v i m i n=1,2, N? 27 Cho a1 = 1, b1 = 2, c1 = G i S(n) t p h p s nguyên d ng ai, bi, ci v i i  n Xây d ng an, bn, cn nh sau: an+1 = s nguyên d ng nh nh t không thu c S(n); bn+1 = s nguyên d ng nh nh t không thu c S(n) khác an+1; cn+1 = an+1 + bn+1; G i dk dãy t ng ch s n cho bn=an+2 Ch ng minh r ng a) dk/k  k d n đ n vô b) N u B s nguyên (dk-6k)/2 = B v i vô s ch s k 28 (AMM) Các dãy s an, bn, cn đ c xác đ nh nh sau: a1 = 1, b1 = 2, c1 = an = s nguyên d ng nh nh t không thu c a1, , an-1, b1, , bn-1, c1, , cn-1 bn = s nguyên d ng nh nh t không thu c a1, , an-1, an, b1, , bn-1, c1, , cn-1 cn = 2bn + n - an Hãy ch ng minh ho c ph đ nh r ng < n(1+ ) - bn < v i m i n Tài li u tham kh o [1] B.J.Venkatachala, Functional Equations – A Problem Solving Approach, PRISM 2002 [2] Arthur Engel, Problem-Solving Strategies, Springer-Verlag, New York, 1998 [3] Titu Andreescu, Razvan Gelca, Mathematical Olympiad Challenges, Birkhauser 2000 [4] A Gardiner, The Mathematical Olympiad Hanbook, Oxford, 1997 [5] Titu Andreescu, Zuming Feng, Mathematical Olympiads 1998-1999, 19992000, 2000-2001, 2001-2002, 2002-2003, 2003-2004, MAA [6] Websites: www.diendantoanhoc.net, www.mathlinks.ro [7] Các t p chí AMM, Tốn h c tu i tr , Kvan, Komal DeThiMau.vn ... c hàm s f: N  N tho mãn ph ng trình hàm f(m+f(n)) = f(f(m)) + f(n), v i m i m, n thu c N (IMO 1996) H đ m c s ph ng trình hàm DeThiMau.vn Bài tốn ph ng trình hàm N, m t ph ng di n đó, có th... ng T ng t nh v y, v i ph ng trình hàm Z, Q, ta c n hi u rõ c u trúc c a t p h p ngu n đ xây d ng l i gi i D i ta xem xét m t s ví d v ph ng trình hàm Q Ví d Tìm t t c hàm s f: Q  Q tho mãn ph... ho ng trình hàm Chúng ta xem xét m t s ví Ví d Tìm t t c hàm f: N  N tho mãn u ki n a) f(m2 + n2) = f2(m) + f2(n) v i m i m, n thu c N b) f(1) > L i gi i: Cho m = n = vào ph ng trình hàm, ta