Toán học Phương trình bậc hai26010

§ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Định nghóa : Phương trình bậc hai ẩn phương trình dạng : ax2 + bx + c = ( a 0) Giải biện luận phương trình ax2 + bx + c =  Tính :  = b2 – 4ac  Neáu :  < , phương trình vô nghiệm  Nếu :  = , phương trình có nghiệm kép : x1  x2  Neáu :  > , phương trình có hai nghiệm phân biệt :  b  b ; x2  x1  2a 2a b 2a Chú ý:  Khi b số chẵn ta giải: / = b/2 – ac * Nếu : / < , phương trình vô nghiệm x2 * Nếu : / = , phương trình có nghiệm kép : x1  b/ a * Nếu : / > , phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1   b/ / a ; x2   b/ / a c a c  Neáu a – b + c = phương trình có nghiệm x1 = –1và x2 = – a  Nếu ax + bx + c = (1) có nghiệm x1, x2 (1)  a(x – x1)(x – x2) = Lưu ý : Nếu a có chứa tham số xét a =  Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = x2 = Ví dụ Giải biện luận phương trình : (m –1)x2 – 2mx + m – = Hướng dẫn giải  Xeùt m – =  m = 1, phương trình trở thành –2x =  x =  Khi m  1, ta coù / = 2m – 1 – Neáu 2m – =  m  , phương trình có nghiệm kép x1  x2 – Neáu 2m – >  m  , phương trình có hai nghiệm phân biệt m  2m m  2m x1  , x2  m 1 m 1 – Neáu 2m – <  m  , phương trình vô nghiệm Vậy : Nếu m = phương trình có nghiệm x = Nếu m  , phương trình có nghiệm kép x1  x2 Nếu m , phương trình có hai nghiệm phân biệt ThuVienDeThi.com x1  Neáu m  m  2m m  2m , x2  m 1 m 1 , phương trình vô nghiệm Ví dụ Giải biện luận phương trình : mx2 – 2(m – 2)x + m – = (1) Hướng dẫn giải  Nếu m = (1)  4x – =  x = Neáu m  Ta coù : / = (m – 2)2 – (m – 3)m = – m +  Neáu – m + <  m > / < : phương trình vô nghiệm  Neáu – m + =  m = / = : m 2 phương trình có nghiệm kép : x1  x2 m  Neáu – m + >  m < / > : phương trình phương trình có hai nghiệm m  m m  m phaân bieât: x1  ; x1  (*) m m  Kết luận : Nếu m = , phương trình có nghiệm : x = Nếu m > , phương trình vô nghiệm Nếu  m < , phương trình có hai nghiệm phân biệt ( *) Bài tập tương tự Giải biện luận phương trình sau: a) x2 – 2(m – 1)x + m2 + = c) mx2 + 2(m +1)x + m – = b) (m – 1)x2 + 4mx + 4m + = d) (m + 1)x2 – 2(m –1)x + m – =  MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Tìm điều kiện để phương trình : ax2 + bx + c = (1) a   Có hai nghiệm phân biệt     a   Có nghiệm kép     a  a   Có nghiệm   hoaëc   b  a  a b  Vô nghiệm     c  ThuVienDeThi.com Ví dụ Tìm m để phương trình : mx2 –2(m + 2)x + m + = (1) a) Có nghiệm b) Có hai nghiệm phân biệt c) Có nghiệm kép d) Vô nghiệm Hướng dẫn giải ( m = thoaû) Khi m  để phương trình có nghiệm : /   (m + 2)2 – m(m + 1)   3m +   m  – Vậy điều kiện để phương trình có nghiệm : m  – b) Để phương trình có hai nghiệm phân bieät m  m m  a 0    3m 2) m(m 1)  (m  m  a) Nếu m = ta có : (1)  –4x + =  x = c) Phương trình có nghiệm kép : m  a 0   (m  2) m(m 1)  m 3m d) Neáu m = ta coù : (1)  –4x + =  x = m   m  m ( m = loại) Khi m  để phương trình vô nghiệm : / <  (m + 2)2 – m(m + 1) <  3m + <  m <  Vậy điều kiện để phương trình vô nghiệm : m <  Ví dụ Tìm m để phương trình : (m + 2)x2 + 2(3m – 2)x +m +2 = Có nghiệm kép Tìm nghiệm kép Hướng dẫn giải Để phương trình có nghiệm kép : a  m   /  (3m 2) (m 2)  m  m m 2   m    2) m 8m(m  m   Khi m = ta coù : x1 = x2 = Khi m = ta coù : x1 = x2 = –1 m 8m 16m 0 ThuVienDeThi.com Ví dụ Cho phương trình : (m2 – 4)x2 + 2(m + 2)x + = (1) a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm m để phương trình có nghiệm Hướng dẫn giải a)  Xét a =  m2 – =  m =   Khi m = ta coù : (1)  8x + =  x = – ( m = thoả) Khi m = –2 ta có : (1)  0x + = ( PTVN) Khi a   m   phương trình có nghieäm : m m  m  2 m / (m 2) (m 4) 4m 8   Tóm lại phương trình có nghiệm m > –2 b)  Khi a= theo câu a) phương trình có nghiệm m =  Khi a  phương trình có nghiệm : m a  m  hệ vô nghieäm  /  4m m     Vậy phương trình có nghiệm m = Bài tập tương tự Tìm m để phương trình : –2(m + 1)x + m + = a) Có hai nghiêïm phân biệt b) Có nghiệm c) Có nghiệm kép d) Vô nghiệm Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân bieät a) (2m – 1)x2 + 2(2 – m)x – = b) (m – 1)x2 –2(m + 1)x + m – = c) (m – 1)x2 – (2 – m)x – = d) (4m + 1)x2 – 4mx + m – = Cho hai phương trình : x2 + mx + = vaø x2 + x + m = Tìm m để hai phương trình có nghiệm Tìm m để phương trình sau có nghiệm kép tính nghiệm kép a) x2 – 2mx + m + = b) x2 – (m + )x + 3m + = c) x2 – (2m + 3)x + m2 = d) (m + 1)x2 + 3(m – 2)x + m = e) (m + 3)x2 + 2(3m + 2)x + m + = f) (m – 1)x2 – 3(m – 1)x + = mx2 ThuVienDeThi.com Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm cho trước Ví dụ : a) Tìm m để phương trình : x2 + 5mx – 6m = có nghiệm x = , tìm nghiệm lại b) Tìm m để phương trình: x2 + 7mx + m2 + 11= có nghiệm x1 = , x2 = Hướng dẫn giải a) Để phương trình có nghiệm x = ta có :12 + 5m – 6m =  - m =  m = Thay m vào phương trình ta có : x2 + 5x + = Phương trình có nghiệm x = , x = – Vậy nghiệm lại x = – b) Để phương trình có nghiệm x1 = ta coù : 32 + 7m + m2 + 11 =  m2 + 21m + 20 = (1) Để phương trình có nghiệm x2 = ta coù : 42 + 7m + m2 + 11 =  m2 + 28m + 27 = (2)  m  m  10 m  21m 10  m  Từ (1) (2) ta có :  28m 27 m    m    m  27  Vậy m = –1 điều kiện cần tìm Ví dụ : Tìm m để phương trình : x2 + 5mx – 6m = (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả điều kiện : x12 – 7x1 + 10 = Tìm nghiệm x2 Hướng dẫn giải Ta có: x12 – 7x1 + 10 =  x1 =  x1 = Khi x1 = thay vào (1) ta có : 4m + =  m = –1 Thay m = –1 vaøo (1) x2 = 25 Khi x1 = thay vào phương trình (1) ta có : 19m + 25 =  m = – 19 Thay vào (1) ta có nghiệm x2  19 25 Vậy điều kiện cần tìm là: m = –1 , m = – 19 Ví dụ : Cho hai phương trình : x2 – x + m = (1) x2 – 3x + m = (2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm gấp hai lần môït nghiệm phương trình (2) Hướng dẫn giải ThuVienDeThi.com  m  m   Giả sử phương trình (1) có nghiệm x0 2x0 nghiệm (2) ta coù: (1)  x02 – x0 + m = (2)  (2x0)2 – 3.2x0 + m =  4x02 – 6x0 + m =  x0 m m x 02 x x   Vậy ta có hệ :  6x m m 4x 6x  4x  x0  2 Vaäy ta coù: – x0 + x0 = – 4x0 + 6x0  3x0 – 5x0 =   x0    1 4m  Để hai phương trình có nghiệm : 1 9 4m  m Khi x0 = ta có m = 10 Khi x0 = ta có m =  Vậy để phương trình (1) có nghiệm gấp hai lần nghiệm phương trình (2) m = 10 hoaëc m =  Bài tập tương tự Tìm m để phương trình : (m+ 1)x2 – 2(m – 1)x + m – = có nghiệm x = Tìm nghiệm lại Tìm m để phương trình : 2x2 – (m + 3)x + m – = có nghiệm x = Tìm nghiệm lại Cho hai phương trình : x2 – (4m + 1)x + 6m = (1) x2 + (m – 3)x + m = (2) Tìm m để phương trình có nghiệm gấp hai lần nghiệm phương trình (2) Tìm điều kiện để hai phương trình bậc hai có nghiệm Ví dụ Tìm tất giá trị m để hai phương trình : x2 – 2(m – 1)x + m2 – = x2 + 2x – m = có nghiệm GIẢI  /  Để hai phương trình có nghiệm thì:  /   2m m (m  1) m    m m  1 m Ví dụ Tìm tất giá trị m để hai phương trình : x2 + mx + = (1) ThuVienDeThi.com m x2 + x + m = (2) có nghiệm Hướng dẫn giải   Để hai phương trình có nghiệm khi:     m 2)(m 2) (m    m 4  m    m 1 4m   m  m Bài tập tương tự Tìm tất giá trị m để hai phương trình sau có nghiệm a) x2 + 2(m – 1)x + + m2 = vaø x2 + 4mx + 4m2 +1 = b) x2 – 2(m + 2)x + + m2 = vaø x2 + 2mx + m2 +1 = Tìm điều kiện để hai phương trình có nghiệm chung Ví dụ Cho hai phương trình : x2 + mx + = (1) vaø x2 + x + m = (2) Tìm m để hai phương trình có nghiệm chung Hướng dẫn giải Giả sử hai phương trình có nghiệm chung x Lấy (1) – (2) ta coù : x(m – 1) + – m =  (x – 1)(m – 1) =  x = hoaëc m = Khi m = ta có : (1) (2) trở thành phương trình : x2 + x + = Phương trình vô nghiệm 12  m Khi x = ta coù :   m lúc ta có : m 1  (1)  x 2x x (2)  x x x x Phương trình có nghiệm chung x = Vậy hai phương trình có nghiệm chung m = – Ví dụ Cho hai phương trình : x2 – x + m = (1) x2 – x + 3m = (2) Tìm m để hai phương trình có nghiệm chung Hướng dẫn giải Giả sử hai phương trình có nghiệm chung x Lấy (1) – (2) ta coù : m = Khi m = ta có : Hai phương trình (1) và(2) trở thành : x2 – x =  x = x = Vậy để hai phương trình có nghiệm chung m = Ví dụ Cho hai phương trình : (m – 1)x2 – x + m = ThuVienDeThi.com (1) (m – 1)x2 – mx + = (2) Tìm m để hai phương trình có nghiệm chung Hướng dẫn giải  Nếu m – =  m = phương trình (1) (2) trở thaønh : –x + =  x = Vậy m = thoả điều kiện  Nếu m  m Trừ vế theo vế (1) với (2) ta có : (m – 1)x + m – =  (x + 1)(m – 1) =  x = –1 m = (loại) Khi x = –1 thay vào (1) (2) ta có : (1)  m = (loại) Vậy m = giá trị cần tìm Bài tập tương tự Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung a) x2 – 6mx + 5m = vaø x2 – 7mx + 6m = b) x2 + mx + m + = vaø x2 + (2m + 1)x – m – 1= c) (m + 1)x2 – 6mx + 6m = vaø (m + 1)x2 – 7mx + 7m= ĐỊNH LÍ VIÉT * Định lí Viét Nếu phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = (a  0) Có hai nghiệm x1 x2 tổng tích hai nghiệm là: b c , P x1.x S  x1 x a a * Tìm hai số biết tổng tích chúng Nếu hai số u v có tổng u + v = S tích uv = P u v nghịêm phương trình: x2 – Sx + P = Chú ý : Điều kiện để phương trình: x2 – Sx + P = có nghiệm là: S2 – 4P  VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ 1: Tìm hai số biết tổng chúng tích chúng GIẢI Gọi hai số cần tìm u v Theo toán ta có : S = u + v = , P = uv = Như u v nghiệm phương trình: x2 – 4x + = Có / = – = >  x1 2 , x 2 Vaäy hai số cần tìm là:   Ví dụ 2: Tìm hai cạnh hình chữ nhật biết chu vi 22m diện tích ThuVienDeThi.com 28m2 Hướng dẫn giải Gọi u v độ dài hai cạnh hình chữ nhật ( u > , v > ), ta coù: S = u + v = 11 , P = uv = 28 Vậy u v nghiệm phương trình : x2 – 11x + 28 =  = 121 – 4.28 = = 32 11  11  Vậy ta có : x1  , x  2 Vậy hai cạnh hình chữ nhật 4m 7m Bài tập tương tự Tìm hai số biết : a) Tổng chúng 19 , tích chúng 84 b) Tổng chúng 10 , tích chúng c) Tổng chúng 12 , tích chúng d) Tổng chúng 16 , tích chúng 39 Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai Phương pháp Cho phương trình : ax2 + bx + c = (a  0) Giả sử x1 x2 nghiệm phương trình Theo định lý Viet ta coù: b c S = x1 + x2 =  , P = x1x2 = a a Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt :  x1 < < x2  P <      < x1 < x2  S  ; x1 < x2 <  S  P  P    Chú ý : Điều kiện để phương trình có nghiệm :      < x1  x2  S  ; x1  x2 <  S  P  P    Ví dụ áp dụng Ví dụ Tìm m để phương trình :x2 – 3x + m – = a) Có hai nghiệm trái dấu b) Có hai nghiệm dương phân biệt c) Có hai nghiệm âm phân biệt Hướng dẫn giải Gọi x1, x2 nghiệm phương trình , theo toán ta có: a) Ta coù x1 < < x2  P <  m – <  m < ThuVienDeThi.com   b) Ta coù < x1 < x2  S   P   4(m 1) 9   m 1 3   13 4(m 1)  9  13    m  c) x1 < x2 <  S   m 1   m P  3  m    Giải hệ ta có m Bài tập tương tự Tìm m để phương trình : mx2 – 2(m – 3)x + m – = Có nghiệm dương Tìm m để phương trình : (m – 2)x2 – 6mx + 2(m – 5) = Có hai nghiệm trái dấu Tìm m để phương trình : (m – 2)x2 – 2(m + 3)x + 2(m – 5) = Có hai nghiệm trái dấu Tìm m để phương trình : x2 – 6x + m – = Có hai nghiệm dương phân biệt Tìm m để phương trình : (m – 1)x2 + 2(m + 1)x + m = Có hai nghiệm dương phân biệt ĐS :  m  2