Bài tập chương IV Đại số 1034473

BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10 MINH HIẾU BÀI TẬP ĐẠI SỐ CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I BẤT ĐẲNG THỨC Tính chất Điều kiện c>0 c 0, c > n nguyên dương a>0 Nội dung a0  x  a x a  x  a a  b  a b  a  b d) Bất đẳng thức cạnh tam giác Với a, b, c độ dài cạnh tam giác, ta có: + a, b, c > + a b  c  a b ; b c  a  b c; c a  b  c a e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki Với a, b, x, y  R, ta có: (ax  by)2  (a2  b2 )( x2  y2 ) Dấu "=" xảy  ay = bx -1 ThuVienDeThi.com BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10 MINH HIẾU VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia tính chất  Để chứng minh BĐT ta sử dụng cách sau: – Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT biết – Sử dụng BĐT biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh  Một số BĐT thường dùng: + A2  + A2  B2  + A.B  với A, B  + A2  B2  AB Chú ý: – Trong trình biến đổi, ta thường ý đến đẳng thức – Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy Khi ta tìm GTLN, GTNN biểu thức Cho a, b, c, d, e  R Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a  b2  c2  ab  bc  ca b) a2  b2   ab  a  b c) a2  b2  c2   2(a  b  c) d) a2  b2  c2  2(ab  bc  ca) Bài a2  b2  c2  ab  ac  2bc e) a4  b4  c2   2a(ab2  a  c  1) f) g) a2 (1  b2 )  b2 (1  c2 )  c2 (1  a2 )  6abc h) a2  b2  c2  d2  e2  a(b  c  d  e) i) 1 1 1 với a, b, c >      a b c ab bc ca k) a  b  c  ab  bc  ca với a, b, c  HD: a)  (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2  c)  (a  1)2  (b  1)2  (c  1)2  2 2 e)  (a  b )  (a  c)  (a  1)  b)  (a  b)2  (a  1)2  (b  1)2  d)  (a  b  c)2  a  f)    (b  c)   2  g)  (a  bc)2  (b  ca)2  (c  ab)2  2 2 a  a  a  a  h)   b     c     d     e  2  2  2  2  2  1   1   1  i)           0 a b b c c a       2 k)   a  b    b  c    c  a   Bài Cho a, b, c  R Chứng minh bất đẳng thức sau: a3  b3  a  b   a)  ; với a, b    b) a4  b4  a3b  ab3 c) a4   4a d) a3  b3  c3  3abc , với a, b, c > 4 e) a  b  g) a 3 a 2 a6 b 2  b6 a ; với a, b  f) 1 a  1 b  ; với ab  1  ab h) (a5  b5 )(a  b)  (a4  b4 )(a2  b2 ) ; với ab > -2 ThuVienDeThi.com BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10 HD: a)  (a  b)(a  b)2  MINH HIẾU b)  (a3  b3 )(a  b)  c)  (a  1)2 (a2  2a  3)  d) Sử dụng đẳng thức a3  b3  (a  b)3  3a2b  3ab2 BĐT  (a  b  c)  a2  b2  c2  (ab  bc  ca)  (b  a)2 (ab  1) e)  (a2  b2 )2 (a4  a2b2  b4 )  f)  g)  (a2  1)2  h)  ab(a  b)(a3  b3 )  (1  ab)(1  a2 )(1  b2 ) 0 Cho a, b, c, d  R Chứng minh a2  b2  2ab (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: a) a  b4  c4  d  4abcd b) (a2  1)(b2  1)(c2  1)  8abc Bài c) (a2  4)(b2  4)(c2  4)(d2  4)  256abcd HD: a) a4  b4  2a2b2 ; c2  d  2c2d2 ; a2b2  c2d2  2abcd b) a2   2a; b2   2b; c2   2c c) a2   4a; b2   4b; c2   4c; d   4d Bài Cho a, b, c, d > Chứng minh đảng thức sau: a a a c (1) Áp dụng chứng minh bất   b b c b a b c a b c d b)    2    2 a b b c c a a b c b c d c d  a d  a b a b b c c d da c)     3 a b c b c d c d  a d  a b a) HD: BĐT (1)  (a – b)c < a) Sử dụng (1), ta được: a a c b b a c c b , ,    a b a b c b c a b c c a a b c Cộng BĐT vế theo vế, ta đpcm b) Sử dụng tính chất phân số, ta có: Tương tự, a a a   a b c d a b c a c b b b   a b c d b c d b d c c c   a b c d c d  a a c d d d   a b c d d  a b d  b Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm c) Chứng minh tương tự câu b) Ta có: a b a b a b d   a b c d a b c a b c d Cùng với BĐT tương tự, ta suy đpcm Bài Cho a, b, c  R Chứng minh bất đẳng thức: a2  b2  c2  ab  bc  ca (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: a) (a  b  c)  3(a  b  c ) a2  b2  c2  a  b  c  b)   3   c) (a  b  c)2  3(ab  bc  ca) d) a4  b4  c4  abc(a  b  c) 2 2 -3 ThuVienDeThi.com BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10 e) MINH HIẾU a b c ab  bc  ca với a,b,c>0  3 f) a4  b4  c4  abc a  b  c  HD:  (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2  a) Khai triển, rút gọn, đưa (1) b, c) Vận dụng a) d) Sử dụng (1) hai lần e) Bình phương vế, sử dụng (1) f) Sử dụng d) Bài Cho a, b  Chứng minh bất đẳng thức: a3  b3  a2b  b2a  ab(a  b) (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: a)   ; abc  với a, b, c > a3  b3  abc b3  c3  abc c3  a3  abc 1 với a, b, c > abc = b) 3  3  3  1; a  b 1 b  c 1 c  a 1 1 c) với a, b, c > abc =    1; a b1 b c 1 c  a1 d) 4(a3  b3 )  4(b3  c3 )  4(c3  a3 )  2(a  b  c) ; A B e*) sin A  sin B  sin C  cos  cos  cos với a, b, c  C ; với ABC tam giác HD: (1)  (a2  b2 )(a  b)  a) Từ (1)  a3  b3  abc  ab(a  b  c)  a3  b3  abc  ab(a  b  c) Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm b, c) Sử dụng a) d) Từ (1)  3(a3  b3 )  3(a2b  ab2 )  4(a3  b3 )  (a  b)3 (2) (a  b)  (b  c)  (c  a)  2(a  b  c) Từ đó: VT  e) Ta có: C A B C sin A  sin B  2cos cos  2cos 2 Sử dụng (2) ta được: a  b  4(a3  b3 )  sin A  sin B  4(sin A  sin B)  4.2.cos Tương tự, sin B  sin C  23 cos A , C C  23 cos 2 sin C  sin A  23 cos B Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm Bài Cho a, b, x, y  R Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki): a2  x2  b2  y2  (a  b)2  ( x  y)2 (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: a) Cho a, b  thoả a  b  Chứng minh: b) Tìm GTNN biểu thức P = a2  b2  a2   b2   b2  a2 c) Cho x, y, z > thoả mãn x  y  z  Chứng minh: x2  x  y2  y  z2  z2  82 d) Cho x, y, z > thoả mãn x  y  z  Tìm GTNN biểu thức: -4 ThuVienDeThi.com BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10 MINH HIẾU 223  x2  223  y2  223  z2 P= HD: Bình phương vế ta được: (1)  (a2  b2 )( x2  y2 )  ab  xy (*)  Nếu ab  xy  (*) hiển nhiên  Nếu ab  xy  bình phương vế ta được: (*)  (bx  ay)2  (đúng) a) Sử dụng (1) Ta có:  a2   b2  (1  1)2  (a  b)2  b) Sử dụng (1) P  Chú ý: 2  1   (a  b)      (a  b)2     17  a b  a b 1 (với a, b > 0)   a b a b c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được:  1 1 x   y   z   ( x  y  z)      x2 y2 z2  x y z 2 2   ( x  y  z)     82  x  y  z  Chú ý: 1    (với x, y, z > 0) x y z x y z d) Tương tự câu c) Ta có: P   223   ( x  y  z)2  2010 Bài Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a) ab  bc  ca  a2 +b2  c2 có S = x + y khơng đổi P = xy lớn  x = y -5 ThuVienDeThi.com BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10 MINH HIẾU + Nếu x, y > có P = x y khơng đổi S = x + y nhỏ  x = y Cho a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức sau: a) (a  b)(b  c)(c  a)  8abc b) (a  b  c)(a2  b2  c2 )  9abc Bài c) (1  a)(1  b)(1  c)  1  abc  d) bc ca ab    a  b  c ; với a, b, c > a b c e) a2 (1  b2 )  b2 (1  c2 )  c2 (1  a2 )  6abc ab bc ca a b c ; với a, b, c >    a b b c c a a b c g)    ; với a, b, c > b c c a a b f) HD: a) a  b  ab; b  c  bc; c  a  ca  đpcm b) a  b  c  33 abc; a2  b2  c2  33 a2b2c2  đpcm c)  (1 a)(1  b)(1 c)  1 a  b  c  ab  bc  ca  abc  a  b  c  33 abc  ab  bc  ca  33 a2b2c2  (1 a)(1  b)(1  c)   33 abc  33 a2b2c2  abc  1  abc  d) bc ca abc2 ca ab a2bc ab bc ab2c  2  2c ,  2  2a ,  2  2b đpcm a b ab b c bc c a ac e) VT  2(a2b  b2c  c2a)  63 a3b3c3  6abc f) Vì a  b  ab nên  ab ab ab bc bc ca ca    ;  Tương tự: a  b ab 2 c a b c ab bc ca ab  bc  ca a  b  c     a b b c c a 2 (vì ab  bc  ca  a  b  c )  a   b   c   1    1    1   b c   c a   a b   1 1    = (a  b)  (b  c)  (c  a)    3   2  b c c a a b g) VT =   Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b Khi đó, VT = Bài  x    y y  z   x  x x  z   z  y y    3  (2    3)  z  2 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 a 1 b c a) (a3  b3  c3 )      (a  b  c)2 b) 3(a3  b3  c3 )  (a  b  c)(a2  b2  c2 ) c) 9(a3  b3  c3 )  (a  b  c)3  a3 b3   b3 c3   c3 a3  HD: a) VT = a  b  c              b a  c b  a c  2 a3 b3   a2b2  2ab Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm Chú ý: b a b)  2(a3  b3  c3 )   a2b  b2a   b2c  bc2    c2a  ca2  Chú ý: a3  b3  ab(a  b) Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm -6 ThuVienDeThi.com BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10 MINH HIẾU c) Áp dụng b) ta có: 9(a3  b3  c3 )  3(a  b  c)(a2  b2  c2 ) Dễ chứng minh được: 3(a2  b2  c2 )  (a  b  c)2  đpcm 1 (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau:   a b a b  1 1 1    a)      ; với a, b, c > a b c  a b b c c a   1 1 1    2   b)  ; với a, b, c > a b b c c a  2a  b  c a  2b  c a  b  2c  1 1 1 c) Cho a, b, c > thoả    Chứng minh:   1 a b c 2a  b  c a  2b  c a  b  2c ab bc ca a b c ; với a, b, c > d)    a b b c c a 2xy 8yz 4xz    e) Cho x, y, z > thoả x  2y  4z  12 Chứng minh: x  2y 2y  4z 4z  x Bài Cho a, b > Chứng minh f) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng:  1 1 1    2    p a p b p c  a b c  1 HD: (1)  (a  b)     Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si  a b 1 1 1 a) Áp dụng (1) ba lần ta được:   ;   ;   a b a b b c b c c a c a Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm b) Tương tự câu a)   1 1 1    4    a b c  2a  b  c a  2b  c a  b  2c  1 1 ab      d) Theo (1):  (a  b) a b 4 a b a b c) Áp dụng a) b) ta được: Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta đpcm e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z a  b  c  12  đpcm f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c Áp dụng (1) ta được: 1 4    p  a p  b ( p  a)  ( p  b) c Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta đpcm 1 (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau:    a b c a b c  1  a) (a2  b2  c2 )      (a  b  c)  a b b c c a x y z   b) Cho x, y, z > thoả x  y  z  Tìm GTLN biểu thức: P = x  y  z c) Cho a, b, c > thoả a  b  c  Tìm GTNN biểu thức: 1   P= 2 a  2bc b  2ac c  2ab 1 1 d) Cho a, b, c > thoả a  b  c  Chứng minh: 2     30 ab bc ca a b c Bài Cho a, b, c > Chứng minh -7 ThuVienDeThi.com BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10 MINH HIẾU 1     cos2 A  cos2B  cos2C  1 1 HD: Ta có: (1)  (a  b  c)      Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si  a b c 1    a) Áp dụng (1) ta được: a  b b  c c  a 2(a  b  c) e*) Cho tam giác ABC Chứng minh:  VT  9(a2  b2  c2 ) 3(a2  b2  c2 )   (a  b  c) 2(a  b  c) a b c Chú ý: (a  b  c)2  3(a2  b2  c2 ) b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P sau:  x  1 y  1 z   1    = 3     x 1 y 1 z  x  y  z 1 1 9     Suy ra: P    Ta có: x  y  z x  y  z 4 P= Chú ý: Bài toán tổng quát sau: Cho x, y, z > thoả x  y  z  k số dương cho trước Tìm GTLN biểu thức: P= x y z   kx  ky  kz  c) Ta có: P   a2  2bc  b2  2ca  c2  2ab (a  b  c)2 d) VT  2  ab  bc  ca a b c   1 = 2 2   ab  bc  ca ab  bc  ca  ab  bc  ca a b c    30 (a  b  c)2 ab  bc  ca 1 1 Chú ý: ab  bc  ca  (a  b  c)2  3 1 e) Áp dụng (1):     cos2 A  cos2B  cos2C  cos2 A  cos2B  cos2C   6 Chú ý: cos2 A  cos2B  cos2C   Bài   Áp dụng BĐT Cơ–si để tìm GTNN biểu thức sau: x 18  ; x  x 3x c) y   ; x  1 x 1 a) y  e) y  x  ; 0 x 1 1 x x x  ; x  x 1 x d) y   ; x 2x  b) y  f) y  x3  x2 ; x0 -8 ThuVienDeThi.com BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10 g) y  x2  x  ; x0 x MINH HIẾU h) y  x2  HD: a) Min y = x = x3 ; x0 x = b) Min y = 1 x = 5 e) Min y =  x  c) Min y = 30  x = d) Min y = 6 f) Miny = g) Min y = x = 3 h) Min y = 5 x = 27 30  2 x = Áp dụng BĐT Cơ–si để tìm GTLN biểu thức sau: a) y  ( x  3)(5  x);   x  b) y  x(6  x);  x  Bài c) y  ( x  3)(5  2x);   x  e) y  (6x  3)(5  2x);   x  g) y  d) y  (2x  5)(5  x);   x  5 f) y  x2  x2  23 HD: a) Max y = 16 x = x 2 ; x0 b) Max y = x = 121 x =  c) Max y = x d) Max y = e) Max y = x = f) Max y = 625 x = 2 g) Ta có: x2   x2    33 x2  ( x2  2)3  27x2   Max y = x = x2 ( x2  2)3 (  x2  2 x )  27 x = 1 27 VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki: (B)  Với a, b, x, y  R, ta có: (ax  by)2  (a2  b2 )( x2  y2 ) Dấu "=" xảy  ay = bx  Với a, b, c, x, y, z  R, ta có: (ax  by  cz)2  (a2  b2  c2 )( x2  y2  z2 ) Hệ quả:  (a  b)2  2(a2  b2 ) Bài  (a  b  c)2  3(a2  b2  c2 ) Chứng minh bất đẳng thức sau: a) 3a2  4b2  , với 3a  4b  c) 7a2  11b2  b) 3a2  5b2  735 , với 2a  3b  47 2464 , với 3a  5b  d) a2  b2  , với a  2b  137 -9 ThuVienDeThi.com BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10 e) 2a2  3b2  , với 2a  3b  MINH HIẾU f) ( x  2y  1)2  (2x  4y  5)2  HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho số 3, 4, 3a, 4b b) Áp dụng BĐT (B) cho số 3 c) Áp dụng BĐT (B) cho số d) Áp dụng BĐT (B) cho số 1,2, a, b e) Áp dụng BĐT (B) cho số , 5 , , 3a, 5b 11 , 7a, 11b 2, 3, 2a, 3b f) Đặt a = x – 2y + 1, b = 2x – 4y + 5, ta có: 2a – b = –3 BĐT  a2  b2  Áp dụng BĐT (B) cho số 2; –1; a; b ta đpcm Chứng minh bất đẳng thức sau: Bài 2 c) a4  b4  , với a  b  a) a2  b2  , với a  b  b) a3  b3  , với a  b  d) a4  b4  , với a  b  HD: a)  (1a  1b)2  (12  12 )(a2  b2 )  đpcm b) a  b   b   a  b3  (1  a)3   3a  3a2  a3  1 1  b  a  3 a     2 4  3 c) (12  12 )(a4  b4 )  (a2  b2 )2   đpcm d) (12  12 )(a2  b2 )  (a  b)2   a2  b2  (12  12 )(a4  b4 )  (a2  b2 )2   a4  b4  Cho x, y, z ba số dương x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức: P  1 x  1 y  1 z Bài HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: P    (1  x)  (1  y)  (1  z)  Dấu "=" xảy   x   y   z  x  y  z  Vậy Max P = x  y  z  Cho x, y, z ba số dương x  y  z  Chứng minh rằng: Bài x2  x  y2  y  z2  z2  82 HD: Áp dụng BĐT (B), ta có:    9  x   (1  )   x   x  x   Tương tự ta có: y2  y   x2   9 y  y 82  x   9 x  x 82  (2), z2  (1) z   9  z  z 82  (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: P  1   ( x  y  z)  9     = 82   x y z    1  80  1   ( x  y  z)             x y z   x y z  82  - 10 ThuVienDeThi.com BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10 MINH HIẾU      ( x  y  z)      80 82  x y z   x  y  z  82 Dấu "=" xảy  x  y  z  Bài Cho a, b, c   thoả a  b  c  Chứng minh: (1) (2)  4a   4b   4c   21 HD: Áp dụng BĐT (B) cho số: 1;1;1; 4a  1; 4b  1; 4c   (2) Chú ý: x  y  z  x  y  z Dấu "=" xảy  x = y = z = Từ  (1) Bài Cho x, y > Tìm GTNN biểu thức sau: a) A   , với x + y = x 4y b) B  x  y , với 2  6 x y     HD: a) Chú ý: A =      x y     ; y; Áp dụng BĐT (B) với số: x; ta được: y x 4  25     x  y  ( x  y)      x y   x 4y  5 Dấu "=" xảy  x  ; y  Vậy minA = 25 x  ; y  5 2  2  3 b) Chú ý:       x y  x   y  Áp dụng BĐT (B) với số: x; y; ; x ta được: y 2   3  3  3  y       x  y  ( x  y)      x x y  x y  Dấu "=" xảy  x  33 ; y 33 Vậy minB =   3 Tìm GTLN biểu thức sau: a) A  x  y  y  x , với x, y thoả x2  y2  Bài HD: a) Chú ý: x  y  2( x2  y2 )  A  ( x2  y2 )(1  y   x)  x  y   Dấu "=" xảy  x  y  2 Tìm GTLN, GTNN biểu thức sau: a) A   x   x , với –2  x  b) B  x    x , với  x  Bài c) C  y  2x  , với 36x2  16y2  d) D  2x  y  , với x2 y2   - 11 ThuVienDeThi.com BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10 MINH HIẾU HD: a)  A  (12  12 )(7  x  x  2)  Dấu "=" xảy  x   A  (7  x)  ( x  2)  Dấu "=" xảy  x = –2 x =  maxA = x  ; minA = x = –2 x = b) B  (62  82 )( x    x)  10 Dấu "=" xảy  x = 43 25  B  ( x  1)  (3  x)   x  Dấu "=" xảy  x =  maxB = 10 x = 43 ; 25 minB = x = c) Chú ý: 36x2  16y2  (6x)2  (4y)2 Từ đó: y  2x  4y  6x    1   16y2  36x2   16  5 15 25    y  2x    C  y  2x   4 4 15 25  minC = x  , y   ; maxC = x   , y  20 20 4  y  2x  4y  6x   x2 y2 (3x)2  (2y)2 Từ đó: 2x  y  3x  2y   d) Chú ý: 36    2x  y  3x  2y      9x2  4y2    1  4  5  2x  y   7  D  2x  y    minD = –7 x   , y  ; maxD = x  , y   II BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Giải biện luận bất phương trình dạng ax + b < Điều kiện a>0 a (1) (trong P(x), Q(x) nhị thức bậc nhất.)  Cách giải: Lập bảng xét dấu P(x).Q(x) Từ suy tập nghiệm (1) Bất phương trình chứa ẩn mẫu  Dạng: P( x)  (2) Q( x) (trong P(x), Q(x) nhị thức bậc nhất.)  Cách giải: Lập bảng xét dấu P( x) Từ suy tập nghiệm (2) Q( x) Chú ý: Không nên qui đồng khử mẫu Bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ  Tương tự giải phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ  Dạng 1:  Dạng 2:  g( x)  f ( x)  g( x)    g( x)  f ( x)  g( x)   g( x)    f ( x) cónghóa  f ( x)  g( x)    g( x)      f ( x)   g( x)    f ( x)  g( x)  Chú ý: Với B > ta có: A  B  B  A  B ;  A  B A B  A  B Bài Giải bất phương trình sau: a) ( x  1)( x  1)(3x  6)  b) (2x  7)(4  5x)  e) x3  8x2  17x  10  d) 3x(2x  7)(9  3x)  Bài Giải bất phương trình sau: (2x  5)( x  2) 0 4 x  3x  d) 1 x2 a) g) 4  3x   x x3 x5  x 1 x  2x  e)  1 2 x x2  x h)  1 x  2x b) Bài Giải bất phương trình sau: a) 3x   b) 5x  12  d) 3x  15  e) x   x 1 h) 2x   x g) 2x   x  Bài Giải biện luận bất phương trình sau: c) x2  x  20  2( x  11) f) x3  6x2  11x   x   2x  x5 x3 f)  x  2x  2x  3x  i)  3x  2x  c) c) 2x   x i) x   x  f) x   - 14 ThuVienDeThi.com BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10 a) 2x  m  0 x 1 b) MINH HIẾU mx  m  0 x 1 c) x  1( x  m  2)  HD: Giải biện luận BPT dạng tích thương: (a1x  b1)(a2 x  b2 )  , – Đặt x1   a1x  b1x a2 x  b2 x (hoặc <  0,  0) 0 b1 b ; x2   Tính x1  x2 a1 a2 – Lập bảng xét dấu chung a1.a2 , x1  x2 – Từ bảng xét dấu, ta chia toán thành nhiều trường hợp Trong trường hợp ta dấu (a1x  b1)(a2 x  b2 ) (hoặc xét a1x  b1x ) nhờ qui tắc đan dấu a2 x  b2 x   3 m  ;    m  3: S  (; 1)        m  a)  m  3: S   ;   (1; )     m  3: S  R \ {  1}    m1  ;    m  : S  (;1)    m     m  b)  m  : S   ;1  m   m  : S  (;1)   c)  m  3: S  (1; )  m  3: S  (m  2; ) III BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Dấu tam thức bậc hai 0 f(x) = ax2  bx  c (a  0) a.f(x) > 0, x  R  b a.f(x) > 0, x  R \    2a  a.f(x) > 0, x  (–∞; x1)  (x2; +∞) a.f(x) < 0, x  (x1; x2) Nhận xét:  ax2  bx  c  0, x  R  a      ax2  bx  c  0, x  R  a    Bất phương trình bậc hai ẩn ax2  bx  c  (hoặc  0; < 0;  0) Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí dấu tam thức bậc hai VẤN ĐỀ 1: Giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai ẩn Bài Xét dấu biểu thức sau: a) 3x2  2x  d) 3x2  2x  g) (3x  10x  3)(4x  5) b)  x2  4x  e)  x2  2x  c) 4x2  12x  f) 2x2  7x  h) (3x  4x)(2x  x  1) i) (3x2  x)(3  x2 ) x2  x  - 15 ThuVienDeThi.com BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10 Bài Giải bất phương trình sau: a) 2x2  5x   b) 5x2  4x  12  d) 2x2  3x   e) 3x2  4x   g) 3x2  x  x2  3x  h) 0 4x2  3x  x2  5x  0 Bài Giải biện luận bất phương trình sau: MINH HIẾU c) 16x2  40x  25  f) x2  x   i) 5x2  3x  x  7x  0 a) x2  mx  m   b) (1  m) x2  2mx  2m  c) mx2  2x   HD: Giải biện luận BPT bậc hai, ta tiến hành sau: – Lập bảng xét dấu chung cho a  – Dựa vào bảng xét dấu, biện luận nghiệm BPT Bài Giải hệ bất phương trình sau:  a) 22x  9x    x  x    x2  x    d) 2x2  x  10  2x2  5x    g) 4  x2  x  x2   b) 2x2  x    c) 2x2  5x    e) 2x  4x    f)  x2  x   3x  10x    x  2x   1 h) x2  2x   1 13 x2  5x   x  3x  10   x  6x   i) 1  10x2  3x   x2  3x  1 VẤN ĐỀ 2: Phương trình bậc hai – Tam thức bậc hai a) (m  5) x2  4mx  m   1) có nghiệm 2) vơ nghiệm b) (m  2) x2  2(2m  3) x  5m   c) (3  m) x2  2(m  3) x  m   d) (1  m) x2  2mx  2m  Bài Tìm m để phương trình sau: e) (m  2) x2  4mx  2m   f) (m2  2m  3) x2  2(2  3m) x   Bài Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x: a) 3x2  2(m  1) x  m   b) x2  (m  1) x  2m   c) 2x2  (m  2) x  m   d) mx2  (m  1) x  m   e) (m  1) x2  2(m  1) x  3(m  2)  f) 3(m  6) x2  3(m  3) x  2m   Bài Tìm m để bất phương trình sau vơ nghiệm: a) (m  2) x2  2(m  1) x   b) (m  3) x2  (m  2) x   c) (m2  2m  3) x2  2(m  1) x   d) mx2  2(m  1) x   e) (3  m) x2  2(2m  5) x  2m   f) mx2  4(m  1) x  m   VẤN ĐỀ 3: Phương trình – Bất phương trình qui bậc hai Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ - 16 ThuVienDeThi.com BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10  Dạng 1:  Dạng 2:  Dạng 3:  Dạng 4: Chú ý: MINH HIẾU   f ( x)   g( x)  C2   f ( x)  g( x)  f ( x)  g( x)    f ( x)  g( x)      f ( x)   g( x)   f ( x)    f ( x)   g( x)  f ( x)  g( x) f ( x)  g( x)    f ( x)   g( x)  g( x)  f ( x)  g( x)    g( x)  f ( x)  g( x)   g( x)    f ( x) cónghóa  f ( x)  g( x)    g( x)      f ( x)   g( x)    f ( x)  g( x)  C1  A  A  A 0; A  A  A   Với B > ta có: A  B  B  A  B ;  A  B  A  B  AB  ;  A  B A  B  A  B A  B  A  B  AB  Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn dấu Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu ta thường dùng phép nâng luỹ thừa đặt ẩn phụ để khử dấu  Dạng 1:  Dạng 2:  Dạng 3:  Dạng 4:  Dạng 5:  Dạng 6:  g( x)  f ( x)  g( x)    f ( x)   g( x)  f ( x)  (hoaë c g( x)  0) f ( x)  g( x)   f x g x ( )  ( )  t  f ( x), t  a f ( x)  b f ( x)  c    at  bt  c  u  f ( x) ; u, v  đưa hệ u, v f ( x)  g( x)  h( x) Đặt  v  g( x)  f ( x)  f ( x)  g( x)   g( x)   f ( x)   g( x)2    g( x)    f ( x)   f ( x)  g( x)    g( x)     f ( x)   g( x)2   Bài Giải phương trình sau: a) x2  5x   x2  6x  b) x2   x2  2x  c)  3x2   x2  d) x  x   e) x2    x f) Bài Giải bất phương trình sau: x2   x  2 x ( x  2) - 17 ThuVienDeThi.com BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10 MINH HIẾU a) 2x2  5x   b) x   x2  3x  d) x2  4x   x2  4x  e) x   x   g) x2  x x2  x  h) 1 Bài Giải phương trình sau: a) 2x   x  d) x2  2x    x 2x  1 x3 b) g) 3x   x   f) x2  3x   x2  2x i) x2 x2  5x  x2   x2   f) 3x2  9x   x  21  x  21  x i) 21  x  21  x Bài Giải phương trình sau: (nâng luỹ thừa) a) x   x   2x  11 d) x 1 x   x   b) 3 c) x  2x   5x  10   x e) 3x2  9x   x  h) c) x2   2x   21 x x   3x   x  c)  x   x  Bài Giải phương trình sau: (biến đổi biểu thức căn) a) x   2x   x   2x   b) x  5 x 1  x   x 1  c) x  2 x   2 x   x   x   2x   Bài Giải phương trình sau: (đặt ẩn phụ) a) x2  6x   x2  6x  b) ( x  4)( x  1)  x2  5x   c) ( x  3)2  3x  22  x2  3x  d) ( x  1)( x  2)  x2  3x  Bài Giải phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ) a) 3x2  5x   3x2  5x   b) 5x   5x  13  24  x   x  c) 9 x 1  7 x 1  d) e) 47  2x  35  2x  f) Bài Giải bất phương trình sau: x2  4356  x  x x2  4356  x2  x a) x2  x  12   x b) x2  x  12   x d) x2  3x  10  x  e) 3x2  13x   x  g) x    x  2x  c)  x2  4x  21  x  f) x  x2   x  h)  x   x  3  2x i) 2x   x   Bài Giải bất phương trình sau: b) ( x  5)( x  2)  x( x  3)  a) ( x  3)(8  x)  26   x2  11x c) ( x  1)( x  4)  x2  5x  28 Bài 10 Giải bất phương trình sau: a) d) 3x2  5x   3x2  5x   x2  x 2 3 x 2 c) ( x  3) x   x  Bài 11 Giải bất phương trình sau: a) x   x2  b) b) 2x2  15x  17 0 x3 d)  x2  x   x2  x   2x  x4 2x2   3x2  c) x 1  x  - 18 ThuVienDeThi.com BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10 MINH HIẾU BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV Bài Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a3  b3  c3  a  b  c , với a, b, c > xyz = a b c a b c a b c    , với a, b, c > a b c  1 1 1        , với a, b, c cạnh tam giác, p nửa chu vi c) p a p b p c  a b c b) d) a b   b a   ab , với a  1, b  HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: a3  b3  c3  33 a3b3c3   2(a3  b3  c3 )  (1) a3    a3  a3   3a (2) Tương tự: b3   3b (3), c3   3c (4) Cộng BĐT (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta đpcm b a a  b c   c a b  c b  a c 1 1 4    , ta được: c) Áp dụng BĐT:   x y x y p a p b p a p b c b) BĐT              Dễ dàng chứng minh Tương tự: 1 1   ;   Cộng BĐT  đpcm p b p c a p c p a b d) Áp dụng BĐT Cô–si: a b   a ab  a  Tương tự: b a   a  ab  a ab  2 ab Cộng BĐT ta đpcm Dấu "=" xảy  a = b = 2 Bài Tìm GTNN biểu thức sau: , với x > x 1 b) B   , với x, y > x  y  x 4y a) A  x  1 a b c) C  a  b   , với a, b > a  b  d) D  a3  b3  c3 , với a, b, c > ab  bc  ca  HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: A = ( x  1)      x 1 Dấu "=" xảy  x = Vậy minA = b) B = 4 4y    4x   4y   4x  4y x x 4y Dấu "=" xảy  x  1; y  Vậy minB = 1 4  B  a b  2    a b   a b a b a b a b a b a b Dấu "=" xảy  a = b = Vậy minC = c) Ta có d) Áp dụng BĐT Cơ–si: a3  b3   3ab , b3  c3   3bc , c3  a3   3ca  2(a3  b3  c3 )   3(ab  bc  ca)   a3  b3  c3  - 19 ThuVienDeThi.com BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10 Dấu "=" xảy  a = b = c = Vậy minD = Bài Tìm GTLN biểu thức sau: a) A  a   b  , với a, b  –1 a  b  b) B  x2 (1  2x) , với < x < c) C  ( x  1)(1  2x) , với 1  x  MINH HIẾU HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho số 1,1, a  1, b  ta được: A  a   b   (1  1)(a   b  1)  Dấu "=" xảy  a = b =  maxA =  x  x   2x  b) Áp dụng BĐT Cô–si: B = x.x(1  2x)     27   1 Vậy maxB = 27 1  2x    x  c) Áp dụng BĐT Cô–si: C = (2x  2)(1  2x)     2  Dấu "=" xảy  x =  Vậy maxC = Bài Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:  b)  x  3x    a)  x  4m  2mx  (m  1) x    d)  2x   x  m  x  3x   2x   c) 7x   4x  19 2x  3m   Bài Tìm m để hệ bất phương trình sau vơ nghiệm:  a) mx   3x  m  b)  x  10x  16  4x    x  mx  3m  Bài Giải bất phương trình sau: a) 2x   x3 b) x2  5x   x 1 x x  5x  1 d)   0 x x 1 x 1 x  6x  2x    c) x  x  x  x3  Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm: a) (m  1) x2  2(m  3) x  m   b) (m  1) x2  2(m  3) x  m   Bài Tìm m để biểu thức sau không âm: a) (3m  1) x2  (3m  1) x  m  b) (m  1) x2  2(m  1) x  3m  Bài Tìm m để biểu thức sau âm: a) (m  4) x2  (m  1) x  2m  b) (m2  4m  5) x2  2(m  1) x  Bài 10 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x: a) c) x2  8x  20 mx2  2(m  1) x  9m  x2  mx  x2  x  1 0 b) 3x2  5x  (m  4) x2  (1  m) x  2m  d) 4  2x2  mx   x2  x  0 6 - 20 ThuVienDeThi.com ...  - 18 ThuVienDeThi.com BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10 MINH HIẾU BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV Bài Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a3  b3  c3  a  b  c , với... ThuVienDeThi.com BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10 Bài Giải bất phương trình sau: a) 2x2  5x   b) 5x2  4x  12  d) 2x2  3x   e) 3x2  4x   g) 3x2  x  x2  3x  h) 0 4x2  3x  x2  5x  0 Bài. .. ThuVienDeThi.com BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10 e) 2a2  3b2  , với 2a  3b  MINH HIẾU f) ( x  2y  1)2  (2x  4y  5)2  HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho số 3, 4, 3a, 4b b) Áp dụng BĐT (B) cho số 3 c)