NỘI DUNG ÔN TẬP CHƯƠNG IV ĐẠI SỐ *** -Dạng 1: Hàm số đồ thị hàm số: Bài 1: Bài 2: Cho hai hàm số (P): y = x (d): y = 2x - 2 a) Veõ đồ thị hai hàm số (P) (d) mặt phẳng tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm (P) (d) phép tính Bài : a) Vẽ đồ thị hàm số (P) : y = x2 đường thẳng (d) : y = -x + hệ trục tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm (P) (d) phép tính Bài : Cho hàm số (P) : y = -x2 (d) y = 3x + a) Vẽ đồ thị hai hàm số (P) (d) mặt phẳng tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm (P) (d) phép tính Bài : Cho hàm số (P) : y = -x2 (d) y = x – a) Vẽ đồ thị hai hàm số (P) (d) mặt phẳng tọa ñoä X -2 -1 x y = -x -4 -1 -1 -2 y = x – -2 -1 b) Tìm tọa độ giao điểm (P) (d) phép tính * Phương trình hoành độ giao điểm (P) (d) : -x = x – x2 + x - = Phương trình (5) có a + b + c = + + (-2) = Nên hai nghiệm phương trình là: x1 = vaø x2 = c = -2 a + Thay x1 = vào (P) ta được: y1 = -1 + Thay x2 = -2 vào (P) ta được: y2 = -4 Vậy tọa độ giao điểm cần tìm : (1; -1) (-2; -4) Bài : Cho hàm số (P) : y = x vaø (D) y = x + a) Vẽ đồ thị hai hàm số (P) (D) mặt phẳng tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm (P) (D) phép tính Bài : Cho hàm số (P) : y = 2 x vaø (d) y = x + 3 a) Vẽ đồ thị hai hàm số (P) (d) mặt phẳng tọa độ X -6 -3 x -2 -0.5 12 3 12 0.5 y= x y= x+ 3 b) Tìm tọa độ giao điểm (P) (d) phép tính * Phương trình hoành độ giao điểm (P) vaø (d) : 2 1 x = x + x2 – x - = x2 – x – = 3 3 3 ThuVienDeThi.com (a = 1; b = 1; c = -8) Phương trình (7) có a – b + c = + + (-2) = Nên hai nghiệm phương trình là: x1 = -1 vaø x2 = + Thay x1 = -1 vào (P) ta được: y1 = c =2 a + Thay x2 = vaøo (P) ta được: y2 = Vậy tọa độ giao điểm cần tìm : (-1; 4 ) vaø (2; ) 3 Baøi : Cho hàm số (P) : y = x2 vaø (d) y = x + a) Vẽ đồ thị hai hàm số (P) (d) mặt phẳng tọa độ x Y = x2 -4 -8 -2 -2 0 -2 -8 x y= x+1 -2 b) Tìm tọa độ giao điểm (P) (d) phép tính * Phương trình hoành độ giao điểm (P) (d) : 3 x = x + x2 x – = x2 – 3x + = (8) 2 2 (a = 1; b = -3; c = 2) Phương trình (8) có a + b + c = + (-3) + = Nên hai nghiệm phương trình là: x1 = x2 = + Thay x1 = -1 vào (P) ta được: y1 = c =2 a + Thay x2 = -2 vào (P) ta được: y2 = -2 Vậy tọa độ giao điểm cần tìm : (-1; ) (-2; -2) Dạng : Giải phương trình bậc hai ẩn Bài : Giải phương trình sau : x a/ – 3x = x(5x – 3) = Vậy tập nghiệm phương trình laø S = x 1 1 b/ 36x2 – = 36x2 = x2 = x = Vaäy S = ; 3 5x2 3 0; 5 c/ 3m2 – 8m + = © (a = 3; b = -8; c = 5) * Phương trình © coù: a + b + c = + (-8) + = Nên nghiệm phương trình © là: x1 = x2 = Vaäy S = 5 1; 3 Bài : Giải phương trình sau : a/ 7x2 x – 5x = x(7x – 5) = Vậy tập nghiệm phương trình S = 0; x 7 ThuVienDeThi.com b/ 2x2 – 7x + = (a = ; b = -7 ; c = 3) ∆ = b2 – 4ac = (-7)2 – 4.2.3 = 49 – 24 = 25 > Do ∆ > neân phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = 25 25 1 = ; x2 = = Vậy tập nghiệm phương trình S = 3; 2.2 2.2 2 Bài : Giải phương trình sau : a/ x2 – = x2 = x = Vậy tập nghiệm phương trình S = 3;3 b/ 5x2 + x x = x(5x + ) = Vaäy S = x 5 5 0; c/ x2 – 4x + = (a = 1; b’ = -2; c = 4) ∆’ = b’2 – ac = (-2)2 – 1.4 = Do ∆’ = nên phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = Vậy tập nghiệm phương trình S = 2 Bài : Giải phương trình sau : a/ 3x2 – 27 = 3x2 = 27 x2 = x = Vaäy S = 3;3 b/ 2x2 x + 5x = x(2x + 5) = Vaäy S = x b' = a 5 0; c/ 2x2 – 7x + = (a = ; b = -7 ; c = 3) ∆ = b2 – 4ac = (-7)2 – 4.2.3 = 49 – 24 = 25 > Do ∆ > nên phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = 25 25 1 = ; x2 = = Vậy tập nghiệm phương trình S = 3; 2.2 2.2 2 d/ x2 - x + 12 = (a = ; b’ = -2 ; c = 12) ∆’ = b’2 – ac = (-2 )2 – 1.12 = Do ∆’ = nên phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = b' = Vậy S = a Bài : Giải phương trình sau : a/ x2 – 25 = x2 = 25 x = Vậy tập nghiệm phương trình S = - 5;5 b/ 4x2 x + 5x = x(4x + 5) = Vaäy S = x 5 0; c/ 4y2 + 12y + = (a = 4; b’ = 6; c = 9) ∆’ = b’2 – ac = 36 – 4.9 = Do ∆’ = nên phương trình có nghiệm kép: y1 = y2 = b' = -1,5 Vậy tập nghiệm phương trình laø S = - 1,5 a d/ 5t2 – 3t – = (a = 5; b = -3; c = -8) Phương trình cho có: a – b + c = – (-3) + (-8) = Nên nghiệm phương trình là: t1 = -1 t2 = 8 Vậy S = 1; 5 Baøi : Giải phương trình sau : a/ 3x2 – 27 = 3x2 = 27 x2 = x = Vaäy S = 3;3 ThuVienDeThi.com 7x2 b/ x – 5x = x(7x – 5) = Vậy tập nghiệm phương trình S = x 5 0; 7 c/ 5x2 – 4x – = (*) (a = 5; b = -4; c = -9) Phương trình (*) coù: a – b + c = – (-4) + (-9) = Nên nghiệm phương trình (*) là: x1 = -1 x2 = Vaäy S = 9 1; 5 Bài : Giải phương trình sau : a/ 4x2 + 2x – = (**) (a = 4; b = 2; c = -6) Phương trình (**) có: a + b + c = + + (-6) = Neân nghiệm phương trình (**) là: x1 = x2 = -1,5 Vậy S = 1;1,5 b/ 2x2 – = x = Vaäy tập nghiệm phương trình S = 2;2 x c/ 3x2 – 6x = Vậy tập nghiệm phương trình S = 0;2 x Bài : Giải phương trình sau : a/ 4x2 – 16 = x = Vậy tập nghiệm phương trình S = 2;2 b/ 2x2 x + 3x = Vaäy tập nghiệm phương trình S = 0; x 2 c/ 2x2 – 7x – = (a = 2; b = -7; c = -4) ∆ = b2 – 4ac = (-7)2 – 4.2.(-4) = 49 + 32 = 81 > Do ∆ > nên phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = 81 81 = ; x2 = = 2.2 2.2 Vậy tập nghiệm phương trình S = 4; 2 Bài : Giải phương trình sau : a/ 7x2 – 12x + = (a) Phương trình (a) coù: a + b + c = + (-12) + = 5 Vaäy S = 1; 7 1 b/ 9x2 – = x = Vậy tập nghiệm phương trình S = ; 3 x c/ 3x2 – 6x = Vậy tập nghiệm phương trình S = 0;2 x Nên nghiệm phương trình (a) là: x1 = x2 = Dạng 3: Biện luận nghiệm phương trình bậc hai ẩn, tham số m Bài 1: Cho phương trình ẩn x, tham soá m: x2 – 2(m + 1)x + m2 = (1) a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, vô nghieäm x2 – 2(m + 1)x + m2 = (1) (a = 1; b’ = -(m + 1); c = m2) ∆’ = b’2 – ac = [-(m + 1)]2 – 1.m2 = m2 + 2m + – m2 = 2m + 1 * Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ∆’ > => 2m + > m > * Để phương trình (1) có nghiệm kép ∆’ = => 2m + = m = * Để phương trình (1) vô nghiệm ∆’ < => 2m + < m < ThuVienDeThi.com b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12 + x22 = 14 a 0(1 0) * Điều kiện: * p dụng hệ thức Vi-ét ta có: m x1 x2 2(m 1) x1 x2 m * x12 + x22 = 14 (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 14 [2(m + 1)]2 – 2m2 = 14 4m2 + 8m + – 2m2 = 14 2m2 + 8m – 10 = (t) Phương trình (t) có : a + b + c = + + (-10) = nên nghiệm phương trình (t) : m1 = m2 = -5 (loại) Vậy m = phương trình (1) thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 14 Bài : Cho phương trình : x2 – 2(m + 1)x + m – = a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệt với m (a = ; b’ = -(m + 1) ; c = m – 4) ∆’ = b’2 – ac = [-(m + 1)]2 – 1.(m – 4) = m2 + 2m + – m + = m2 – m + = m2 – 2m 1 + ( )2 + = (m - )2 + với m 2 b) Tính tổng tích nghiệm theo m a 0(1 0) * Điều kiện: Phương trình có nghiệm (caâu a) x x 2(m 1) * p dụng định lý Vi-ét ta có: x1 x2 m Baøi : Cho phương trình : x2 + 4x + m + = (1) a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, vô nghiệm x2 + 4x + m + = (1) (a = 1; b’ = 2; c = m + 1) ∆’ = b’2 – ac = 22 – 1.(m + 1) = – m * Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ∆’ > => – m > m < * Để phương trình (1) có nghiệm kép ∆’ = => – m = m = * Để phương trình (1) vô nghiệm ∆’ < => – m < m > b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12 + x22 = 10 a 0(1 0) * p dụng hệ thức Vi-ét ta có: m * Điều kiện: x1 x2 4 x1 x2 m * x12 + x22 = 10 (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10 (-4)2 – 2(m + 1) = 10 m = Vaäy m = (nhaän) phương trình (1) thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 10 Bài 4: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: x2 – 2(m + 1)x + m2 + m – = (1) a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, vô nghiệm x2 – 2(m + 1)x + m2 + m – = (1) (a = 1; b’ = -(m + 1); c = m2 + m – 1) ∆’ = b’2 – ac = [-(m + 1)]2 – 1.( m2 + m – 1) = m2 + 2m + – m2 – m + = m + * Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ∆’ > => m + > m > -2 * Để phương trình (1) có nghiệm kép ∆’ = => m + = m = -2 * Để phương trình (1) vô nghiệm ∆’ < => m + < m > -2 b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa maõn: x12 + x22 = 14 a 0(1 0) * p dụng hệ thức Vi-ét ta có: m 2 * Điều kiện: ThuVienDeThi.com x1 x2 2(m 1) x1 x2 m m * x12 + x22 = 14 (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 14 [-2(m + 1)]2 – 2m2 – 2m + = 14 4m2 + 8m + – 2m2 – 2m + – 14 = 2m2 + 6m – = (L) * Phương trình (L) coù: a + b + c = + + (-8) = Nên hai nghiệm phương trình là: m1 = 1; m1 = -4 (loại) Vậy m = phương trình (1) thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 14 Bài 5: Cho phương trình bậc hai: x2 – 2x – m2 – = (m tham số) a) Chứng tỏ phương trình cho có hai nghiệm phân biệt với m (a = ; b = -2; c = -(m2 + 4)) * Phương trình cho có: a = 1; c = -(m2 + 4), tức a c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt với m b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình cho Tìm m để x12 + x22 = 20 a 0(1 0) * Điều kiện: Phương trình có nghiệm (câu a) x x * p dụng định lý Vi-ét ta có: 2 x1 x2 m * x12 + x22 = 20 (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 20 – 2(-m2 – 4) = 20 + 2m2 + = 20 2m2 – 12 = m = Vậy m = phương trình cho thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 20 Bài 6: Cho phương trình: x2 – 4x + m + = (1) a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ∆ = b’2 – ac = (-2)2 – 1.(m + 1) = – m – = – m Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ∆ > – m > => m < b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x12 + x22 = 26 a 0(1 0) * p dụng hệ thức Vi-ét ta có: m * Điều kiện: x1 x2 x1 x2 m * x12 + x22 = 26 (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 26 42 – 2(m + 1) = 26 16 – 2m – = 26 m = Vaäy m = 11 (nhaän) 11 phương trình (1) thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 26 Bài 7: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: x2 – 2x + m + = a) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa x12 + x22 = 10 Bài 8: Cho phương trình bậc hai ẩn x, m tham so thực: x2 – 10x – m2 = (1) a) Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ∆’ = b’2 – ac = (-5)2 – 1.(-m)2 = 25 – m2 Ta coù: m2 với m => 25 – m2 với m Từ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với m b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoûa x12 + x22 = 100 ThuVienDeThi.com a 0(1 0) * Điều kiện: Phương trình có nghiệm (câu a) x1 x2 10 * p dụng hệ thức Vi-ét ta có: x1 x2 m * x12 + x22 = 100 (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 100 102 – 2[(-m)2] = 100 100 – 2m = 100 m = (nhaän) Vaäy m = phương trình cho thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 100 Bài 9: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: x2 – 4x + m = (1) a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, vô nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12 + x22 = 10 *MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ Bài I (2,5 điểm) x 4 Tính giá trị A x = 36 x 2 x x 16 2) Rút gọn biểu thức B (với x 0; x 16 ) : x x x 4 1) Cho biểu thức A 3) Với biểu thức A B nói trên, tìm giá trị x nguyên để giá trị biểu thức B(A – 1) số nguyên Bài II (2,0 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: Hai người làm chung cơng việc 12 xong Nếu người làm người thứ hồn thành cơng việc người thứ hai Hỏi làm người phải làm thời gian để xong công việc? Bài III (1,5 điểm) 2 x y 1) Giải hệ phương trình: 6 1 x y 2) Cho phương trình: x2 – (4m – 1)x + 3m2 – 2m = (ẩn x) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện : x12 x 22 Bài IV (3,5 điểm) Cho đường trịn (O; R) có đường kính AB Bán kính CO vng góc với AB, M điểm cung nhỏ AC (M khác A, C); BM cắt AC H Gọi K hình chiếu H AB 1) Chứng minh CBKH tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh ACM ACK 3) Trên đọan thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM tam giác vuông cân C 4) Gọi d tiếp tuyến (O) điểm A; cho P điểm nằm d cho hai điểm P, C nằm nửa mặt phẳng bờ AB điểm đoạn thẳng HK AP.MB R Chứng minh đường thẳng PB qua trung MA ThuVienDeThi.com Bài V (0,5 điểm) Với x, y số dương thỏa mãn điều kiện x 2y , tìm giá trị nhỏ biểu thức: M x y2 xy ĐỀ 2: Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức: P x2 x x 5x x a) Tìm điều kiện xác định biểu thức P b) Rút gọn P Câu 2: (2,0 điểm) Giải tốn cách lập phương trình Một tam giác vng có đường cao ứng với cạnh huyền dài 24cm chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng 14cm Tính độ dài cạnh huyền diện tích tam giác vng Câu 3: (2,0 điểm) Cho phương trình: x x m 3m (1) (trong x ẩn, m tham số) a) Giải phương trình (1) với m 3 b) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x12 x2 Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có đường cao AH, M điểm cạnh BC (M không trùng với B C) Gọi P, Q theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ M đến AB AC, O trung điểm AM Chứng minh rằng: a) Các điểm A, P, M, H, Q nằm đường tròn b) Tứ giác OPHQ hình ? ? c) Xác định vị trí điểm M cạnh BC để đoạn thẳng PQ có độ dài nhỏ Câu 5: (1,0 điểm) Cho số thực a, b, c không âm thỏa mãn: a b c Tìm giá trị lớn biểu thức: Q a ab b b bc c c ca a ĐỀ 3: Câu 1: (2,0 điểm) Cho phương trình x x với hệ số a 1; b 2; c 3 a Tính tổng: S a b c b Giải phương trình ThuVienDeThi.com x 3y 2 x y Giải hệ phương trình Câu 2: (2,0 điểm) 1 y 1 Cho biểu thức Q : với y 0; y y y y y y a) Rút gọn biểu thức Q b) Tính giá trị Q y 2 Câu 3: (2,0 điểm) Cho đường thẳng d : y 2bx parabol P : y 2 x a) Tìm b để d qua B 1;5 b) Tìm b để đường thẳng d cắt parabol P hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x12 x22 x1 x2 Câu 4: (3,0 điểm) Cho đường trịn (O;R) đường kính EF Bán kính IO vng góc với EF, gọi J điểm cung nhỏ EI (J khác E I), FJ cắt EI L, kẻ LS vng góc với EF (S thuộc EF) a) Chứng minh tứ giác IFSL nội tiếp b) Trên đoạn thẳng FJ lấy điểm N cho FN=EJ Chứng minh rằng, tam giác IJN vuông cân c) Gọi d tiếp tuyến (O) E Lấy D điểm nằm d cho hai điểm D I nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng EF ED.JF JE.OF Chứng minh đường thẳng FD qua trung điểm đoạn thẳng LS Câu 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c thỏa mãn ab bc ca CMR: a4 b4 c4 b 3c c 3a a 3b ThuVienDeThi.com ... – = x = Vậy tập nghiệm phương trình S = 2;2 x c/ 3x2 – 6x = Vậy tập nghiệm phương trình S = 0;2 x Bài : Giải phương trình sau : a/ 4x2 – 16 = x = Vaäy tập nghiệm phương... điểm) Cho số thực a, b, c không âm thỏa mãn: a b c Tìm giá trị lớn biểu thức: Q a ab b b bc c c ca a ĐỀ 3: Câu 1: (2,0 điểm) Cho phương trình x x với hệ số a ... = Vậy tọa độ giao điểm cần tìm : (-1; 4 ) vaø (2; ) 3 Bài : Cho hàm số (P) : y = x2 vaø (d) y = x + a) Vẽ đồ thị hai hàm số (P) (d) mặt phẳng tọa độ x Y = x2 -4 -8 -2 -2 0 -2 -8 x y= x+1