Đề thi olympic năm học: 20142015 môn: Toán 8 (thời gian làm bài 120 phút)33981

PHỊNG GD&ĐT THANH OAI Tr­êng thcs mai ®Ị thi Olympic Năm học: 2014-2015 Mơn: Tốn (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u1: ( điểm)  x   2x Cho biÓu thøc: A =    : 1 x x 1 1 x  x  x a) Tìm điều kiện xác định A, rút gọn biểu thức A b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên Câu2: ( im) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: (3x 2)3 – (x – 3)3 – (2x + 1)3 b) ¸p dụng giải phương trình: (3x 2)3 (x 3)3 = (2x + 1)3 C©u3: ( điểm) a) Giải phương trình: x = 2x + b) Tìm số nguyên tố p cho: p+2 p+10 số nguyên tố Câu4: (3 im) Cho x, y số thực không âm thoà m·n: x2 – 2xy + x - 2y  Tính giá trị lớn biẻu thức: M = x2 – 5y2 + 3x C©u5: (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông A( AC > AB), đường cao AH Trên tia HC lấy HD = HA Đường vuông góc với BC D cắt AC E a) Chøng minh: AE = AB b) Gäi M lµ trung ®iĨm cđa BE TÝnh gãc AHM ThuVienDeThi.com H­íng dẫn chấm Olympic Môn: toán - lớp năm học 2014 - 2015 C©u1: ( điểm) a ( điểm) +) §iỊu kiƯn:   x  1  x   x   +) Quy đồng mẫu số biến đổi được: A = b ( điểm) Ta cã A = 2x  2x 2x = -1 + Suy A nhận giá trị nguyên  2x  2x – 2x =  x = x = Đối chiếu ĐK ban đầu x = x = không thoà mÃn Vậy giá trị x thoà mÃn yêu cầu toán Câu2: ( điểm) a ( điểm) Chøng minh: NÕu a + b + c = th× a3 + b3 + c3 = 3abc ¸p dơng ta cã: (3x – 2)3 – (x – 3)3 – (2x + 1)3 = (3x – 2)3 + ( - x + 3)3 + ( - 2x - 1)3 = 3(3x – 2)( - x + 3)( - 2x – 1) b ( điểm) Ta cã: (3x – 2)3 – (x – 3)3 = (2x + 1)3  (3x – 2)3 – (x – 3)3 - (2x + 1)3 =  3(3x – 2)( - x + 3)( - 2x – 1) =  x= hc x = hc x = C©u3:( điểm) a ( im) +) Với x 0: Phương trình đà cho trë thµnh x  = 2x + Giải x = +) Với x 0: Phương trình đà cho trở thành x = 2x + Giải x ThuVienDeThi.com Suy nghiệm phương trình đà cho là: x0 b ( im) Đáp số p=3 Xét p dạng: p=3k, p=3k+1, p=3k+2 Câu4: (3 điểm) Ta cã x2 – 2xy + x - 2y =(x – 2y)(x + 1)   x  y ( x nên x + > 0) Do ®ã M = x2 – 5y2 + 3x  4y2 – 5y2 + 6y = -y2 + 6y = -(y – 3)2 +  M = vµ chØ y = 3, v x2-5.32+3x=9 hay y=3, x=6 Vậy giá trị lớn M Câu5: (6 im) a (3 im) Ta cã  CDE ~  CAB ( hai tam giác vuông có góc C chung) CE CD  CAD ~ CBE  Aˆ  Bˆ  Eˆ  Dˆ  45 (V×  AHD vuông cân) ABE CB CA vuông cân AE = AB(®fcm) b ( điểm) Tõ  ABE vuông cân kết hợp với GT suy AM BE.Kéo dài AM cắt BC K Ta có: AHK ~  BMK  AK HK   AKB ~  HKM  MHK  BAK  45  (vì BK MK ABE vuông cân nên AM vừa lầ đường trung tuyến vừa đường phân giác suy BAK  45  )  AHM  45  A E M B H K C A D ThuVienDeThi.com C ...Hướng dẫn chấm Olympic Môn: toán - lớp năm häc 2014 - 2015 C©u1: ( điểm) a ( điểm) +) §iỊu kiƯn:   x  1  x   x  ... 2x =   x = hc x = Đối chiếu ĐK ban đầu x = x = không thoà mÃn Vậy giá trị x thoà mÃn yêu cầu toán Câu2: ( điểm) a ( điểm) Chøng minh: NÕu a + b + c = th× a3 + b3 + c3 = 3abc ¸p dơng ta cã:... thµnh x  = 2x + Giải x = +) Với x 0: Phương trình đà cho trở thành x = 2x + Giải x ThuVienDeThi.com Suy nghiệm phương trình đà cho là: x0 b ( im) Đáp số p=3 Xét p dạng: p=3k, p=3k+1, p=3k+2