(SKKN mới NHẤT) SKKN ứng dụng hình học giải các bài toán giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất mô đun của số phức

MỤC LỤC 1.Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài .02 1.2 Mục đích nghiên cứu………………………………………… 02 1.3 Đối tượng nghiên cứu………………………………………… .02 1.4 Phương pháp nghiên cứu…………………………………… .02 1.5 Những điểm SKKN 03 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm : 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 03 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiêm 03 2.3 Các nội dung, biện pháp tổ chức thực 03 a) Một số kiến thức số phức: 03 b) Lớp tốn tìm GTLN – GTNN tổng hay hiệu mô đun: 04 Bài toán 1:Tập hợp điểm biễu diễn số phức z đường thẳng 04 Bài toán 2:Tập hợp điểm biễu diễn số phức z đường trịn .05 Bài tốn 3:Tập hợp điểm biễu diễn số phức z đường elip 07 Bài toán 4:Các toán dạng khác .13 2.4 Những kết đạt .15 Kết luận 15 3.1 Kết luận 15 3.2 Kiến nghị 16 (*)Tài liệu tham khảo 17 1.Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài : download by : skknchat@gmail.com Số phức có vai trị quan trọng toán học, với xuất số i, ký hiệu thông dụng toán học, dẫn đến việc định nghĩa số phức dạng z= a + bi, a, b số thực.Đối với chương trình tốn học phổ thơng số phức đưa vào cuối cấp lớp 12, việc làm quen sử dụng ứng dụng số phức vào giải tốn học sinh điều khó, năm gần đề thi THPT Quốc gia đề cập đến số phức dạng tốn đơn giản khó.Trong đề thi Quốc Gia, số phức chiếm tỉ trọng nhỏ có câu khó, em thực giỏi làm câu Vì Tơi viết chun đề với tham vọng nho nhỏ nhằm giúp cho em có nhìn rõ ràng số phức, số phương pháp điển hình để giải tốn số phức : phương pháp Hình Học, phương pháp Bất Đẳng Thức,…Đặc biệt, phương pháp Hình Học hữu ích lớp Bài tốn mơ- đun số phức Để giúp em hiểu sâu chất hình học số phức ứng dụng số phức, mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Ứng dụng hình học giải tốn giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ mơ đun số phức” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Mục đích Tơi nghiên cứu cực trị số phức nhằm để phục vụ công tác giảng dạy trường giúp đỡ học sinh Bản chất cần làm rõ sáng kiến kinh nghiệm nhìn thấy lời giải hay toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ số phức theo hướng hình học 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng mà hướng đến học sinh lớp 12 trường THPT Mai Anh Tuấn học sinh luyện thi THPT Quốc gia đặc biệt học sinh giỏi 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp chủ yếu mà tơi sử dụng thử nghiệm học sinh, tìm hiểu khó khăn em q trình học tập, nắm bắt điểm yếu học sinh Từ Tơi điều chỉnh q trình dạy học đưa phương pháp giúp em tiếp cận phương pháp hình học giải tốn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô đun số phức download by : skknchat@gmail.com Kiến thức phải hệ thống cách khoa học, tự nhiên; Đồng thời qua chuyên đề này, học sinh có nhìn chất số phức mắt hình học 1.5 Những điểm SKKN: Số phức chủ đề học sinh phổ thơng, đặc biệt học sinh trung bình trường THPT Mai Anh Tuấn điều mẻ Chính thế, Sáng kiến kinh nghiệm thân tơi giúp học sinh tiếp cận dễ dàng với giá trị lớn giá trị nhỏ modun số phức phương pháp hình học Bên cạnh đó, qua tốn có kèm theo đánh giá, nhận xét, tính sáng kiến Nội dung sáng kiến kinh nghiệm: 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến: 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến: Trong q trình giảng dạy trường THPT, Tơi nhận thấy học sinh chưa có kĩ giải toán giá trị lớn giá trị nhỏ mô đun số phức.Đặc biệt, kỹ hình học hóa tốn min, max Nhằm trang bị cho thân kiến thức cần thiết người giáo viên toán, thỏa mãn niềm đam mê toán học, khắc phục yếu điểm thân sau thời gian cơng tác, đồng thời giúp em học sinh trang bị cho kĩ tối thiểu việc tìm min, max số phức, khơi dậy niềm đam mê học toán, phát triển mở rộng tốn biết Tơi mạnh dạn đưa kinh nghiệm thân “Ứng dụng hình học giải tốn giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ mô đun số phức” 2.3 Các nội dung, biện pháp tổ chức thực hiện: a) Một số kiến thức số phức: 1) Cho số phức Mô đun số phức : Mỗi số phức z biễu diễn điểm M(a ;b) hay véc tơ Mỗi số phức z đồng với véc tơ Tổng hiệu hai số phức đồng với tổng hiệu hai véc tơ Mô đun số phức z độ dài véc tơ 2) Cho số phức Dấu “=” xảy Dấu “=” xảy Gọi M, N điểm biễu diễn số phức download by : skknchat@gmail.com Nếu M,I điểm biễu diễn số phức M thuộc đường trịn tâm I bán kính R Nếu M, A, B điểm biễu diễn số phức M thuộc đường trung trực AB Dưới số Bài toán mà Tác giả sưu tầm tạo số Bài tốn b) Lớp tốn tìm GTLN – GTNN tổng hay hiệu mô đun: Bài toán 1:Tập hợp điểm biễu diễn số phức z đường thẳng Ví dụ 1: Xét số phức z thỏa mãn số thực.Tính Giải:Gọi Ta có số thực Cách 1.Ta có Cách 2.Gọi thẳng điểm biểu diễn số phức z M di động đường Và điểm biểu diễn số phức -2 + 3i Ta có Nhận xét : Rõ ràng cách cách hay hơn, sinh động, dễ nhìn cách Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa điều kiện Tìm GTNN, GTLN Giải: Đặt M(x; y) điểm biểu diễn số phức z Ta có Vậy M chạy hai đường thẳng phía bên phải trục tung Ta có : Xét hai điểm download by : skknchat@gmail.com y Vậy M chạy đoạn gấp khúc AOB Ta có với C(5; 0) Vậy A O  C B Nhận xét:Nếu dùng phương pháp đại số khó để đánh giá.Tuy nhiên dùng hình học đơn giản.Cũng giả thiết thay đổi biểu thức P cách giải hồn tồn tương tự Bài tốn 2:Tập hợp điểm biễu diễn số phức z đường tròn Ví dụ 1:Xét số phức z thỏa mãn Gọi Tìm Giải: Gọi điểm biểu diễn số phức Xét điểm A(1; -5), B(-3; 2) Từ suy M nằm đường tròn (C ) tâm A, bán kính Ta có P = MB Từ ta có: Ví dụ 2.Cho số phức z thỏa mãn Gọi Tìm Giải: Gọi điểm biểu diễn số phức z Từ suy M nằm đường trịn (C ) tâm I(0;-2), bán kính Xét điểm A(3; -1) Ta có P = MA Từ ta có Ví dụ 3: Cho số phức thỏa mãn Gọi Tìm Giải: Gọi điểm biểu diễn số phức Từ , ta có N di động ∆ Gọi điểm biểu diễn số phức Từ ,ta có M di động đường trịn (C ) tâm I(2;1), bán kính ngắn MN Vậy Ví dụ 4: Cho số phức Tìm thỏa mãn download by : skknchat@gmail.com Gọi x Giải: Gọi điểm biểu diễn số phức Từ , ta có N di động ∆ Gọi điểm biểu diễn số phức Từ ,ta có M di động đường trịn (C ) tâm I(3;0), bán kính MN ngắn Vậy Ví dụ 5: Xét số phức z thỏa mãn số ảo.Tính , Bài tốn có cách giải.Nhưng tơi xin nêu cách Trước hết ta xem điểm biểu diễn số phức z Giải:Gọi Ta có số ảo đến ta có cách giải Cách Đặt và Ta có Vì download by : skknchat@gmail.com , với Cách 2.Gọi tâm điểm biểu diễn số phức z M di động đường trịn , bán kính , trừ điểm diễn số phức w = -3-2i Với điểm biểu Ta có Nhận xét: Rõ ràng cách dùng hình học đỡ thời gian hay cách lượng giác Bài toán 3:Tập hợp điểm biểu diễn số phức z Elip: Bài toán 3.1: Phương trình dạng tắc Bài tốn số phức tương ứng: Cho số phức thỏa mãn (Elip đứng) Tìm GTLN, GTNN Giải - Tính - Lập phương trình tắc Elip với với download by : skknchat@gmail.com Hoặc - Rút theo dạng: - Thay vào tương tự ta với - Dùng chức TABLE máy tính cầm tay Casio tìm GTLN GTNN hàm từ có Ví dụ minh họa: Ví dụ 1.Cho số phức Tìm thỏa mãn Gọi Phân tích:Biểu thức giả thiết tổng khoảng cách từ điểm M đến điểm cố định không đổi Điều gợi cho ta đến định nghĩa e líp Giải: Gọi điểm biểu diễn số phức Suy I trung điểm Gọi điểm biểu diễn số phức z Ta có Ta có đặt với Như M di động Elip có độ dài trục lớn 2a = 8, I, tâm hai tiêu điểm Elip Ta quy tốn :”Tìm GTLN, GTNN độ dài đoạn IM M di động Elip ’ Vậy IM lớn a = 4, IM nhỏ Ví dụ 2:Cho số phức Tìm Giải: Gọi thỏa mãn Gọi điểm biểu diễn số phức Suy I trung điểm Gọi điểm biểu diễn số phức z Ta có download by : skknchat@gmail.com Ta có Đặt Khi Như M di động Elip có độ dài trục lớn 2a = 26, I, tâm hai tiêu điểm Elip Ta quy tốn :”Tìm GTLN, GTNN độ dài đoạn IM M di động Elip ’ Vậy IM lớn , IM nhỏ Ta có Ví dụ 3: Xét số phức z thỏa mãn Giải: Gọi Tìm GTLN –GTNN điểm biểu diễn số phức z Và xét hai điểm trung điểm xem M nằm E-lip có I tâm = 10 Gọi Hơn , Ta hai tiêu điểm có độ dài trục lớn 2a điểm biểu diễn số phức : – 7i Ta có : Như vậy, A nằm trục lớn E – líp Và nên A nằm ngồi E-líp , - Bấm TABLE hàm với GTLN, GTNN Bài toán 3.2 Elip khơng tắc trung điểm tức tâm Elip Bài toán số phức tương ứng: Cho số phức Tìm GTLN, GTNN thỏa mãn Với đặc điểm nhận dạng download by : skknchat@gmail.com với Giải - Tính - Tính - Vì A tâm Elip M di chuyển Elip nên: + lớn hay + nhỏ hay Ví dụ minh họa Cho số phức nhỏ thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất, giá trị Giải - Ta có Ta cần tìm GTLN, GTNN - Ta thấy Do - Tính Vậy - Vậy , Do Bài tốn 3.3 Elip khơng có dạng tắc, khơng trung điểm nằm trục Elip 10 download by : skknchat@gmail.com Bài tốn 3.3.1: nằm trục Elip lớn ngồi: - Dấu hiệu nhận biết: - Thì Bài tốn 3.3.2: nằm trục lớn phía Elip: - Dấu hiệu nhận biết: - Thì Cịn GTNN khơng xác định nhanh Bài toán 3.3.3 nằm trục nhỏ (bất kể hay ngoài) Elip: - Dấu hiệu nhận biết: - Thì Cịn GTLN khơng xác định nhanh Ví dụ minh họa: Cho số phức thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 11 download by : skknchat@gmail.com Giải: I trung điểm Có Vậy Mặt khác Vậy Vậy thuộc nằm Elip ; Bấm máy: thấy + Gán vào A; vào B vào C + Kiểm tra A, B, C thẳng hàng + Kiểm tra A nằm Elip: + Bấm ; ELIP SUY BIẾN Bài toán: Cho số phức thỏa mãn: có Tìm GTLN, GTNN Giải: - Bài tốn tương đương với tốn hình học GTNN - Giả thiết Tìm GTLN, tương đương với M di chuyển đoạn thẳng Do đó: 12 download by : skknchat@gmail.com - Viết phương trình đường thẳng hoành độ - Rút theo với (ở ) từ phương trình - Tìm GTLN, GTNN vào T với đoạn Ví dụ minh họa: Cho số phức thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN Giải Với quy ước từ ban đầu, có Có Có M điểm biểu diễn thuộc đoạn thẳng nên phương trình tham số Với Có với Khảo sát hàm GTNN 18, giá trị lớn bẳng 130 Vậy Bài tốn 4:Các tốn dạng khác Ví dụ 1:Cho số phức thỏa mãn Gọi Tìm Giải: Gọi điểm biểu diễn số phức Đặt OA = , OB = Dựng hình bình hành OACB, với O gốc tọa độ.Khi AB = Ta có với véc tơ tương ứng với số phức z A OC = Xét tam giác OAB ta có I 13 O download by : skknchat@gmail.com B C Và OA = OB với I trung điểm đoạn AB Ví dụ 2:Cho số phức z thỏa mãn Tính Giải:Đặt Ví dụ 3:Cho số phức z, w có thỏa mãn Tính Giải: Ta có Mơ đun vế ta Ví dụ 4: Cho hai số phức thỏa mãn Tính Giải: Ta có: Đặt Khi Cách 2: Chọn Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức Giải: (BĐT Cauchy-swart) 14 download by : skknchat@gmail.com Chú ý: với z = x + yi Cách 2: Đặt z = x + yi ta có: Lại có Ta có: Ví dụ 6: Biết số phức z thỏa mãn phương trình Tính Giải: Ta có: 2.4 Những kết đạt được, kinh nghiệm rút ra, sản phẩm đề tài: - Qua thời gian thực nghiệm, học sinh nắm kĩ việc nhìn,nhận dạng tốn số phức mắt hình học - Kinh nghiệm cho thấy, kiến thức phải trang bị, bồi dưỡng cho em từ năm lớp 10 Không để đến gần thi cuối cấp dạy, lúc em tiếp cận hạn chế - Qua sáng kiến kinh nghiệm này, sản phẩm tơi thu niềm đam mê học tốn thầy trị, kĩ trang bị làm cho tư người học ngày phát triển Sáng kiến kinh nghiệm triển khai ứng dụng rộng rãi tồn học sinh khối 12 Đặc biệt, dùng để ôn thi học sinh giỏi luyện thi THPT Quốc gia Kết luận, kiến nghị 15 download by : skknchat@gmail.com 3.1 Kết luận Qua thời gian giảng dạy, nghiên cứu giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô đun số phức, vướng mắt học sinh thiếu kĩ phép biến đổi, đánh giá, nhìn nhận Có thể nói sáng kiến kinh nghiệm tơi thật cần thiết hữu ích cho giáo viên học sinh Đặc biệt giáo viên trẻ trường, cịn non kinh nghiệm Một lần nữa, tơi khẳng định: Sáng kiến kinh nghiệm kết mà Tôi thu sau thời gian học tập, rèn luyện nghiên cứu số phức Đồng thời, tích lũy kinh nghiệm qua q trình dạy học với đối tượng học sinh Đó kết tinh kiến thức qua nhiều hệ giúp đỡ, học hỏi từ đồng nghiệp Một số tốn có nêu lời giải đầy đủ, cịn có số vạch hướng giải.Hầu hết qua tập có nhận xét để học sinh người đọc cảm nhận sâu sắc toán Do yếu tố thời gian, kiến thức cách trình bày cịn nhiều hạn chế Rất mong nhận xét, góp ý quý đồng nghiệp em học sinh, để sáng kiến hoàn thiện Hy vọng rằng, tài liệu giúp ích cho q đồng nghiệp em học sinh trình giảng dạy học tập Trong thời gian tới, tiếp tục nghiên cứu để hoàn thiện giá trị lớn giá trị nhỏ mô đun số phức Nhằm bước hoàn thiện kĩ cho thân tạo mũi nhọn cho nhà trường 3.2.Kiến nghị: Có thể dùng sáng kiến tơi cho em học sinh giỏi,các giáo viên có niềm đam mê toán học cách rộng rãi.Xin chân thành cảm ơn Nga sơn, tháng năm 2018 Người viết đề tài Trần Văn Thành 16 download by : skknchat@gmail.com (*) DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn Toán – Thầy Trần Phương; Trọng tâm kiên thức phương pháp giải toán – Thầy Trần Bá Hà; Hàm biến phức – Thầy Nguyễn Văn Khuê; Thầy Lê Mậu Hải Bộ đề thi đại học, cao đẳng Bộ GD ĐT từ năm 2002 đến năm 2014; 90 đề thi thử Đại học, cao đẳng nhà sách Lovebook – GSTT Group; Một số kiến thức giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô đun số phức mạng Internet Tạp chí tốn học tuổi trẻ Website :toanmath.com ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG CHẤM SKKN 17 download by : skknchat@gmail.com 18 download by : skknchat@gmail.com ... lớp Bài tốn mơ- đun số phức Để giúp em hiểu sâu chất hình học số phức ứng dụng số phức, mạnh dạn lựa chọn đề tài: ? ?Ứng dụng hình học giải tốn giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ mô đun số phức? ?? 1.2 Mục... khơi dậy niềm đam mê học toán, phát triển mở rộng tốn biết Tơi mạnh dạn đưa kinh nghiệm thân ? ?Ứng dụng hình học giải toán giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ mô đun số phức? ?? 2.3 Các nội dung, biện pháp... trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô đun số phức download by : skknchat@gmail.com Kiến thức phải hệ thống cách khoa học, tự nhiên; Đồng thời qua chun đề này, học sinh có nhìn chất số phức mắt hình học