Đang tải... (xem toàn văn)
Chương I : Căn bậc hai.Căn bậc ba A. Kiến thức cơ bản: 1. Căn bậc hai a. Định nghĩa: Căn bậc hai của số thực a là số x sao cho x2 = a Chú ý: + Mỗi số thực a > 0, có đúng 2 căn bậc hai là 2 số đối nhau: số dương: , số âm: b. Căn bậc hai số học Định nghĩa: Với thì số được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0 Định lý: Với a, b > 0, ta có: + Nếu + Nếu 2. Căn thức bậc hai a. Định nghĩa : Cho A là 1 biểu thức thì biểu thức được gọi là căn thức bậc hai của A ; A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn có nghĩa (hay xác định hay tồn tại) b. Hằng đẳng thức căn bậc hai của một số bình phương chính bằng trị tuyệt đối của nó vd : √((5)2 )=5 Định lý : Với mọi số thực a, ta có : Tổng quát : Với A là biểu thức, ta có : 3. Khai phương một tích. Khai phương một thương a) Định lý : Mở rộng : a ;b ;c ≥ 0 ,ta có √(a.b.c) =√a. √b. √c b) Định lý : 4.Các phép biến đổi đơn giản a. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn √(A2 B)=√(A2 ).√B b. Đưa thừa số vào trong dấu căn 5√2=√(〖(5)〗2.2) c. Khử mẫu của biểu thức lấy căn : d. Trục căn thức ở mẫu a) b) c) 5.Căn bậc ba: + Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3=a. + Mỗi số a đều có duy nhất một căn bậc ba +Kí hiệu căn bậc ba của a là ∛a + Căn bậc ba của một số dương là một số dương, căn bậc ba của một số âm là một số âm, căn bậc ba của số 0 là số 0 + a > b ∛a>∛b + Với mọi số a,b ta có ∛a.∛b = ∛a . ∛b + Với mọi số a,b ta có B.Bài tập BÀI TẬP NHẬN BIẾT Câu 1:Căn bậc hai số học của số a không âm là: A. B. C. D. Số có bình phương bằng a Câu 2:Căn bậc hai số học của 25 là: A. 25 và 25 B. 5 C. và D. 5 Câu 3: Cho 4 số 7; 0; 1,2 ; .Trong bốn số này có bao nhiêu số có hai căn bậc hai. A.1 B.2 C.3 D.4 Câu 4: Câu nào dưới đây sai: A.Với , nếu x = thì B. Với , nếu thì C.Nếu y = thì y> 0 D. Nếu x = 3 thì x có hai căn hậc hai Câu 5: xác định khi: A. B. >0 C. D. Câu 6: Nếu thì : A. B. C. D. Một kết quả khác Câu 7: bằng:
Chương I : Căn bậc hai.Căn bậc ba A Kiến thức bản: Căn bậc hai a Định nghĩa: Căn bậc hai số thực a số x cho x2 = a - Chú ý: + Mỗi số thực a > 0, có bậc hai số đối nhau: số dương: a , số âm: − a b Căn bậc hai số học - Định nghĩa: Với a ≥ số x = a gọi bậc hai số học a Số gọi bậc hai số học - Định lý: Với a, b > 0, ta có: + Nếu a < b ⇒ a < b + Nếu a < b ⇒ a < b Căn thức bậc hai a Định nghĩa : Cho A biểu thức biểu thức A gọi thức bậc hai A ; A gọi biểu thức lấy hay biểu thức dấu - A có nghĩa (hay xác định hay tồn tại) ⇔ A ≥ A2 = A b Hằng đẳng thức bậc hai số bình phương trị tuyệt đối vd : - Định lý : Với số thực a, ta có : a = a A nêu A ≥ A2 = A = -A nêu A ta có: b) Định lý : 4.Các phép biến đổi đơn giản a Đưa thừa số dấu a = b a b A B ( A ≥ 0; B ≥ 0) A2 B = A B = − A B ( A < 0; B ≥ 0) b Đưa thừa số vào dấu − A ≥ 0; B ≥ : A B = A2 B − A < 0; B ≥ : A B = − A2 B A.B ≥ 0; B ≠ : c Khử mẫu biểu thức lấy : d Trục thức mẫu a) b) B > 0: A A B = B B A ≥ 0; A ≠ B : A, B ≥ 0; A ≠ B : ( C A mB C = A − B2 A±B C C = A± B ( A = B A.B B ) Am B ) Nhân liên hợp A− B c) 5.Căn bậc ba: + Căn bậc ba số a số x cho =a + Mỗi số a có bậc ba +Kí hiệu bậc ba a + Căn bậc ba số dương số dương, bậc ba số âm số âm, bậc ba số số +a>b ⇔ + Với số a,b ta có = + Với số a,b ta có a 3a = b 3b B.Bài tập BÀI TẬP NHẬN BIẾT Câu 1:Căn bậc hai số học số a không âm là: A − a a B C ± a D Số có bình phương a Câu 2:Căn bậc hai số học 25 là: A 25 -25 B -5 Câu 3: Cho số -7; 0; 1,2 ; hai A.1 25 C − 25 D Trong bốn số có số có hai bậc B.2 C.3 D.4 Câu 4: Câu sai: A.Với a≥0 , x = (−6) C.Nếu y = Câu 5: A x ≥0 x − a thì y> a = x2 B Với a≥0 , x= a D Nếu x = -3 x có hai hậc hai xác định khi: B x >0 a = x4 C x≥0 D x>0 Câu 6: Nếu A x2 = − x x> C −(2 x + 1) x< B C 2x +1 x≥ C xác định khi: A A > C A < B A ≥ D A ≤ Câu 10 A A2 = ? A2 = A C A2 = A2 B Câu 11 D ( −0,5) A 0,5 D Một kết khác D −2 x + xác định khi: A x2 = x2 bằng: B − 2x Câu x2 = x B 2x +1 Câu 8: A : (2 x + 1) Câu 7: A x≥0 A2 = A A2 = − A =? C - 0,5 x≤ D B 0,52 Câu 12 A.B = ? D 0,25 với A,B không âm A B A C − A B A.B B Câu 13 D A.B 144.9 = ? 144.9 A C 36 B D 1296 Câu 14 A 180 C 18 B 0,18 D 1,8 Câu 14:Trong đẳng thức sau, đẳng thức A C a a = b b a ≥0 b≠0 b với ; a a2 = b b a ≥0 b≠0 b với ; B D a = b a b a a = b b với với a≥0 a≥0 ;b > ;b>0 Câu 15: Điều kiện để có đẳng thức A C a = b a ≥0 b≠0 b ; a>0 a b là: a ≥0 b≠0 b B ; ; b>0 D a≥0 Câu 16 :Trong đẳng thức sau, đẳng thức sai B B C D a = b a b a.b = a2 = a a+b = với a≥0 a b với ;b > a≥0 b≥0 ; với giá trị a a+ b Câu 17:Giá trị biểu thức với 12 108 a≥0 b≥0 ; bằng: ;b>0 A B C D 80 20 Câu 18: Kết phép tính A bằng: B -2 C D -4 Câu 19: Kết phép tính bằng: A B Câu 20: Kết phép tính A B 16 C D C 16 D 48 Câu 21 Chọn câu trả lời đúng: A = với a,b ≥ B = - với a,b < C = với a ≥ 0, b > D với a,b > Câu 22: Sau thực phép tính đưa thừa số dấu biểu thức 62.5 ta kết 6 6.5 6.5 A B C D Câu 23: Sau thực phép tính đưa thừa số ngồi dấu biểu thức 18xy (với x ≥ 0; y ≥ 0) ta kết cuối y 18 x 9y x 3y x y 2x − 63 − 21 A B C D Câu 24: Sau thực phép tính đưa thừa số vào dấu biểu thức ta kết cuối 63 21 A B C D Câu 25: Sau thực phép tính đưa thừa số vào dấu biểu thức 5a 2 a A (với a ≥ 0) ta kết cuối bằng: 2a 10a B 10a C D 50a Câu 25: Khoanh tròn vào đáp án khẳng định sau A A2 B = A B B A2 B = A B C A2 B = A2 B D A2 B = A B ≥ (với B 0) Câu 26:Trong khẳng định sau khẳng định A x x = x3 B x x = x2 C x x = x3 ≥ (với x 0) D x x = x3 ≤ (với x 0) Câu 27: Hãy chọn cụm từ thích hợp để điền vào dấu (…)để khẳng định Khẳng định:Ta đưa … vào dấu A.Thừa số dương C.Thừa số lớn B.Thừa số âm D.Thừa số lớn Câu 28:Trong khẳng định sau khẳng định đúng? −x y = A C ( −x) y ( x ≥ 0; y ≥ ) − x y = x y ( x ≥ 0; y ≥ ) B D − x y = − x y ( x ≥ 0; y ≥ ) − x y = − x y ( x ≥ 0; y ≥ ) ( x − 1) Câu 29: A x −1 Câu 30: B x2 – x B −8 B B 79 A – 2x A 3ab2 C Biểu thức ( − 2x ) B – 3ab2 Câu 35: Giá trị C bằng: − 12 D 12 bằng: > 79 D Không so sánh B 2x – 9a 2b4 D ±25 , ta có kết luận sau: = 79 Câu 33: Biểu thức Câu 34: 2 + 3+ 2 3− 2 Câu 32: So sánh < 79 x D ( - )2 C ±5 Câu 31: Giá trị biểu thức A x −1 = x A 25 A C C 2x − D – 2x 2x – C a b2 3a b2 D A − B C 5 D 15 5 Câu 36: Trục thức mẫu A B 15 C Câu 37: Với x > 0, y > 0, biểu thức x3 y xy B - Câu 38: Biểu thức x y 25x y xy C A B Câu 39 : Căn bậc ba A:2 x xy y D - 5x y 5x y D x xy y −5x y 15 biến đổi thành: x y A ta được: B: x2 y C: Câu 40: -7 bậc ba A: −7 B: - 343 C: - 49 B: số âm C: số dương Câu 41: Căn bậc ba số A: Câu 42 : A 27 là: B C D 27( x − 6) 48 a) y b > ( y − y + 1) x−3 = ( x − 3) x−3 y −1 b) Câu 22: a) Tính A= b) Rút gọn B = với a,b > với x ≠ 3; y > ; − + 3) : 3 ( Câu 23: a) Tính A = b) Rút gọn biểu thức A = Câu 24: a) Tính 3( x + y ) 2 x −y b) Rút gọn biểu thức M = Câu 25: a) Giải phương trình Tính x ≥ 0; y ≥ ab với a < ; b≠0 3.x + = 12 + 27 25 16 196 81 49 Câu 26: a) Giải phương trình b) với 0,01 16 ab b) Rút gọn biểu thức Câu 27: Rút gọn biểu thức A= với x 3.x − 12 = + 12a + 4a b2 với a ≥ −1,5 ; b < x≠ y Câu 29: Thực phép tính (5 Câu 30: Tìm x, biết: a) c)2 x − − x + 80 x − 45 x = 65 2 x − y2 x − 20 − x − 45 = −30 3( x + y )2 Câu 29: Rút gọn: (với x ≥ 0; y ≥ 0; x ≠ y) Câu 30: Tính giá trị biểu thức sau: + − 35 + 1÷ ÷ ÷ 1 − −1 ÷ 5+ Câu 31:Tìm x biết: x − x + 18 x = 14 Câu 32:Cho biểu thức: P = x −1 + 4x − − 16 x − 16 + 25 x − 25 ( x ≥ 1) a.Rút gọn biểu thứcP b.Tìm x để P=6 Câu 33: Khai triển rút gọn biểu thức A= ( x+ y )( x− x y+y ) với x ≥ 0; y ≥ Câu 34: Chứng minh đẳng thức: (x y+y x )( xy Câu 35: Rút gọn a, b, xy x2 y 2 2(a + b) a2 − b2 Câu 36: Rút gọn y x a, A = ( – ) x b, B = ( - y ) ( y − x) y−x x− y ) = x− y (với x>0;y>0) 16 x + 16 − 9( x + 1) + 25 x + 25 Câu 37: Rút gọn A = Câu 38: Rút gọn B = x − 48x + 108 x + 3x Câu 39: Rút gọn a) b) y x x2 y4 (với x > 0; y < a+ b a− b + a− b a+ b ) với a ≥ 0, b ≥ a Câu 40: Rút gọn a) 2− − 5+ 5− + − 10 5− 5+ b) Câu 41: Rút gọn biểu thức a) (x − 3) × (x − 3) 2 5a − 20a + b) Câu 42: Rút gọn ( x≠3 a − 10 a ) (với a > 0) ≠ b với x ≥ (x ≥0) −1 + − − 3+ 3 −1 Câu 43: Cho biểu thức: P= x x − x x + 2( x − x + 1) x− x − x+ x : x −1 Với x > 0; x ≠ a Rút gọn P b Tìm x để P< c Tìm x nguyên để P nhận giá trị nguyên Câu 44: Cho biểu thức: P= a b x −9 x +1 x +3 + − ( x − 3)( x − 2) x−3 x − với x ≥ 0, x ≠ 9, x ≠ Rút gọn biểu thức P Tính giá trị P biết x = 16 Câu 45: Cho biểu thức A = x x +1 x −1 x −1 − x −1 : x + x x − với x > x ≠ a) Rút gọn A b) Tìm giá trị x để A = Câu 46: Cho biểu thức a) Rút gọn P x x− x P = + ÷ ÷ x −1 x −1 x +1 với x ≥ 0, x ≠ b) Tìm x để P < x +1 x 2+5 x + + 4− x x −2 x +2 Câu 47: Cho biểu thức : P = a) Rút gọn P b) Tìm x để P =2 x = 3− 2 c) Tính giá trị P x −9 x−5 x +6 Câu 48: Cho biểu thức M = a Rút gọn M b Tìm x để M = + x +1 x −3 + với x x+3 2− x x x + x +1 Q = + − ÷ ÷ ÷: x ÷ 3+ x 9− x x −3 x Câu 49: Cho biểu thức a) Rút gọn b) Tìm x cho Q < -1 Câu 50: Cho biểu thức a b Câu 51: Tính a) b) với x ≥ 0, x≠ 4,x≠ với x > 0; x ≠ 2x − x A= − :2 − x + x + x x + x + x + Rút gọn A Tìm x để A nhận giá trị nguyên ≥ 0; x ≠ 4 54 16 : −2 với x ≥ c) −0,5 1, 25 Câu 52: So sánh a) b) 33 16 10 121 63 Câu 53: Rút gọn a) 27a 3 - 4a ; b) −125a 3b - 5b2 Câu 54: Tìm x biết a) 3x − = 2; Câu 55 Rút gọn Câu 56 : Tính 27a b) - 10 −16 8a Câu 57 : Trục thức mẫu Câu 58 : Giải pt : x −1 + a +16 3 − 2x =2 Câu 59: Rút gọn biểu thức: B = Câu 60: Tìm x biết: Câu 61: Rút gọn C = 2 −1 -3=0 BÀI TẬP VẬN DỤNG CAO Câu 1:Chứng minh: + + + + Câu 2:Chứng minh số =3 20162 + 20162.20172 + 2017 Câu 3:Giải phương trình: số nguyên x − x + 10 + x − 24 x + 45 = − x + x − Ta thấy: Ta có hệ phương trình ẩn : x 5 + Phương trình ax2+bx+c=0 có ba trường hợp: TH1: Phương trình vơ nghiệm TH2: Phương trình có nghiệm kép x=x0 ax2+bx+c=0 (x-x0)2=0 TH3: Phương trình có nghiệm phân biệt x1< x2 x 3 y + - + X2-5x+6=0 => (x-2)(x-3) X1+x2=5 X1.x2=6 Câu 4:Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 x+ x+ + x+ = 2 Câu 5: Giải phương trình Câu 6: Giải phương trình Câu Tính A = x − 2x + + x + 4x + x − x −1 + x + x − = −x + 4x − 4−2 ( − 3) A= 4+ Câu Tính Câu So sánh: 2+ Câu 10 Chứng minh đảo Câu 11 Cho biết ( + 4+2 2008 − 2007 x +5 − x −5 = ) ( 2008 + 2007 (x ≥ 5), tính ) hai số nghịch x +5 + x −5 Câu 12 Cho biểu thức 7+4 − 7−4 Hãy tính giá trị A Câu 13: Cho hai số thực x y thỏa mãn x + y = 15 Tìm GTLN GTNN biểu thức: A= x −4 + y −3 Câu 14: : Cho a > c; b > c; c > Chứng minh: Câu 15: a) Chứng minh: a + b b)Áp dụng: tìm x để A = Câu 16: Giải phương trình: Câu 17: Giải phương trình Câu 18 : Cho A = x− x + ≤ c(a − c) + c(b − c) ≤ ab 2( a + b ) x−3 + 5− x đạt giá trị lớn x − 24 x + 16 = − x + (1) (1) (x≥ 0) Tìm giá trị lớn A, giá trị đạt x bao nhiêu? Câu 19: Tìm GTLN A = Câu 20: Cho B = kiện x3 y3 + 1+ y 1+ x 5x − x + với x ≥0 x, y số dương thỏa mãn điều xy = Chứng minh B Câu 21: Chứng minh rằng: Câu 22: Cho ≥ 2015 2014 2013 2012 < 2015 A = 2016 − x + x − 2010 Chứng minh rằng: Với 2010 ≤ x ≤ 2016 6≤A≤2 x = 3+ 5+ + 3− 5+ Câu 23: Cho Tính giá trị biểu thức A= x − 4x + 6x − 4x + x − 2x + Câu 24:Chứng minh đẳng thức sau: a + b − ab : = a − b(a ≥ 0; b ≥ 0; a ≠ b) a −2 b a +2 b Câu 25:Rút gọn biểu thức: A= ( )( 8x2 y − y x − x x : Câu 26:Tìm x biết: 2y − x x − x2 =3 x 4− x ) với x ≥ 0; y ≥ 0; x ≠ y Câu 27:Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x −8 x +9 Câu 28:Tìm giá trị lớn biểu thức sau: B = − x + 10 x + Câu 29: Tìm x ∈N biết : x −1 + 4x − − 9x − < a2 + a +1 Câu 30: Chứng minh rằng: ≥2 Câu 31: Cho a b = Chứng minh a2 + b2 =2 a −b x − x − + x + 8− x − Câu 32: Cho biểu thức A = a Tìm điều kiện x để A xác định b) Tìm giá trị nhỏ A Câu 33:.Giải phương trình sau: y − 2011− x − 2010 − z − 2012 − + + = x − 2010 y − 2011 z − 2012 Câu 34: Rút gọn A= 1 1 + + + + 1+ 2+ 3+ 99 + 100 Câu 35: Cho a = 2016 − 2015 ; b = 2017 − 2016 So sánh a với b ? a = 1997 − 1996 ; b = 1998 − 1997 Câu 36:Tính − − 29 − 12 2( x + 1) x − 10 x + + + x −1 x+ x +1 x3 − M= Câu 37: Cho biểu thức với x ≥ 0,x ≠ a) Rút gọn M b)Tìm x để biểu thức M có giá trị lớn Câu 38: Rút gọn a) a +1 b) (a + 1)3 + ( a − 1)3 a2 − a + Câu 39: Giải phương trình a) 3- (2 x + 1) =0; b) − 2x +5=3 Câu 40: Rút gọn 3 Câu 41 Cho A= x3 + + 3x( x + 1) 60 + 60 + 60 + + 60 Câu 42 Giải phương trình x+2 + x−2 - ( x − 1)3 Chứng minh 3< A < = 5x Câu 43 Giải phương trình Câu 44 Tính B = ( x + 2) - ( x − 2) = ... c) 5 .Căn bậc ba: + Căn bậc ba số a số x cho =a + Mỗi số a có bậc ba +Kí hiệu bậc ba a + Căn bậc ba số dương số dương, bậc ba số âm số âm, bậc ba số số +a>b ⇔ + Với số a,b ta có = + Với số a,b... 2011 z − 2012 Câu 34 : Rút gọn A= 1 1 + + + + 1+ 2+ 3+ 99 + 100 Câu 35 : Cho a = 2016 − 2015 ; b = 2017 − 2016 So sánh a với b ? a = 199 7 − 199 6 ; b = 199 8 − 199 7 Câu 36 :Tính − − 29 − 12 2( x + 1)... 29: Rút gọn biểu thức x − x + 27 − 3 x Câu 30 : Rút gọn biểu thức (với x ≥ 0) 75 − 48 − 30 0 9a − 16a + 49a Câu 31 : Rút gọn D 24 (với a ≥ 0) Câu 32 :Đưa thừa số dấu a 16 .3 b 72 Câu 33 :Đưa thừa số