PHÒNG GD-ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 - 2015 MƠN THI : TỐN Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Bài 1(6đ) 3 x 1) Cho biểu thức Q 1 x x x 27 x a/ Tìm điều kiện Q rút gọn Q b/ Tính giá trị Q x 2) Chứng minh A = 13 + 23 + 33 + + 1003 chia hết cho B = + + + + 100 Bài 2: (4đ) 1) x 2013 x 8052 2)) Cho abc = 1.Tính S = 1 a ab b bc c ac Bài 3: (3đ) 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + 2y2 + 2xy + 3y – = 2) Biết a,b số thoả mãn a > b > a.b = a b2 2 Chứng minh : a b Bài 4: (6,0 đ) Cho nửa đường trịn đường kính BC = 2R, tâm O cố định Điểm A di động nửa đường trịn Gọi H hình chiếu điểm A lên BC Gọi D E hình chiếu H lên AC AB a) Chứng minh tam giác ABC vuông b)Chứng minh: AB EB + AC EH = AB2 c) Xác định tam giác ABC cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn theo R Bài 5: (1đ) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2( x y ) 16 xy HẾT ThuVienDeThi.com TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2014 – 2015 Mơn thi : Tốn Tóm tắt lời giải Bài 1.a) ĐKXĐ: x 0; x Q = Bài Câu 1a (2đ) 0,5 x 1 x x 27 x x 33 x x 3 Q = 3x x x ( x )( x x 3) x x ( x 3) = 3x ( x )( x x 3) x Điểm 0,5 0,5 0,5 1.b) Ta có: x x 82 82 2 1 1 Bài Câu 1b (2 đ) x x 0,5 2 0,5 1 7 1 2 0,5 x Thay x = vào Q ta có: Q Bài Câu (2 đ) 2 2 0,5 Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + + (50 + 51) = 101 50 0,5 Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 0,25 101 Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + +(503 + 513) 0,25 = (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 99 + 992) + + (50 + 0,25 51)(502 + 50 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 99 + 992 + + 0,25 ThuVienDeThi.com 502 + 50 51 + 512) chia hết cho 101 (1) 0,25 Lại có: 0,25 A = (13 + 993) + (23 + 983) + + (503 + 1003) Mỗi số hạng ngoặc chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2) 0,25 Từ (1) (2) suy A chia hết cho 101 50 nên A chi hết cho B Bài (1,5 đ) (2,5 đ) x 2013 x 8052 3; ÐKx: 2013 x 2013 x 2014(TMÐK ) Cho abc = ab c 1 S= a ab b bc c ac 1 = abc b bc c ac 1 a c = c 1 c ac b ac c c ac bc b = b 1 c ac = 1,0 0.5 0,5 0,5 0,5 b c ac 1 1 b c ac 1 0,5 Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình: (1,5đ) x2 + 2y2 + 2xy + 3y – = (1) (1) (x2 + 2xy + y2) + (y2 + 3y – 4) = 0,25 (x + y)2 + (y - 1)(y + 4) = 0,25 (y - 1)(y + 4) = - (x + y)2 (2) 0,25 Vì - (x + y)2 với x, y nên: (y - 1)(y + 4) - y Vì y nguyên nên y 4; 3; 2; 1; 0; 1 Thay giá trị nguyên y vào (2) ta tìm cặp nghiệm nguyên (x; y) PT cho là: (4; -4), (1; -3), (5; -3), ( -2; 0), (-1; 1) (1,5 đ) 0,5 0,25 0,25 0,25 - Vì a.b = nên 0,25 0,25 ThuVienDeThi.com a b a b 2ab ab ab a b 2 ab a b 0,25 ab 0,5 - Do a > b > nên áp dụng BĐT Cô Si cho số dương Ta có : a b Vậy 2 a b a b a b 0,25 a b2 2 a b Bài 6đ A 0,5 E D C H O B a) Chứng minh tam giác ABC vng Ta có: OA= OB = OC = R => Tam giác ABC vuông A (theo đl đảo) b) Chứng minh: AB EB + AC EH = AB2 Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật AB EB = HB2 AC EH = AC AD = AH2 Ta có: AB2 = AH2 + HB2 (định lý Pi ta go) => Đpcm AD AE DE AH 2 2 2 AH AO R S(ADHE) 2 2 R Vậy Max S(ADHE)= Khi AD = AE hay AB = AC b) S(ADHE)= AD.AE Bài (1,0đ) Tam giác ABC vuông cân A Ta có 2( x y ) 16 3xy 3xy x y 16 y (3 x 2) (3 x 2) 16 (3 x 2)(3 y 2) 52 3 Giả sử: x y 3x y 52 = 1.52 = 2.26 = 4.13 ta có ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 trường hợp sau: 3 x ; 3 y 52 3 x ; (loại) 3 y 26 3 x ; 3 y 13 => nghiệm nguyên dương PT là: ( 1; 18);( 18; 1); ( 2; 5); ( 5; 2) Ban giám hiệu duyệt PHT Vũ Thị Hồng Thắm Tổ phó duyệt đề Lê Thị Hồng Thủy ThuVienDeThi.com 0,25 Giáo viên đề Nguyễn Đức Anh ...TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2014 – 2015 Môn thi : Tốn Tóm tắt lời giải Bài 1.a) ĐKXĐ: x 0; x Q = Bài Câu 1a... 2; 5); ( 5; 2) Ban giám hiệu duyệt PHT Vũ Thị Hồng Thắm Tổ phó duyệt đề Lê Thị Hồng Thủy ThuVienDeThi.com 0,25 Giáo viên đề Nguyễn Đức Anh ... nên A chi hết cho B Bài (1,5 đ) (2,5 đ) x 2013 x 8052 3; ÐKx: 2013 x 2013 x 2014( TMÐK ) Cho abc = ab c 1 S= a ab b bc c ac 1 = abc b bc c ac