Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất... Đường thẳng qua trung điểm M của cạnh BC song song với AD cắt AC tại E và cắt AB tại F..[r]
(1)UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán - Lớp Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: ( 2,5 điểm) x2 x 2x a Cho: A x x x 10 x - Thực rút gọn A - Tìm x nguyên để A nguyên b Chứng minh: a + b = c thì a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 Bài 2: ( 1,5 điểm) a Chứng minh: a2 + b2 + c2 ab + ac + bc với số a, b, c b Chứng minh bc ac ab a b c với số dương a, b, c a b c Bài 3: (1,5 điểm) Giải phương trình: x x x 16 x 72 x x 20 x 12 x 42 x2 x8 x4 x6 Bài 4: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD M là điểm trên đường chéo BD Hạ ME góc với AB và MF vuông góc với AD a Chứng minh DE CF; EF = CM b Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui c Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn Bài 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) có AD là phân giác Đường thẳng qua trung điểm M cạnh BC song song với AD cắt AC E và cắt AB F Chứng minh BF = CE Lop8.net (2) UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán - Lớp Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: ( 2,5 điểm) x2 x 2x A x ( x 5)( x 2) x 0,25 Điều kiện để A có nghĩa là x ≠5 và x ≠2 x x x (2 x 4)( x x x 15 ( x 5)( x 2) ( x 5)( x 2) ( x 5)( x 3) x A ( x 5)( x x2 A ( x 2) 1 1 x2 x2 A nguyên và nguyên, đó x-2=1 x-2 =-1 x2 x=3, x=1 A Đặt P = a4 + b4 + c4 - 2a2b2 -2 b2c2 - 2a2c2 = (a2 + b2 + c2 )2 - 4a2b2 - 4b2c2 - 4a2c2 Thay c2 = (a+b)2 vào ta được: = (2a2 + 2b2 + 2ab )2 - 4(a2b2 + b2c2 + a2c2) = 4[(a2 + b2 + ab)2 - a2b2 - c2(a2+b2)] Thay c2 = (a+b)2 vào ta được: = 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab + a2b2 - a2b2 -(a+b)2 (a2+b2)] = 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab -(a+b)2(a2+b2)] = 4(a2+b2)[ (a2+b2) +2ab -(a+b)2] = a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 Bài 2: ( 1,5 điểm) 2(a2 + b2 + c2 ) 2(ab + ac + bc) 2a2 + 2b2 + 2c2 -2ab -2ac - 2bc (a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2 Bất đẳng thức cuối luôn đúng (Do (a-b)2 …) nên có đpcm Câu b 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (bc) (ac) (ab) abc abc abc abc Nhân hai vế với số dương abc được: (bc) (ac) (ab) a bc b ac c ab Áp dụng a) cho ba số ab, bc, ca ta có: (bc) (ac) (ab) a bc b ac c ab đpcm Lop8.net 0,25 0,25 (3) Bài 3: (1,5 điểm) ( x 2) ( x 8) ( x 4) ( x 6) x2 x8 x4 x6 x2 x8 x4 x6 x2 x8 x4 x6 x2 x8 x4 x6 x2 x8 x4 x6 x 16 x 24 ( x 2)( x 8) ( x 4)( x 6) 0,25 0,25 0,25 (5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x+8) (5x+16)(x2 +10x + 24) = (5x+24)( x2 +10x + 16) 5x3 + 50x2 + 120x + 16x2 + 160x + 16.24 = 5x3 + 50x2 + 80x + 24x2 + 240x + 24.16 8x2 + 40x = 8x(x + 5) = x = 0; x = -5 Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm 0,25 0,25 0,25 Bài 4: (3,0 điểm) Câu a: 1,25 điểm D 0,25 DF = AE DFC = AED C F ADE = DCF M 0,25 EDC + DCF = EDC + ADE EDC + ADE = 900 nên DE CF MC = MA (BD là trung trực AC) MA = FE nên EF = CM 0,25 0,25 0,25 A E B Câu b: 1,0 điểm MCF =FED MCF = FED 0,25 Từ MCF = FED chứng minh CM EF Tương tự a) CE BF ED, FB và CM trùng với ba đường cao FEC nên chúng đồng qui Câu c: 0,75 điểm ME + MF = FA + FD là số không đổi ME.MF lớn ME = MF Lúc đó M là trung điểm BD 0,25 Lop8.net 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (4) Bài 5: (1,5 điểm) Trong BMF có AD//MF nên: 0,25 BF BM BA BD Trong CAD có AD//ME nên: 0,25 CE CM CA CD F A Chia vế theo vế được: BF CA BM CD BA CE BD CM BF CA CD (BM=CM) BA CE BD 0,25 AD là phân giác nên: 0,25 CD AC BD AB Thay vào trên được: BF CA AC BA CE AB BF BF CE CE 0,25 Lop8.net E 0,25 B D M C (5)