Câu III Cho đa giác bảy cạnh đều ABCDEFG.. là dãy số có được theo trên.. Chứng minh rằng dãy số đơn điệu và bị chặn.. Câu VI Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh bằng 1; M là điểm di
Trang 1Đề thi Học sinh giỏi tỉnh Bến Tre 2011-2012
Môn: TOÁN VÒNG 1 www.vnmath.com Câu I
Giải hệ phương trình
x2+ y2− 2x − 2y + 1 = 0 x(x − 2y + 2) = −1
Câu II
Tìm hệ số của số hạng x10 trong khai triển của (1 + x + x2+ x3)15
Câu III
Cho đa giác bảy cạnh đều ABCDEFG Chứng minh: AB1 = AC1 + AD1
Câu IV
Cho các số thực x, y, z ∈ [0, 1] Chứng minh: x2+y2+z2 ≤ x2y +y2z +z2x+1 Câu V
Cho phương trình x2n − 3x + 2 = 0 (1) trong đó n là số tự nhiên lớn hơn 1
1 Chứng minh rằng ứng với mỗi n, (1) có đúng một nghiệm xn ∈ [0, 1]
2 Gọi (xn) với n = 2, 3, 4, là dãy số có được theo trên Chứng minh rằng dãy số đơn điệu và bị chặn
Câu VI
Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh bằng 1; M là điểm di động trên đường chéo BD1 của hình lập phương Tìm giá trị nhỏ nhất của M A +
M D
1
www.VNMATH.com
Trang 2Đề thi Học sinh giỏi tỉnh Bến Tre 2011-2012
Môn: TOÁN VÒNG 2 www.vnmath.com Câu I
Ngũ giác đều ABCDE có cạnh bằng 1 có tâm là O Phép quay tâm O với góc quay ϕ biến ngũ giác ABCDE thành ngũ giác A1B1C1D1E1 Tính diện tích phần chung S của hai ngũ giác theo ϕ Tìm giá trị nhỏ nhất của S Câu II
Giải hệ phương trình:
(x + y)3 = z (y + z)3 = x (z + x)3 = y
Câu III
Cho x, y, z là các số thực lớn hơn -1 Chứng minh:
1 + x2
1 + y + z2 + 1 + y
2
1 + z + x2 + 1 + z
2
1 + x + y2 ≥ 2
Câu IV
Cho các dãy số {an}, {bn} với n = 0, 1, 2, 3 thỏa các điều kiện sau:
(i) (i) a0 = b0 = 1;
(ii) an+1 = an + bn với mọi n ∈ N;
(iii) bn+1 = 3an+ bn với mọi n ∈ N
1 Tìm công thức tổng quát của an, bn
2 Chứng minh rằng tồn tại một hằng số thực k sao cho n|k.ab− bn| < 2 với mọi n
Câu V
Tìm tất cả các hàm số f : [0; +∞) → [0; +∞) thỏa f (f (x)) + 7f (x) = 18x với mọi x ≥ 0
2
www.VNMATH.com