Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Bến Tre Năm 2011 - 2012 - Môn toán doc

Đề thi Học sinh giỏi tỉnh Bến Tre 2011-2012 Môn: TOÁN VÒNG 1 www.vnmath.com Câu I Giải hệ phương trình    x 2 + y 2 − 2x − 2y + 1 = 0 x(x − 2y + 2) = −1. Câu II Tìm hệ số của số hạng x 10 trong khai triển của (1 + x + x 2 + x 3 ) 15 . Câu III Cho đa giác bảy cạnh đều ABCDEFG. Chứng minh: 1 AB = 1 AC + 1 AD . Câu IV Cho các số thực x, y, z ∈ [0, 1]. Chứng minh: x 2 +y 2 +z 2 ≤ x 2 y+y 2 z +z 2 x+1. Câu V Cho phương trình x 2n − 3x + 2 = 0 (1) trong đó n là số tự nhiên lớn hơn 1. 1. Chứng minh rằng ứng với mỗi n, (1) có đúng một nghiệm x n ∈ [0, 1]. 2. Gọi (x n ) với n = 2, 3, 4, là dãy số có được theo trên. Chứng minh rằng dãy số đơn điệu và bị chặn. Câu VI Cho hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 có cạnh bằng 1; M là điểm di động trên đường chéo BD 1 của hình lập phương. Tìm giá trị nhỏ nhất của MA + MD. 1 www.VNMATH.com Đề thi Học sinh giỏi tỉnh Bến Tre 2011-2012 Môn: TOÁN VÒNG 2 www.vnmath.com Câu I Ngũ giác đều ABCDE có cạnh bằng 1 có tâm là O. Phép quay tâm O với góc quay ϕ biến ngũ giác ABCDE thành ngũ giác A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 . Tính diện tích phần chung S của hai ngũ giác theo ϕ. Tìm giá trị nhỏ nhất của S. Câu II Giải hệ phương trình:          (x + y) 3 = z (y + z) 3 = x (z + x) 3 = y. Câu III Cho x, y, z là các số thực lớn hơn -1. Chứng minh: 1 + x 2 1 + y + z 2 + 1 + y 2 1 + z + x 2 + 1 + z 2 1 + x + y 2 ≥ 2. Câu IV Cho các dãy số {a n }, {b n } với n = 0, 1, 2, 3 thỏa các điều kiện sau: (i) (i) a 0 = b 0 = 1; (ii) a n+1 = a n + b n với mọi n ∈ N; (iii) b n+1 = 3a n + b n với mọi n ∈ N. 1. Tìm công thức tổng quát của a n , b n . 2. Chứng minh rằng tồn tại một hằng số thực k sao cho n|k.a b − b n | < 2 với mọi n. Câu V Tìm tất cả các hàm số f : [0; +∞) → [0; +∞) thỏa f(f(x)) + 7f(x) = 18x với mọi x ≥ 0. 2 www.VNMATH.com . Tìm giá trị nhỏ nhất của MA + MD. 1 www.VNMATH.com Đề thi Học sinh giỏi tỉnh Bến Tre 201 1- 2012 Môn: TOÁN VÒNG 2 www.vnmath.com Câu I Ngũ giác đều ABCDE có cạnh bằng 1 có tâm là O. Phép quay tâm. Đề thi Học sinh giỏi tỉnh Bến Tre 201 1- 2012 Môn: TOÁN VÒNG 1 www.vnmath.com Câu I Giải hệ phương trình    x 2 + y 2 −. số của số hạng x 10 trong khai triển của (1 + x + x 2 + x 3 ) 15 . Câu III Cho đa giác bảy cạnh đều ABCDEFG. Chứng minh: 1 AB = 1 AC + 1 AD . Câu IV Cho các số thực x, y, z ∈ [0, 1]. Chứng minh: