PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN LONG BIÊN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN CHỌN CÂU LẠC BỘ MƠN HỌC EM U THÍCH CẤP QUẬN Mơn : TỐN Năm học 2014-2015 Ngày thi: 27/05/2014 Thời gian làm bài: 90 phút 2 x2 x 3x x 3 : Bài (5 điểm) Cho biểu thức A x 1 x 1 3x 3x a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A x thỏa mãn: 2014 x 2013 c) Tìm giá trị x để A < d) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị số nguyên Bài (3 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3(x2 - )2 - 36x b) Dựa vào kết chứng minh: A= n3(n2 - )2 - 36n 210 với số tự nhiên n Bài (3 điểm) Một người xe đạp, người xe máy người ô tô xuất phát từ địa điểm A lúc giờ, giờ, 10 ngày với vận tốc theo thứ tự 10km/giờ, 30km/giờ 50km/giờ Hỏi đến tơ vị trí cách xe đạp xe máy ? Bài (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC EAD ECB 1200 S AED 36cm Tính b) Cho BMC S EBC ? c) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM.BD + CM.CA có giá trị khơng đổi d) Kẻ DH BC H BC Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH, DH Chứng minh CQ PD Bài 5: (3điểm) a) Chứng minh số n2 +2014 với n ngun dương khơng số phương b) Cho a, b số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5 Chứng minh rằng: a2 + b2 + ab - Hết Chú ý: Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Giám thị coi thi khơng giải thích thêm ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Nội dung Ý Điểm ĐKXĐ : x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ 1/2 a) Rút gọn A= x 1 0.5 1.5 Từ 2014 x 2013 5đ Tìm x=1; x=0 (loại x=0 không thỏa mãn ĐK) 0.5 Thay x=1 vào biểu thức tính A= 0.5 c A< suy luận x 0,25 => Thời gian xe đạp x + (h) Thời gian xe máy x + (h) 3đ => Quãng đường ô tô 50x (km) ThuVienDeThi.com 0,75 Quãng đường xe đạp 10(x + 2) (km) Quãng đường xe máy 30(x + 1) (km) 0,5 Vì đến 10 xe máy vượt trước xe đạp => tơ vị trí cách xe đạp xe máy x nghiệm phương trình: 50x – 10(x + 2) = 30(x + 1) – 50x 0,5 (h) = 50 phút (TMĐK) 0,5 x = Vậy đến 10h50 phút tơ vị trí cách xe đạp xe máy 0,5 Hình vẽ: E D 0,5 A M Q B 6đ C P I H * Chứng minh EA.EB = ED.EC - Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (gg) - Từ suy a 0,5 0,5 EB ED EA.EB ED.EC EC EA ECB * Chứng minh EAD 0,5 - Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc) ECB - Suy EAD 0,5 ThuVienDeThi.com AMB = 60o ABM = 30o - Từ BMC = 120o - Xét b 0.5 = 30o EDB vng D có B ED = ED EB EB 0.5 S EAD ED - Lý luận cho từ S ECB EB c SECB = 144 cm2 - Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 0.25 - Chứng minh CM.CA = CI.BC 0.25 - Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị khơng đổi 0.5 Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 - Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) d 0,25 BH BD BP BD BP BD DH DC DQ DC DQ DC - Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc) BDP DCQ CQ PD o ma`BDP PDC 90 0,25 0,5 Nếu n2+2014 số phương với n nguyên dương n2+2014 =k2 k2 – n2 = 2014 0,25 (k – n)(k + n) = 2014 (*) Vậy (k + n) – (k – n) = 2n số chẵn nên k n phải chẵn lẻ 3đ a Mặt khác (k – n)(k + n) = 2014 chẵn Nên (k – n), (k + n) chia hết cho hay (k – n)(k + n) Mà 2014 không chia hết cho Suy đẳng thức (*) xảy Vậy khơng có số ngun dương n để số n2 + 2014 số phương b 0,25 Với số a, b dương: ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 Xét: a b2 ab a2 + b2 – ab 0,5 (a + b)(a2 + b2 – ab) (a + b) ( a + b > 0) a3 + b3 a + b (a3 + b3)(a3 + b3) (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5 ) 0,5 a6 + 2a3b3 + b6 a6 + ab5 + a5b + b6 2a3b3 ab5 + a5b ab(a4 – 2a2b2 + b4) ab a b 0.5 0.5 0,25 a, b > Vậy: a b2 ab với a, b dương a3 + b3 = a5 + b5 Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa ThuVienDeThi.com 0,25 ... Nếu n2 +2014 số phương với n nguyên dương n2 +2014 =k2 k2 – n2 = 2014 0,25 (k – n)(k + n) = 2014 (*) Vậy (k + n) – (k – n) = 2n số chẵn nên k n phải chẵn lẻ 3đ a Mặt khác (k – n)(k + n) = 2014. .. tiếp Trong số nguyên liên tiếp có : 3đ b) 0.75 - Một bội nên A chia hết cho - Một bội 3nên A chia hết cho - Một bội nên A chia hết cho - Một bội nên A chia hết cho Mà 2; 3; 5; đôi nguyên tố nên:... hay (k – n)(k + n) Mà 2014 không chia hết cho Suy đẳng thức (*) khơng thể xảy Vậy khơng có số ngun dương n để số n2 + 2014 số phương b 0,25 Với số a, b dương: ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25