Đề thi tuyển chọn câu lạc bộ môn học em yêu thích cấp quận môn: Toán năm học 2014 201530349

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN LONG BIÊN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN CHỌN CÂU LẠC BỘ MƠN HỌC EM U THÍCH CẤP QUẬN Mơn : TỐN Năm học 2014-2015 Ngày thi: 27/05/2014 Thời gian làm bài: 90 phút 2  x2   x 3x   x   3 :  Bài (5 điểm) Cho biểu thức A   x 1  x 1 3x  3x a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A x thỏa mãn: 2014  x   2013 c) Tìm giá trị x để A < d) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị số nguyên Bài (3 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3(x2 - )2 - 36x b) Dựa vào kết chứng minh: A= n3(n2 - )2 - 36n  210 với số tự nhiên n Bài (3 điểm) Một người xe đạp, người xe máy người ô tô xuất phát từ địa điểm A lúc giờ, giờ, 10 ngày với vận tốc theo thứ tự 10km/giờ, 30km/giờ 50km/giờ Hỏi đến tơ vị trí cách xe đạp xe máy ? Bài (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E ฀ ฀ a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC EAD  ECB ฀  1200 S AED  36cm Tính b) Cho BMC S EBC ? c) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM.BD + CM.CA có giá trị khơng đổi d) Kẻ DH  BC H  BC  Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH, DH Chứng minh CQ  PD Bài 5: (3điểm) a) Chứng minh số n2 +2014 với n ngun dương khơng số phương b) Cho a, b số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5 Chứng minh rằng: a2 + b2  + ab - Hết Chú ý: Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Giám thị coi thi khơng giải thích thêm ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Nội dung Ý Điểm ĐKXĐ : x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ 1/2 a) Rút gọn A= x 1 0.5 1.5 Từ 2014  x   2013 5đ Tìm x=1; x=0 (loại x=0 không thỏa mãn ĐK) 0.5 Thay x=1 vào biểu thức tính A= 0.5 c A< suy luận x 0,25 => Thời gian xe đạp x + (h) Thời gian xe máy x + (h) 3đ => Quãng đường ô tô 50x (km) ThuVienDeThi.com 0,75 Quãng đường xe đạp 10(x + 2) (km) Quãng đường xe máy 30(x + 1) (km) 0,5 Vì đến 10 xe máy vượt trước xe đạp => tơ vị trí cách xe đạp xe máy x nghiệm phương trình: 50x – 10(x + 2) = 30(x + 1) – 50x 0,5 (h) = 50 phút (TMĐK) 0,5 x = Vậy đến 10h50 phút tơ vị trí cách xe đạp xe máy 0,5 Hình vẽ: E D 0,5 A M Q B 6đ C P I H * Chứng minh EA.EB = ED.EC - Chứng minh  EBD đồng dạng với  ECA (gg) - Từ suy a 0,5 0,5 EB ED   EA.EB  ED.EC EC EA ฀ ฀  ECB * Chứng minh EAD 0,5 - Chứng minh  EAD đồng dạng với  ECB (cgc) ฀ ฀  ECB - Suy EAD 0,5 ThuVienDeThi.com ฀ AMB = 60o  ฀ABM = 30o - Từ BMC = 120o  ฀ - Xét b 0.5 ฀ = 30o  EDB vng D có B  ED = ED  EB  EB 0.5 S EAD  ED   - Lý luận cho  từ S ECB  EB  c  SECB = 144 cm2 - Chứng minh  BMI đồng dạng với  BCD (gg) 0.25 - Chứng minh CM.CA = CI.BC 0.25 - Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị khơng đổi 0.5 Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 - Chứng minh  BHD đồng dạng với  DHC (gg)  d 0,25 BH BD BP BD BP BD      DH DC DQ DC DQ DC - Chứng minh  DPB đồng dạng với  CQD (cgc) ฀ ฀   BDP  DCQ   CQ  PD o ฀ ฀ ma`BDP  PDC  90  0,25 0,5 Nếu n2+2014 số phương với n nguyên dương n2+2014 =k2 k2 – n2 = 2014 0,25  (k – n)(k + n) = 2014 (*) Vậy (k + n) – (k – n) = 2n số chẵn nên k n phải chẵn lẻ 3đ a Mặt khác (k – n)(k + n) = 2014 chẵn Nên (k – n), (k + n) chia hết cho hay (k – n)(k + n)  Mà 2014 không chia hết cho Suy đẳng thức (*) xảy Vậy khơng có số ngun dương n để số n2 + 2014 số phương b 0,25 Với số a, b dương: ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 Xét: a  b2   ab  a2 + b2 – ab  0,5  (a + b)(a2 + b2 – ab)  (a + b) ( a + b > 0)  a3 + b3  a + b  (a3 + b3)(a3 + b3)  (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5 ) 0,5  a6 + 2a3b3 + b6  a6 + ab5 + a5b + b6  2a3b3  ab5 + a5b  ab(a4 – 2a2b2 + b4)    ab a  b 0.5 0.5 0,25    a, b > Vậy: a  b2   ab với a, b dương a3 + b3 = a5 + b5 Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa ThuVienDeThi.com 0,25 ... Nếu n2 +2014 số phương với n nguyên dương n2 +2014 =k2 k2 – n2 = 2014 0,25  (k – n)(k + n) = 2014 (*) Vậy (k + n) – (k – n) = 2n số chẵn nên k n phải chẵn lẻ 3đ a Mặt khác (k – n)(k + n) = 2014. .. tiếp Trong số nguyên liên tiếp có : 3đ b) 0.75 - Một bội nên A chia hết cho - Một bội 3nên A chia hết cho - Một bội nên A chia hết cho - Một bội nên A chia hết cho Mà 2; 3; 5; đôi nguyên tố nên:... hay (k – n)(k + n)  Mà 2014 không chia hết cho Suy đẳng thức (*) khơng thể xảy Vậy khơng có số ngun dương n để số n2 + 2014 số phương b 0,25 Với số a, b dương: ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25