Đề thi tuyển chọn câu lạc bộ môn học em yêu thích cấp quận Long Biên có đáp án môn: Toán (Năm học 2014-2015)

Đề thi tuyển chọn câu lạc bộ môn học em yêu thích cấp quận Long Biên có đáp án môn: Toán năm học 2014-2015 giúp các bạn củng cố lại kiến thức và thử sức mình trước kỳ thi. Hy vọng nội dung đề thi sẽ giúp các bạn đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN LONG BIÊN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN CHỌN CÂU LẠC BỘ MƠN HỌC EM U THÍCH CẤP QUẬN Mơn: TỐN Năm học 2014-2015 Ngày thi: 27/05/2014 Thời gian làm bài: 90 phút 2  x2   x 3x   x   3 :  Bài (5 điểm) Cho biểu thức A   x 1  x 1 3x  3x a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A x thỏa mãn: 2014  x   2013 c) Tìm giá trị x để A < d) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị số nguyên Bài (3 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3(x2 - )2 - 36x b) Dựa vào kết chứng minh: A= n3(n2 - )2 - 36n  210 với số tự nhiên n Bài (3 điểm) Một người xe đạp, người xe máy người ô tô xuất phát từ địa điểm A lúc giờ, giờ, 10 ngày với vận tốc theo thứ tự 10km/giờ, 30km/giờ 50km/giờ Hỏi đến ô tô vị trí cách xe đạp xe máy ? Bài (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E   ECB  a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC EAD   1200 S b) Cho BMC AED  36cm Tính S EBC ? c) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM.BD + CM.CA có giá trị khơng đổi d) Kẻ DH  BC  H  BC  Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH, DH Chứng minh CQ  PD Bài 5: (3điểm) a) Chứng minh số n2 +2014 với n ngun dương khơng số phương b) Cho a, b số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5 Chứng minh rằng: a2 + b2  + ab - Hết Chú ý: Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Giám thị coi thi khơng giải thích thêm HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Ý Nội dung Điểm ĐKXĐ : x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ 1/2 a) Rút gọn A= x 1 0.5 1.5 Từ 2014  x   2013 5đ Tìm x=1; x=0 (loại x=0 không thỏa mãn ĐK) 0.5 Thay x=1 vào biểu thức tính A= 0.5 c A< suy luận x 0,25 => Thời gian xe đạp x + (h) Thời gian xe máy x + (h) 3đ => Quãng đường ô tô 50x (km) 0,75 Quãng đường xe đạp 10(x + 2) (km) 0,5 Quãng đường xe máy 30(x + 1) (km) Vì đến 10 xe máy vượt trước xe đạp => tơ vị trí cách xe đạp xe máy x nghiệm phương trình: 0,5 50x – 10(x + 2) = 30(x + 1) – 50x x = 0,5 (h) = 50 phút (TMĐK) Vậy đến 10h50 phút ô tô vị trí cách xe đạp xe máy 0,5 Hình vẽ: E D 0,5 A M Q B P I H C 6đ * Chứng minh EA.EB = ED.EC - Chứng minh  EBD đồng dạng với  ECA (gg) - Từ suy a 0,5 EB ED   EA.EB  ED.EC EC EA   ECB  * Chứng minh EAD - Chứng minh  EAD đồng dạng với b 0,5 0,5  ECB (cgc)   ECB  - Suy EAD 0,5  = 120o   AMB = 60o   ABM = 30o - Từ BMC 0.5 - Xét  = 30o  EDB vuông D có B  ED = ED  EB  EB 0.5 S EAD  ED   - Lý luận cho  từ S ECB  EB  c  SECB = 144 cm2 - Chứng minh  BMI đồng dạng với  BCD (gg) 0.25 - Chứng minh CM.CA = CI.BC 0.25 - Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị khơng đổi 0.5 Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 - Chứng minh  BHD đồng dạng với  DHC (gg)  d 0,25 BH BD BP BD BP BD      DH DC DQ DC DQ DC - Chứng minh  DPB đồng dạng với  CQD (cgc)   DCQ    BDP   CQ  PD   PDC   90o  ma`BDP  0,25 0,5 Nếu n2+2014 số phương với n ngun dương n2+2014 =k2 k2 – n2 = 2014  (k – n)(k + n) = 2014 (*) Vậy (k + n) – (k – n) = 2n số chẵn nên k n phải chẵn lẻ a Mặt khác (k – n)(k + n) = 2014 chẵn 0,25 0,25 0,25 0,25 Nên (k – n), (k + n) chia hết cho hay (k – n)(k + n)  3đ Mà 2014 không chia hết cho Suy đẳng thức (*) xảy Vậy khơng có số ngun dương n để số n2 + 2014 số phương b 0,25 0,25 Với số a, b dương: Xét: a2  b2   ab  a2 + b2 – ab  0,5  (a + b)(a2 + b2 – ab)  (a + b) ( a + b > 0)  a3 + b3  a + b  (a3 + b3)(a3 + b3)  (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5 ) 0,5  a6 + 2a3b3 + b6  a6 + ab5 + a5b + b6  2a3b3  ab5 + a5b  ab(a4 – 2a2b2 + b4)    ab a2  b2  0,25   a, b > Vậy: a2  b2   ab với a, b dương a3 + b3 = a5 + b5 Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa 0,25 ... nguyên liên tiếp Trong số nguyên liên tiếp có: 3đ b) - Một bội nên A chia hết cho - Một bội 3nên A chia hết cho 0.75 - Một bội nên A chia hết cho - Một bội nên A chia hết cho Mà 2; 3; 5; đôi nguyên... 1.0 d Lập luận để khẳng định x-1 bội suy , x = 3n+1 (n Z) 1.0 Phân tích x3(x2 - )2 – 36x 1.5 b a) = x(x + )( x - ) (x - )(x + ) ( x - )( x + ) Theo phần a ta có : 0.75 A = n3(n2 - 7)2 - 36n =... BCD (gg) 0.25 - Chứng minh CM.CA = CI.BC 0.25 - Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị khơng đổi 0.5 Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 - Chứng minh  BHD đồng dạng với