Kính gửi: Ban biên tập Tạp chí Tốn tuổi thơ Tên : Trương Quang An Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng Địa : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 01208127776 Bài 1: Tìm số tự nhiên thỏa mãn phương trình sau : ( x y )( y x) 2( x y )3 (1) Bài làm Nếu x y ngược lại Ta xét x, y nguyên dương Từ (1) suy x y Ta biến đổi (1) : ( x y )( y x) 2( x y )3 4( x y )( y x) 8( x y )3 ( x y y x) ( x y y x) 8( x y )3 Mà x y y x ( x y )( x y 1) nên ta : x y y x ( x y ) 8( x y ) ( x y 1) Do : 8( x y ) ( x y 1) số phương Ta có : ( x y 1) 8( x y ) ( x y 1) ( x y 3) (2) Mặt khác từ (1) suy x, y tính chẵn lẻ Kết hợp với (2) 8( x y ) ( x y 1) số phương suy 8( x y ) ( x y 1) ( x y 1) x 3y Khi ta có ( x y )( y x) x3 27 y Và 2( x y )3 16 y ,mâu thuẫn với (1).Vậy phương trình (1) có nghiệm ( x; y ) (0;0) ThuVienDeThi.com Kính gửi: Ban biên tập Tạp chí Tốn học tuổi thơ Tên : Trương Quang An Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng Địa : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 01208127776 Bài 2:Tìm tất ba số nguyên dương ( x; y; z ) thỏa mãn x y z y z 1 x Bài làm Giả sử ( x; y; z ) nghiệm phương trình Khi đó, theo bất đẳng thức AMGM x y z 1 x y z 1 3 · 3 x y z 1 x y z 1 x Suy 1 hay x x Với x : Khi bất đẳng thức phải xảy dấu đẳng thức, tức x y z 1 y z 1 x Giải hệ, thu ( x; y; z ) (2; 2;1) Với x phương trình cho trở thành y Khi z y z y z 1 (1) y z z2 z 1 Với z 1, thay vào (1), thu y y y y Với z 2, thay vào (1), thu y y Phương trình có biệt thức (3) 39 nên khơng có nghiệm, khơng có nghiệm ngun dương Vậy nghiệm phương trình x; y; z 2; 2;1, 1;1;1, 1; 2;1 ThuVienDeThi.com Kính gửi: Ban biên tập Tạp chí Tốn học tuổi thơ Tên : Trương Quang An Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng Địa : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 01208127776 Bài 3: Một vòng tròn chia thành k cung, đánh số từ đến k hình vẽ Ban đầu cung đặt viên bi Mỗi lần dịch chuyển, người ta dịch chuyển hai viên bi, viên theo chiều chiều kim đồng hồ, viên theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, vào cung kề với cung chứa (hai viên bi dịch chuyển không thiết phải từ cung) Hỏi sau hữu hạn bước vậy, có đưa k tất viên bi cung hay không? Bài làm Ta đánh số (gán nhãn) cho viên bi sau: viên bi cung thứ i gán nhãn i Gọi S tổng nhãn theo mod k Khi đó, sau số bước dịch chuyển, tất viên bi chuyển cung, chẳng hạn cung thứ n, S nk mod k Nhận xét Sau lần dịch chuyển, S bất biến theo mod k nhãn tăng 1, nhãn giảm 1, nhãn lại giữ nguyên Suy k (k 1) k S k Điều xảy k lẻ Vậy, ssau số bước chuyển, tất vien bi chuyển cung k lẻ Ta cách chuyển, với k 2n sau số hữu hạn bước chuyển viên bi đưa cung: - Chuyển viên bi cung theo chiều kim đồng hồ viên bi cung 2n theo ngược chiều kim đồng hồ; chúng đến cung thứ n - Lặp lại trình cho cung thứ i cung thứ 2n i (i 2,3,) Cứ vậy, tất viên bi chuyển cung thứ n ThuVienDeThi.com Kính gửi: Ban biên tập Tạp chí Tốn học tuổi thơ Tên : Trương Quang An Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng Địa : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 01208127776 x y z Bài 4:Giải hệ phương trình x y z 14 x y z 34 x, y , z Bài làm Giả sử ( x; y; z ) nghiệm hệ Xét đa thức P(t ) t at bt c nhận x, y, z làm nghiệm Suy a x y z hay a 4 Do ( x y z )2 x y z 2( xy yz zx) nên b xy yz zx ( x y z )2 ( x y z ) 1 Do x, y, z nghiệm P(t ) nên ( x3 y z ) 4( x y z ) ( x y z ) 3c suy c Do P(t ) t 4t t Ta có P(t ) t 4t t t 1t t 3 giải ba nghiệm t 1, t t 3 Vậy, hệ cho có tất nghiệm (1; 2;3) hoán vị Kính gửi: Ban biên tập Tạp chí Tốn học tuổi thơ ThuVienDeThi.com Tên : Trương Quang An Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng Địa : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 01208127776 Bài 5:Giải hệ phương trình 1 x y 3 x y x y 1 y x x y x, y Bài làm Điều kiện x, y Đặt x a 0, y b 0; viết hệ cho dạng 1 2 2 (1) a 2b a 3b 3a b b a (2) a 2b (1)+(2) thu a 10a 2b 5b a 10a 3b 5ab a 5a 10a 2b b 5a 4b 10a 2b3 b5 b Từ (3) (4) thu (a b)5 (a b)5 (2)-(1) thu 1 1 b 2 ( 1) ( 1) Và đó, tìm x ,y 4 Từ đó, tìm a ThuVienDeThi.com (4) (3) Kính gửi: Ban biên tập Tạp chí Tốn học tuổi thơ Tên : Trương Quang An Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng Địa : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 01208127776 Bài 6:Tìm tất giá trị a, b cho phương trình x3 ax bx 3a có nghiệm số nguyên dương Bài làm Giả sử phương trình cho có ba nghiệm nguyên dương Khi đó, theo định lý Vietta, a, b 3a (1) 3 3 3 3 3 3 (2) Nếu 3 , mâu thuẫn với (1) Vậy Với : 3, 3 33 3 3.3 1 1 Từ a 9, b 27 Với : 2, 2 32 3 3.2 2 32 3 21 Giải phương với ý ta 2 ; 12; , 5;3 12, a 16, b 52 Với 5, a 10, b 31 Với : 2, 2 32 3 3.2 2 32 3 21 Giải phương với ý ta 2 ; 12; , 5;3 12, a 16, b 52 Với 5, a 10, b 31 Với 1: 1, 2 32 3 3.1 2 32 3 12, vơ lí Vậy tất cặp số a; b 9; 27 , 16;52 , 10;31 ThuVienDeThi.com trình Với trình Với Kính gửi: Ban biên tập Tạp chí Tốn học tuổi thơ Tên : Trương Quang An Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng Địa : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 01208127776 Bài 7:Một số nguyên dương gọi dễ thương biểu diễn thập phân khơng có chứa chữ số tổng bình phương chữ số số phương Tìm số dễ thương lớn có hai chữ số Hỏi có hay khơng số dễ thương có 2015 chữ số? Bài làm Giả sử số dễ thương có hai chữ số lớn ab,1 a, b Theo giả thiết ta có a b c số phương Nếu a, b không chia hết cho a b mod 3 , vơ lý a b số phương suy ab mod 3 +) Nếu a 81 b c c b 81 khơng có nghiệm ngun dương với 1b +) Nếu a b b 3;6;9, thử trực tiếp ta thấy b thỏa mãn Vậy số dễ thương lớn có chữ số 86 2 2 2 Xét số A 222211 Khi 1 2027 khơng phải số 2011 so1 2011 so12 phương suy A 222211 không số dễ thương 2011 so1 ThuVienDeThi.com Kính gửi: Ban biên tập Tạp chí Tốn học tuổi thơ Tên : Trương Quang An Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng Địa : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 01208127776 Bài 8:Giả sử a, b, c, d số nguyên cho a b c d số nguyên lẻ chia hết a b c d Chứng minh với số nguyên dương n có a b c d chia hết a n b n c n d n Bài làm + Chứng minh nhận xét: “Với a,b,x,y,z,t số nguyên cho a b ước x y ước z t a b | xz yt ” + Mặt khác, (a c)2 (b d )2 (a b c d )(a b c d ) (a b c d ) nên suy a b c d | a b c d 2(ac bd ) Từ đó, giả thiết nên thu a b c d | ac bd (1) + Ta chứng minh kết luận toán phương pháp quy nạp tốn học Với n 1, : kết luận hiển nhiên Giả sử khẳng định tới n, tức a b c d | a n b n c n d n với n , n Ta cần chứng minh a b c d | a n 1 b n 1 c n 1 d n 1 Thật vậy, a b c d | (a c) (b d ) nhận xét suy a b c d ước (a c)(a n c n ) (b d )(b n d n ) a n 1 b n 1 c n 1 d n 1 ac(a n 1 c n 1 ) bd (b n 1 d n 1 ) Nhưng, (1), giả thiết quy nạp nhận xét suy a b c d | ac(a n 1 c n 1 ) (bd (b n 1 d n 1 ) Vậy suy a b c d ước (a c)(a n c n ) bd (b n d n ) ac(a n 1 c n 1 ) bd (b n 1 d n 1 ) a n 1 b n 1 c n 1 d n 1 (2) chứng minh ThuVienDeThi.com Từ đó, theo nguyên lý quy nạp, suy a b c d | a n b n c n d n với số nguyên dương n ThuVienDeThi.com ...Kính gửi: Ban biên tập Tạp chí Tốn học tuổi thơ Tên : Trương Quang An Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng Địa : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 01208127776... ThuVienDeThi.com Kính gửi: Ban biên tập Tạp chí Tốn học tuổi thơ Tên : Trương Quang An Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng Địa : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 01208127776... ThuVienDeThi.com Kính gửi: Ban biên tập Tạp chí Tốn học tuổi thơ Tên : Trương Quang An Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng Địa : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 01208127776