ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 1/11/2015 TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) (Đề thi có bài, gồm 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức: P x x x 1 x2 x x x 1 x x 1 a Rút gọn P b Tìm giá trị nhỏ P c Xét biểu thức: Q Bài 2: (4,5 điểm) x , chứng tỏ < Q < P a Khơng dùng máy tính so sánh : 2014 2015 2015 2014 2014 2015 b Tìm x, y, z, biết: 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 2yz + 2y – 8z + 10 c Giải phương trình: Bài 3: (4,0 điểm) 2 17 Với x a x3 x4 38 14 Tính giá trị biểu thức: B = 3 x3 x 2015 b Tìm tất cặp số nguyên (x ; y) với x > 1, y > cho (3x+1) y đồng thời (3y + 1) x Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với đường cao AD, BE, CF cắt H a Chứng minh rằng: Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC ; S AEF cos A S ABC b Chứng minh : S DEF 1 cos A cos B cos C .S ABC c Cho biết AH = k.HD Chứng minh rằng: tanB.tanC = k + d Chứng minh rằng: HA HB HC BC AC AB Bài 5: (1,5 điểm) Cho x, y số tự nhiên khác 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 36 x y 2004 Hết Họ tên thí sinh: Chữ kí giám thị:1: Số báo danh: Chữ kí giám thị 2: ThuVienDeThi.com Giám thị khơng giải thích thêm HƯỚNG DẪN THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016 MÔN : TOÁN TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG Hướng dẫn chấm có 03 trang Bài I Yêu cầu chung: Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa tương ứng Bài hình học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng cho điểm II Yêu cầu cụ thể: Nội dung cần đạt Điểm a.(2,0đ) Đk : x 0; x 0,25 P x x 2 x x x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0,5 x x 1 Vậy P x x , với x 0; x 3 b (1,0đ) P x x x 2 4 dấu xảy x = ¼, thỏa mãn đk Vậy GTNN P x c (1,0đ).Với x 0; x Q = Xét x > (1) x x 1 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 2 x 1 x 0 x x 1 x x 1 Dấu khơng xảy điều kiện x suy Q < 2.(2) Từ (1) (2) suy < Q < 2 0,5 2014 2015 2015 2014 2015 2014 2015 2014 1 2015 2014 2015 2014 2014 2015 2014 2015 Vậy > 2014 2015 > 2015 2014 2014 2015 b Phân tích thành (2x - y)2 + (y – z + 1)2 + ( z - 3)2 (1) Vì (2x - y)2 ; (y – z + 1)2 ; ( z - 3)2 với x, y, z nên từ (1) suy x = 1; y = 2; z = c Đk: x > - Khi phương trình cho tương đương với ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,5 0,75 0,25 0,75 0,75 0,25 0 x3 x 4 4 x 11 x 11 x3 x4 0 0 2 2 x 3 x x3 x4 x3 x4 0,5 1 0 x 3 x x3 x4 11 Do 4x + 11 = x = thỏa mãn điều kiện 11 Vậy tập nghiệm phương trình là: S 4 Vì x > - nên 0,25 0,25 0,25 2 2 2 2 3 a Ta có x (3 5) 3 1,25 Do B = - 0,75 b Dễ thấy x y Khơng tính tổng quát, giả sử x > y Từ (3y + 1) x y p.x p N * 0,25 0,25 Vì x > y nên 3x > 3y + = p.x p < Vậy p 1; 2 Với p = 1: x = 3y + 3x + = 9y + y y Mà y > nên y 2; 4 + Với y = x = + Với y = x = 13 Với p = 2: 2x = 3y + 6x = 9y + 2(3x + 1) = 9y + Vì 3x + y nên 9y + y suy y , mà y > nên y = 5, suy x = Tương tự với y > x ta giá trị tương ứng Vậy cặp (x; y) cần tìm là: (7;2);(2;7);(8;5);(5;8);(4;13);(13;4); A a 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 E F H C B D Tam giác ABE vuông E nên cosA = ThuVienDeThi.com AE AB 0,25 Tam giác ACF vuông F nên cosA = Suy AF AC 0,25 AE AF = AEF ABC (c.g c) AB AC 0,25 S AE * Từ AEF ABC suy AEF cos A S ABC AB S S b Tương tự câu a, BDF cos B, CDE cos C S ABC S ABC 0,75 0,5 Từ suy S DEF S ABC S AEF S BDF SCDE cos A cos B cos C S ABC S ABC 0,75 Suy S DEF 1 cos A cos B cos C .S ABC 0,25 AD AD AD ,tanC = Suy tanB.tanC = BD CD BD.CD 2 Vì AH = k.HD AD AH HD k 1.HD nên AD k 1 HD 0,25 c Ta có: tanB = (1) HD k 1 (2) BD.CD DB HD Lại có DHB DCA( g.g ) nên DB.DC HD AD (3) AD DC 0,25 Do tanB.tanC = 0,25 0,25 Từ (1), (2), (3) suy ra: HD k 1 HD k 1 HD k 1 k tanB.tanC = AD.HD AD HD k 1 2 HC CE HC.HB CE.HB S HBC AC CF AC AB CF AB S ABC HB.HA S HAB HA.HC S HAC Tương tự: ; Do đó: AC.BC S ABC AB.BC S ABC HC.HB HB.HA HA.HC S HBC S HCA S HAB + + = 1 S ABC AC AB AC.BC AB.BC d Từ AFC HEC Ta chứng minh được: (x + y + z)2 3(xy + yz + zx) (*) Áp dụng (*) ta có: 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 HA HB HC HA.HB HB.HC HC.HA 0,25 3.1 BC AC AB BC.BA CA.CB AB AC HA HB HC 0,25 Suy BC AC AB Với x, y N * 36x có chữ số tận 6, 5y có chữ số tận 0,25 nên : A có chữ số tận ( 36x > 5y) ( 36x < 5y) TH1: A = 36x - 5y =1 36x - = 5y Điều khơng xảy (36x – 1) 35 nên (36x – 1) 7, cịn 5y khơng chia hết cho TH2: A = Khi 5y - 36x = 5y = + 36x điều khơng xảy (9 + 36x) cịn cịn 5y khơng chia hết cho TH3: A = 11 Khi 36x - 5y =11 Thấy x = 1, y = thỏa mãn ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 ... DẪN THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016 MÔN : TỐN TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG Hướng dẫn chấm có 03 trang Bài I Yêu cầu chung: Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa tương ứng Bài hình học sinh. .. = 1: x = 3y + 3x + = 9y + y y Mà y > nên y 2; 4 + Với y = x = + Với y = x = 13 Với p = 2: 2x = 3y + 6x = 9y + 2(3x + 1) = 9y + Vì 3x + y nên 9y + y suy y , mà y >... Khi 5y - 36x = 5y = + 36x điều khơng xảy (9 + 36x) cịn cịn 5y khơng chia hết cho TH3: A = 11 Khi 36x - 5y =11 Thấy x = 1, y = thỏa mãn ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25