Đại số 10, kì II Lượng giác29322

Chứng minh rằng:... Công thức biến đổi tích thành tổng.

VẤN ĐỀ 6: Công thức nhân Công thức nhân đôi

sin 2 2sin cos 

cos2 cos sin  2 cos   1 1 2sin 

tan 2 2 tan2 ; cot 2 cot2 1

2 cot

1 tan









Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)

2

2

2

1 cos2 sin

2

1 cos2 cos

2

1 cos2 tan

1 cos2





























3 3

3 2

3tan tan tan3

1 3tan











Bài 1. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:



b) cos2 , sin 2 , tan 2   khi tan 2

c) sin , cos khi sin 2 4, 3

d) cos2 , sin 2 , tan 2 khi tan 7

8

Bài 2. Tính giá trị của biểu thức sau:

16

8

8

8

16

32

512 i) I cos10 cos20 cos30 cos70 cos800 0 0 0 0 ĐS: 3

256



128

8

Bài 3. Chứng minh rằng:

a)

n

P

a

sin cos cos cos cos

2

b)

n

n Q

R

Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau:

4 4

8 8

c) sin cosx 3x cos sinx 3x 1sin 4x d)

4

1 sin 2sin

4 2



x

2 2

x x

x

1 cos

2

4 2

sin 2







x x

x

1 sin 2 tan



x



tan 2 tan tan tan3

1 tan tan 2







x

2 cot tan

sin 2



VẤN ĐỀ 7: Công thức biến đổi

1 Công thức biến đổi tổng thành tích

sin( ) tan tan

cos cos

a b



sin( ) tan tan

cos cos

a b



sin( ) cot cot

sin sin

a b



b a

sin( ) cot cot

sin sin



       

       

2 Công thức biến đổi tích thành tổng

2 1

2 1

2

Bài 1. Biến đổi thành tổng:

a) 2sin(a b ).cos(a b ) b) 2 cos(a b ).cos(a b )

c) 4sin3 sin 2 cosx x x d) 4sin13x.cos cosx x

e) sin(x30 ).cos(o x30 )o f) sin sin2

g) 2sin sin 2 sin3 x x x h) 8cos sin 2 sin3x x x

Bài 2. Chứng minh:

a) 4 cos cosx x cos x cos3x b)

Áp dụng tính:

B cos10 cos50 cos70

C sin 20 sin 40 sin800 0 0 Dcos20 cos40 cos800 0 0

Bài 3. Biến đổi thành tích:

e) 3 4 cos4 xcos8x f) sin 5xsin 6xsin 7xsin8x

sin ( 90 ) 3cos ( 90 ) i) cos5xcos8xcos9xcos12x k) cosxsinx1

Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:

A

sin 7 sin8 sin 9 sin10



B

sin 2 2sin3 sin 4 sin3 2sin 4 sin 5



C



D

sin 4 sin 5 sin 6



Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức sau:

D  sin 172 sin 432 sin17 sin 43

o

2sin10

sin10 cos10

g)

cot 25 cot 75 tan 25 tan 75

h) H tan 90tan 270tan 630tan810

ĐS: A 1

2

64

4



Bài 6. Tính giá trị của các biểu thức sau:

32 b) 16.sin10 sin30 sin 50 sin 70 sin 90o o o o o ĐS: 1

2

2



2

2

Bài 7. Chứng minh rằng:

a) tan 9otan 27otan 63otan81o  4

b) tan 20otan 40otan80o  3 3

c) tan10otan 50otan 60otan 70o 2 3

d) tan30o tan 40o tan 50o tan 60o 8 3.cos20o

3

e) tan 20otan 40otan80otan 60o 8sin 40o

f) tan 206 o33tan 204 o27tan 202 o 3 0

Bài 8. Tính các tổng sau:

a) S1 coscos3cos5  cos(2 n1) ( k )

S

2 sin sin2 sin3  sin ( 1).

S

3

cos cos  cos  cos  

4



n

S

S1 sin 2

2sin





n

2 cot

2



n

3 cos

 

;

S

a

sin



x

1

5 tan 2 tan 2





Bài 9.

a) Chứng minh rằng: sin3x 1(3sinx sin3 ) (1)x

4

x vào (1), tính S sin3 3sin3 2 3 1sin3

3



ĐS: n

a

Bài 10.

a) Chứng minh rằng: a

a

a

sin 2 cos

2sin

 b) Tính P n cos cosx x2 cos x n ĐS:

n n

x P

x

2 sin 2



Bài 11.

x x

1 cot cot

n

S cot cot 2 1

2

Bài 12.

a) Chứng minh rằng: tan tan 22x x  tan 2x2 tanx

S tan2 tana 2 tan2 2.tan 2 1tan2 tan 1

a

S tana 2 tan

2

7 tan cot sin cos 

8 9

Bài 14.Chứng minh các đẳng thức sau:

a) cotxtanx2 tan 2x  4 cot 4x b) x x

2

1 2sin 2 1 tan 2

1 sin 4 1 tan 2



x

2 6

x

tan 4

cos4 sin 2 cos2



 e) tan 6xtan 4xtan 2x  tan 2 tan 4 tan 6x x x

x

sin 7 1 2 cos2 2 cos4 2 cos6

g) cos5 cos3x xsin 7 sinx xcos2 cos4x x

Bài 15.

a) Cho sin(2a b ) 5sin b Chứng minh: a b

a

tan

b) Cho tan(a b ) 3tan a Chứng minh: sin(2a2 ) sin 2b  a 2sin 2b

Bài 16.Cho tam giác ABC Chứng minh:

c) sin 2Asin 2Bsin 2C 4sin sin sinA B C

d) cos2Acos2Bcos2C   1 4 cos cos cosA B C

e) cos2Acos2Bcos2C  1 2 cos cos cosA B C

f) sin2Asin2Bsin2C  2 2 cos cos cosA B C

Bài 17.Tìm các góc của tam giác ABC, biết:

a) B C vàsin sinB C 1. ĐS:



Bài 18.Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC vuơng:

a) cos2Acos2Bcos2C  1 b) tan 2Atan 2Btan 2C0

cos cos sin sin

B a c b

cot 2





Bài 19.Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC cân:

atanA btanB (a b)tan

2







C

2sin sin cot

Bài 20.Chứng minh bất đẳng thức, từ đĩ suy ra điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC đều: a) sinA sinB sinC 3 3 HD: Cộng vào VT.

2

3



b) A B C 3 HD: Cộng vào VT.

2

3



c) tanAtanBtanC3 3 (với A, B, C nhọn)

cos cos cos

8

cos cos cos

8



Bài 21.

a)