ĐỀ XUẤT DỰ THI HSG CẤP HUYỆN M«n: Tốn NĂM HỌC: 2010-2011 (Thời gian làm bài: 120 phút) PHÒNG GD&T Câu (3điểm) 1) Có hay không tam giác với độ dài ba cạnh là: 17 ; 1 ; 2) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 193 33 11 1931 : A = 193 386 17 34 1931 3862 25 9 3) Chøng minh r»ng: B= 1.98 2.97 3.96 96.3 97.2 98.1 1.2 2.3 3.4 96.97 97.98 98.99 Câu (1 điểm) Tìm x, y biết : (2x – 5) 2008+ (3y + 4)2010 ≤ C©u (2 điểm) a) Cho a,b,c ,d số khác thoả mÃn b2 = ac c2 = bd Chøng minh r»ng: a3 b3 c3 a b3 c3 d d b) Cho S = abc bca cab Chứng minh S khơng phải số phương C©u (4 điểm) Cho tam giác ABC có góc A nhọn Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C lấy điểm M cho NA = BA NAB = 900 Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa ®iÓm B lÊy ®iÓm M cho MA = CA vµ MAC = 900 1) Chøng minh r»ng: a) NC = BM b) NC BM 2) Qua A kỴ đường thẳng vuông góc với BC cắt MN K chứng minh K trung điểm đoạn thẳng MN ThuVienDeThi.com đáp án - biểu điểm-DNG QUANG Câu (3 ®iĨm) 1) Trong ba sè 17 ; ; số lín nhÊt VËy nÕu 17 + > tồn tam giác với độ dài ba cạnh 17 ; ; (0,25 ®iĨm) ThËt vËy : 17 > 16 (0,25 điểm) > => 17 + > = 49 > 45 = 2) (1 ®iĨm) 193 33 25 1931 : A = 386 17 34 1 33 A = : 34 34 A= 3862 25 9 2 (0,5®) 2 (0,25 ®) (0,25 ®) 3) (1 ®iĨm) Cã 1.98 + 2.97 + 3.96 +… + 96.3 + 97.2+ 98.1 = (1 + +3 +…+ 96+97+98) + (1+2+3+…+ 96+97)+…+ (1+2)+1 98.99 97.98 2.3 1.2 + +…+ + 2 2 1.2 2.3 97.98 98.99 = 1.98 2.97 3.96 96.3 97.2 98.1 => B = = 1.2 2.3 3.4 96.97 97.98 98.99 = C©u (1 ®iÓm) * Theo tÝnh chÊt luü thõa bËc ta cã: (2x – 5)2008≥0 (3y + 2x)2010 ≥ => (2x - 5)2008 + (3y + 4)2010 ≥ (1) 2008 2010 * Mµ ta cã (2x -5) +(3y+4) ≤0 (2) 2008 2010 * Tõ (1) vµ (2) ta cã : (2x -5) +(3y+4) = 2x-5 = x = 5/2 3y +4 = y = - 4/3 * VËy x= 5/2 vµ y = -4/3 Câu (2 điểm) a, Ta có b2 = ac b,c => Tương tự ta có : b a c b b c c d * Tõ (1) vµ (2) ta cã : (1) (0,5 ®iÓm) (0,25 ®iÓm) (0,25 điểm) (0,25 ®iÓm) (0,25 ®iÓm) (0,25 ®iÓm) (0,25 ®iÓm) (0,25 ®iÓm) (2) a b c b c d (0,25 ®iĨm) a b c = k (k≠ 0, a,b,c ≠ 0) b c d a b c a Cã k3 = (3) b c d d * Đặt ThuVienDeThi.com (0,25 ®iĨm) a b3 c3 a b3 c3 = 3 (4) b c d b c d a3 b3 c3 a * Tõ (3) vµ (4) ta cã 3 d b c d k3 (0,25 ®iĨm) b, S = (100a+10b+c)+(100b+10c+a)+ (100c+10a+b) = 111(a+b+c) = 37.3(a+b+c) (0,5 ®iĨm) Vì < a+b+c 27 nên a+b+c M 37 Mặt khác (3; 37) =1 nên 3(a+b+c) M 37 => S khơng thể số phng (0,5 im) Câu (4 điểm) P (GT-KL ; Vẽ hình) (0,5điểm) K N 1a) Ta cã AN, AC nằm nửa mặt phẳng đối Q bờ AB (gt) NAB vµ CBA kỊ Cã NAB = 900 (gt) => Tia AB n»m gi÷a A AN vµ AC T I CAB < 900 (gt) => NAB + CAB < 1800 => NAB + CAB = 900 + CAB = NAC (1) (0,5 ®iĨm) Chøng minh t¬ng tù cã: 90 + CAB = NAC (2) B H (0,25 đ) * Từ (1) (2) ta có NAC = BAM * XÐt NAC vµ A cã: + AN = AB (gt) + NAC = BAM (cmt) => A C = A (c.g.c) (0,25 ®) + AC = AM (gt) => NC = BM (®pcm) 1b) Gäi giao điểm NC với BM I, giao điểm cđa Ac víi BM lµ T Ta cã NAC = BAM (cmt) => CAN = AMB hay TCI = TMA (0,5 đ) Mà CTI = MTA (hai góc ®èi ®Ønh) => MAT = CIT (Tæng gãc tam giác 1800) (0,5 đ) Mà MAT = 90 (gt) => CIT = 900 hay NC BM (®pcm) 2) * Gäi giao ®iĨm cđa AK víi BC H kẻ MP vuông góc với AK P Kẻ NQ vuông góc với AK Q Chứng minh NQA = AHB (cạnh huyền- góc nhọn) => NQ = AH (3) (0,5 ®) * Chøng minh tương tự có MP = AH (4) (0,25 đ) Từ (3) vµ (4) ta cã NQ = MP * Chøng minh NQK = MPK (g.c.g) => NK = MK (0,5 đ) Mà N, M, K thẳng hàng (gt) => K trung điểm MN (đpcm) (0,25 đ) ThuVienDeThi.com M C * Chú ý: Các cách làm khác đúng, phù hợp chương trình lớp cho ®iĨm tèi ®a theo tõng bíc ThuVienDeThi.com ... (1+2+3+…+ 96+ 97) +…+ (1+2)+1 98.99 97. 98 2.3 1.2 + +…+ + 2 2 1.2 2.3 97. 98 98.99 = 1.98 2. 97 3.96 96.3 97. 2 98.1 => B = = 1.2 2.3 3.4 96. 97 97. 98 98.99 = Câu (1 điểm)... 17 34 1 33 A = : 34 34 A= 3862 25 9 2 (0,5®) 2 (0,25 ®) (0,25 ®) 3) (1 ®iĨm) Cã 1.98 + 2. 97 + 3.96 +… + 96.3 + 97. 2+ 98.1 = (1 + +3 +…+ 96+ 97+ 98) + (1+2+3+…+ 96+ 97) +…+... Câu (3 điểm) 1) Trong ba sè 17 ; ; số lớn Vậy nÕu 17 + > th× tồn tam giác với độ dài ba cạnh 17 ; ; (0,25 ®iĨm) ThËt vËy : 17 > 16 (0,25 điểm) > => 17 + > = 49 > 45 = 2) (1 ®iĨm)