PHềNG GD&T Đề thi khảo sát hsg lớp Môn : Toán Thời gian: 120phút (không kể thời gian giao ®Ị) Ngµy:…./… Bài 1: (1,5 điểm) a/ (0,5 điểm) Chứng minh rằng: Với số nguyên dương n thì: 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n chia hết cho 10 b/ (1 điểm) Cho: Tính: A= 1 1 2007 2008 B= 2007 2006 2005 2006 2007 B A Bài 2: (1,5 điểm) a/ (0,75 điểm) Tìm x y, biết rằng: x 2005 x 2006 y 2007 x 2008 b/ (0,75 điểm) Tìm a Z cho M = a2 nhận giá trị nguyên a 1 Bài 3: (2 điểm) a/ (1 điểm) Cho f(x) = x8 – 101x7 + 101x6 – 101x5 + + 101x2 – 101x + 25 Tính f (100) b/ (1 điểm) Cho hai đa thức f(x) = (x – 2)2008 + (2x – 3)2007 + 2006x g(y) = y2009 – 2007y2008 + 2005y2007 Giả sử f(x) sau khai triển thu gọn ta tìm tổng tất hệ số s Hãy tính s tính giá trị g(s) Bài 4: (2 điểm) Tìm số có ba chữ số, biết số chia hết cho 18 chữ số tỉ lệ với 1: 2: Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân với đáy BC Gọi M N trung điểm AB AC Kẻ NH CM H Kẻ HE AB E Chứng minh rằng: a/ Tam giác ABH cân b/ HM phân giác góc BHE ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN LỚP Năm học 2008 - 2009 Bài 1: (1,5 đ) a/ (0,5 đ) 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n = (3n+2 + 3n) – (2n+2 + 2n) = 3n(32 + 1) – 2n(22 + 1) = 3n 10 – 2n 3n.10 10 ; 2n 10 => 3n 10 – 2n 10 Vậy 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n 10 b/ (1 đ) Tách 2007 tổng 2007 số biến đổi sau: 2007 2006 2005 2006 2005 1 1 2006 2007 B= 1 1 1 2006 2007 (0,25 đ) (0,25 đ) (0,25 đ) 2008 2008 2008 2008 2008 2006 2007 2008 1 1 = 2008 2008 A 2006 2007 2008 2 B => 2008 A (0,25 đ) = (0,25 đ) (0,25 đ) Bài 2: (1,5 đ) a/ (0,75 đ) Ta có A A A với A tùy ý x 2005 x 2008 x 2005 2008 x x 2005 2008 x Từ theo giả thiết đề ta có: x 2006 y 2007 (2) (1) (0,25 đ) (0,25 đ) Từ (1) (2) => x 2005 x 2006 y 2007 x 2008 x 2006 y 2007 (0,25đ) Vậy x = 2006 y = 2007 b/ (0,75 đ) a a a a a (a 1) a a 1 a 1 a 1 4 a 1 Z Z a 1 a 1 a – ước a – = {-4; -2; -1; 1; 2; 4} a = {-3; -1; 0; 2; 3; 5} Bài 3: điểm a/ (1 đ) f(x) = x8 – 101x7 + 101x6 – 101x5 + + 101x2 – 101x + 25 = x8 – 100 x7 – x7 + 100x6 +x6 – 100x5 – x5 + + 100x2 ThuVienDeThi.com (0,25 đ) (0,25 đ) (0,25 đ) + x2 – 100x – x +25 (0,25 đ) f(x) = x (x - 100) – x (x - 100) + x (x – 100) - + x(x-100) – (x - 25) (0,25 đ) f(100) = 100 (100 -100) – 100 (100 -100) + + 100.(100-100) – (100-25) (0,25 đ) f(100) = -75 (0,25 đ) b/ (1 đ) Tổng hệ số f(x) sau khai triển thu gọn giá trị đa thức f(x) x = Ta có s = f(1) = (1 – 2)2008 + (2.1 – 3)2007 + 2006.1 (0,25 đ) 2008 2007 = (-1) + (-1) + 2006 = – + 2006 = 2006 (0,25 đ) Thay s + = 2007; s – = 2005 ta g(s) = s2009 – (s+1).s2008 + (s -1).s2007 (0,25 đ) 2009 2009 2008 2008 2007 2007 2007 =s –s –s +s -s =-s = -2006 (0,25 đ) 2007 Vậy s = 2006 g(s) = -2006 Bài 4: (2 điểm) Gọi số cần tìm a; b; c (a; b; c N* a; b; c ) (0,25 đ) Vì số cần tìm chia hết cho 18 => số chia hết => (a + b + c) số cần tìm số chẵn (0,25 đ) Vì a; b; c => a b c 27 (0,25 đ) Từ đến 27 có số 9; 18; 27 Vậy a + b +c = {9; 18; 27} (1) (0,25 đ) a b c abc abc 1 * (2) Vì a; b; c N => a + b + c Theo ta có: (0,25 đ) Từ (1) (2) => a + b +c = 18 (0,25 đ) a b c 18 3 (0,25 đ) a = 3; b = 6; c =9 Số cần tìm chia hết chữ số hàng đơn vị số chẵn Vậy số cần tìm là: 396 936 Bài 5: (3 điểm) Vẽ hình 0,5 đ (0,25 đ) B M K H E C A N ThuVienDeThi.com Q a/ Từ A kẻ AK MC K AQ HN Q Xét vuông MAK vng NCH có: => MAK = NCH (cạnh huyền –góc nhọn) MA = NC (= AB), MAK = NCH (cùng phụ với góc AMC) (1) => AK = HC Xét BAK ACH có: AB = AC (gt); BAK = ACH; AK = HC (cm trên) => BAK = ACH (c-g-c) => BKA = AHC Xét vng AQN vng CHN có: AN = NC; ANQ = CNH (đối đỉnh) => AQN = CHN (cạnh huyền – góc nhọn) => AQ = CH (2) Từ (1) (2) => AK = AQ => HA tia phân giác góc KHQ => AHQ = 450 => AHC =1350 => BKA = 1350 Từ BKA + BKH + AKH = 3600 => BKH = 1350 AKH có KHA = 450 nên vuông cân K => KA =KH Xét BKA BKH có: BK: chung ; BKA = BKH = 1350; KA =KH => BKA = BKH (c-g-c) => BA =BH hay tam giác ABH cân B b/ Ta có BKA = BKH => BAK = BHK hay BAK = BHM Mà HE // CA (cùng vng góc AB) => MHE = HCA (đồng vị) Vì BAK = HCA nên BHM = MHE hay HM tia phân giác góc BHE ThuVienDeThi.com (0,5 đ) (0,25 đ) (0,25 đ) (0,25 đ) (0,25 đ) (0,25 đ) (0,25 đ) (0,5 đ) ... giả thiết đề ta có: x 2006 y 20 07 (2) (1) (0,25 đ) (0,25 đ) Từ (1) (2) => x 2005 x 2006 y 20 07 x 2008 x 2006 y 20 07 (0,25đ) Vậy x = 2006 y = 20 07 b/ (0 ,75 đ) a ... 2006 (0,25 đ) Thay s + = 20 07; s – = 2005 ta g(s) = s2009 – (s+1).s2008 + (s -1).s20 07 (0,25 đ) 2009 2009 2008 2008 20 07 20 07 20 07 =s –s –s +s -s =-s = -2006 (0,25 đ) 20 07 Vậy s = 2006 g(s) = -2006... b/ (1 đ) Tách 20 07 tổng 20 07 số biến đổi sau: 20 07 2006 2005 2006 2005 1 1 2006 20 07 B= 1 1 1 2006 20 07 (0,25 đ) (0,25