TÝnh EF theo c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC.[r]
(1)Trờng THCS hảI bình Đề khảo sát đội tuyển học sinh giỏi năm học 2012 – 2013
Môn: Toán lớp 7 Thời gian làm : 120 phút
Bài 1: 2.5điểm
1.Thực phép tính (theo cách hợp lí có thể)
9 10
9
12
1 2009
a)2008 2009
2007 1004 2007
2
.10 :
5 16
b)
4 16
2) Chøng tá r»ng + + 52 + 53 + + 529 chia hÕt cho 31
Bài (2điểm)
1)Tìm x biết
1
: x 0, 25
3 12
2)T×m ba sè x,y,z biÕt r»ng
y z
2x
3
vµ
z
x y 20
2
Bài (2điểm)
Cho hai ®a thøc : P(x) = x5 – 2x3 + 3x4 – 9x2 + 11x – 6
Q(x) = 3x4 + x5 – 2(x3 + 4) – 10x2 + 9x
Đặt H(x) = P(x) - Q(x)
1.Chứng minh đa thức H(x) nghiệm 2.Chøng tá r»ng: H(x) 2008 víi x Z
Bài 4(2.5điểm)
Cho tam giác ABC, cạnh AB AC theo thứ tự lấy điểm M,N cho AM = AN ( M n»m gi÷a A B, N nằm A C)
1.Chøng minh r»ng : NÕu AB = AC th× BN = CM 2) Cho biÕt AB > AC:
a) chøng minh r»ng : BN > CM
b) Gọi giao điểm BN CM K, so sánh BK CK Bài (1điểm) Chøng minh r»ng: 2 2
1 1
2 3 4 n 3 víi n N, n4
Hớng dẫn giải
Bài 1: câu 1: 3,5 đ - ý a: 1,5 đ; ý b: 2đ; Câu 2: 1,5 đ 1) Thực phép tính (theo cách hợp lÝ nÕu cã thÓ)
1 2009 2008 2008.2009 2009
a)2008 2009 2.2009
2007 1004 2007 2007 1004 2007
(2)
2008 2009
2.2009 2.2009
2007 2007
(0,5®)
2008 2009
2007 2007 2007
(0,5®)
10 10
9 10
9 9
10 40
12 24 36
3
2
.10 : :
5 16 2
b)
4 16 2
(0,5®)
18 30 24 36
2
2
(0,5®)
18 12
24 12
2 (1 ) 1
2 (1 ) 64
(0,5®)
2) Chøng tá r»ng + + 52 + 53 + + 529 chia hÕt cho 31
1 + + 52 + 53 + + 529 =(1 + + 52) + (53 + 54 + 55) + +( 527 + 528 + 529) (0,25®)
= (1 + + 52) + 53 (1 + + 52) + + 527 (1 + + 52) (0,5®)
= 31 + 53.31 + + 527 31 (0,25®)
= 31.(1 + 53 + + 527) chia hÕt cho 31 (0,25®)
VËy + + 52 + 53 + + 529 chia hÕt cho 31 (0,25®)
Bµi 2
Mỗi câu cho đ Bài 3
Làm câu cho 2điểm
1.Chứng minh đa thức H(x) khơng có nghiệm +.Tính H(x) = x2 + 2x + (1đ)
= ( x + 1)2 + (0,25®)
Do
2
x 1 0 x
(0,25®)
2
x 1 1 x
(0,25®) => H(x) kh«ng cã nghiƯm
2.Chøng tá r»ng: H(x) 2008 víi x Z
H(x) = x2 + 2x + = x(x + 2) + 2
Giả sử tồn x Z để H(x)= 2008 (0,25đ)
=> x(x + 2) + = 2008 => x(x + 2) = 2006 (0,25®)
=> x hc x+ chia hÕt cho => x x+ chia hết cho (0,25đ) => x(x + 2) chia hÕt cho tøc lµ 2006 không chia hết cho (0,25đ) Mâu thuẫn , 2006 không chia hết cho , điều giả sử sai (0,25đ) Vậy H(x) 2008 với x Z
Bài 4
Câu : 1đ: Câu 4đ 1)
ABN ACM(cgc)
BN CM
V V
2) ý a cho 2điểm, ý b cho điểm a) Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = AC Khi D nằm B M Nối D với N +.c/m: VADNVACM(c.g.c)DNCM
A
B
C
M N
K I
A
B
C M
(3)+.Trong VADC cã ADN· ACM· 1800
=> ADN· 900
Mµ BDN· NDA· 180BDN· 900
=> Trong tam gi¸c BDN cã BN > DN, mµ DN = CM => BN > CM
b) Gọi giao điểm DN CM lµ I Ta c/m : VDNMVCMN
· ·
INM IMN
Do D n»m B M nên tia ND nằm tia NB vµ NM =>
· · · ·
· ·
BNM DNM KNM INM
KNM KMN KM KN
Mặt khác theo c/m ta có : BN > CM => BK > CK Bµi
Chøng minh r»ng: 2 2
1 1
2 3 4 n 3 víi n N, n4
+.Với n = dễ dành tính đợc giá trị biểu thức
1669
3600 23 BĐT ln
+.Víi n >
Đặt 2 2
1 1
A
2 n
vµ cã
1
k N; k
k k(k 1)
2 2 2
1 1 1 1669 1
A ( )
2 n 3600 5.6 6.7 n(n 1)
1669 1 1
A
3600 n n
1669 1 1669 2389
A ( ) ( )
3600 n 3600 3600
Trờng THCS hảI bình Đề khảo sát đội tuyển học sinh giỏi năm học 2012 2013
Môn: Toán lớp 7 Thời gian làm : 120 phút
Bài (2điểm) Cho đa thức: f(x) = x4 3x2 + x – 1; g(x) = x4 – x3 + x2 + 5
Tìm đa thức h(x) cho: 1) f(x) + h(x) = g(x)
(4)
1) 2, x 1,
2) x 2007 2008 x
Bài (1điểm) Tính giá trị cđa biĨu thøc:
a
M
b
víi
16 25
a ; b
9
Bài 4(1.5điểm) Cho
a c
b d Chøng minh r»ng:
2 2
2
2 2
ac a c
1)
bd b d
7a 3ab 7c 3cd
2)
11a 8b 11c 8d
Bµi (3.5điểm)
Cho tam giác ABC vuông A (AB> AC) Tia phân giác góc B cắt AC D Kẻ DH vuông góc với BC, tia AC lấy điểm E cho AE = AB Đờng vuông góc với AE E cắt tia DH ë K
1) Chøng minh r»ng tam gi¸c ABH c©n
2) Từ B kẻ Bx //AE, đờng thẳng cắt tia EK I Tính số đo gúc DBK
Hớng dẫn giải
Bài
1.TÝnh h(x) = - x3 + 4x2 – x + (2®iĨm)
2.TÝnh h(x) = x4 –
2x3 – x2 –
2x + (2đ)
Bài
1.Tìm x = 1,2 x = 3,8 (1,5đ) Tìm x = 2007 x = 2008 (1,5đ)
Điều vô lí Vậy giá trị x t/m toán (0,5đ) Bài
TÝnh
16
a ; b
9 3
(1đ)
Thay số vào M ta có M = 3,5 (1đ) Bài
(5)Tõ
2
a c a c a c
b d b d b d
(0,5®)
2 2
2 2
ac a c a c
bd b d b d
(1®)
=>
2 2
ac a c
bd b d
(0,5đ) 2> Làm : 1đ
Tõ
2 2
a c a b ab a b
b d c d cdc d (0,25®)
=>
2 2
2 2
3ab 7a 11a 8b
3cd7c 11c 8d (0,25®)
=
2 2
2 2
3ab 7a 11a 8b
3cd 7c 11c 8d
(0,25đ) => đpcm (0,25đ) Bài
1 Làm : 4đ làm đ
Cã IEAE;BAAE(gt)BA // IE (1) Bx // AE (gt) => BI //AE (2)
Tõ 1,2 => BI = AE (t/c đoạn chắn //)
Chứng minh BH = BI VBHDVBHKBà3 Bà4
ả ả ả ¶ ¶ µ µ µ
4
1
B B ; B B B B B B
Mà Bả1Bà4Bà2Bà3 900(do Bx //AE, AE AB)
ả à ·
4
1
B B B B 45 DBK 45
1 32
A
B I
E C H
D
(6)Trờng THCS hảI bình Đề khảo sát đội tuyển học sinh giỏi năm học 2012 – 2013
Môn: Toán lớp 7 Thời gian làm : 120 phót
đề bài Câu 1 (2điểm)
a Thùc hiÖn phÐp tÝnh A =
9√6561+√ 144 324
b Có hay khơng tam giác với độ dài ba cạnh : √17 ; 5+1 ; 35
Câu 2 (2 điểm) Tìm x biÕt : |x −2|+|x −2|+⋯⋯+|x −2|+2005x=0 ; ( x<0 ) n = 2003
C©u 3 (1.5điểm)
Tìm x, y, z biết : 3|x|+5
3 =
3|y|−1 =
3− z
7 vµ |x|+7|y|+3z=−14
Câu 4 (1điểm) Cho a, b, c số đôi khác
Chøng minh r»ng
2[
b −c (a −b)(a − c)+
c −a (b −c) (b − a)+
a −b (c −a)(c −b)]=
1
a −b+
1
b −c+
1
c − a C©u (3.5điểm)
Cho ABC có Â = 1V , hạ AH BC (H BC) , phân giác góc BAH góc HAC cắt BC lần lợt E vµ F
a Chøng minh r»ng : ABF cân B
(7)c Tìm điều kiện ABC để SΔAEF
SABC
có giá trị lớn
đáp án biểu điểm mơn tốn lớp 7 Câu 1 điểm) (
Thùc hiÖn phÐp tÝnh (2®iĨm)
A =
9√81
2 +√(12
18)
2
(0,5 ®iĨm)
=
9 81+ 12
18 (0,5 ®iĨm)
= +
3 (0,5 ®iĨm)
=
3 (0,5 ®iĨm)
Có hay khơng tam giác với độ dài ba cạnh : √17 ; √5+1 ; 3√5 (2điểm)
Trong ba sè √17 ; 5+1 ; 35 35 số lớn
Vậy √17 + √5+1 > 3√5 tồn tam giác với độ dài ba cạnh √17 ; √5+1 ; 3√5 (1 điểm )
ThËt vËy : √17 > √16=4
√5+1 > √4+1=3 => √17 + √5+1 > = √49 > √45 = 3√5
(1 điểm )
Câu 2 ( điểm) Tìm x biÕt : |x −2|+|x −2|+⋯⋯+|x −2|+2005x=0 ; (x < 0) n = 2003
V× tỉng có 2006 hạng tử |x 2| nên ta có 2006 |x 2|+2005x=0 (1) (2 điểm) Mà x < => x-2 < = > |x −2|=− x+2 (1 điểm) Nên từ (1) ta có 2006(-x+2) + 2005x = (0,5 ®iĨm) => -2006x + 4012 + 2005x =
=> x = 4012 (không thoả mÃn điều kiện x<0) Vậy giá trị x thoả mÃn toán (0,5 điểm) Câu 3 (3điểm)
T×m x, y, z biÕt : 3|x|+5
3 =
3|y|−1 =
3− z
7 (1) |x|+7|y|+3z=14 (2)
Đặt 3|x|+5
3 =
3|y|−1 =
3− z
7 =k (0,5®iĨm)
=> |x|=3k −5
3 ; |y|= 5k+1
3 ; z = 3- 7k (0,5điểm)
Thay vào (2) ta cã : 3k −5
3 +7 5k+1
3 +3(3−7k)=−14 (0,5®iĨm)
=> 6k - 10 + 35k +7 + 27 - 63k = - 42 => -22k = - 66 => k = (0,25®iĨm) => |x|=3 3−5
3 =
3 => x ±
(8)T¬ng tù ta thÊy : y = ±16
3 ; z = -18 (0,25®iĨm)
vËy cã số x;y;z thoả mÃn toán là: x=
3; y= 16
3 ; z=−18 hc x= − 3; y=
16
3 ;z=−18
hc x=
3; y=− 16
3 ;z=−18 hc x= − 3; y=−
16
3 ; z=−18 (0,5 ®iĨm)
Câu 4 ( điểm) : Cho a, b, c số đôi khác Chứng minh :
2[
b −c (a −b)(a − c)+
c −a (b −c) (b − a)+
a −b (c −a)(c −b)]=
1
a −b+
1
b −c+
1
c − a Ta cã : b −c
(a −b) (a − c) =
(a −c)−(a − b) (a −b)(a− c) =
1
(a −b) -
1
(a −c) =
1
a− b +
1
c − a (1) (0,5®iĨm)
c − a
(b− c) (b −a)=¿
(b− a)−(b− c) (b −c) (b −a) =
1
b− c−
1
b − a=
1
b −c+
1
a− b (2) (0,5®iĨm) a− b
(c − a) (c − b)=
(c − b)−(c −a) (c − a) (c −b) =
1
c −a−
1
c − b=
1
c − a+
1
b −c (3) (0,5®iĨm) Tõ (1) ; (2) ; (3) ta suy :
b −c
(a −b) (a − c) +
c − a (b− c) (b −a)+
a −b (c − a) (c − b)=
2
a −b+
2
b − c+
2
c − a (0,25®iĨm) =>
2[
b −c (a −b)(a − c)+
c −a (b −c) (b − a)+
a −b (c −a)(c −b)]=
1
a −b+
1
b c+
1
c a Điều phải CM(0,25điểm)
A Câu 5 (7điểm) A
ABC ; ¢ = 1V ; AH BC = H (H BC) A GT ¢1 = ¢2 ; ¢3 = ¢4 (E , F BC)
BC = a ; CA = b ; AB = c
a ABF cân B B E H F C KL b TÝnh EF theo a ; b ; c
c Tìm điều kiện ABC để SΔAEF
SΔABC
đạt giá trị lớn
Vẽ hình, ghi GT + KL cho (0,5điểm)
a Chøng minh r»ng : Tam giác ABF cân B.(2điểm) Vì Â = 1V => B^+ ^C=900
Tam giác vuông HAB cã H^A B + B^ = 900 => gãc c b»ng gãc HAB (1) (1 ®iĨm )
Mµ BF A^ =^C+ ^A
4 (gãc ngoµi cđa tam gi¸c AFC) => BF A^ =^C+ ^A
3 (vì Â3= Â4) (0,5điểm)
=> BF A^ =H^A B+ ^A
3 ( Theo 1)
=> BF A^ =B^A F => BAF cân B (0,5điểm
4 b
1 c
(9)b Tính EF theo cạnh tam giác ABC (2,0 điểm)
Chứng minh tơng tù ë ý a ta cã AEC c©n ë C => AC = CE = b (1 điểm) Nên ta cã CE = b ; BF = c = AB
=> BF + CE = BF + EF + CF=EF+BC (0,5 điểm) => b + c = a + EF => EF = b + c – a (0,5 điểm) c Tìm điều kiện tam giác ABC để SΔAEF
SΔABC
có giá trị lớn (2,5điểm) Theo định lý PiTaGo ta có : a2 = b2 + c2 Mà (b-c)2 (Dấu xảy b = c) (0,5Điểm)
=> b2 + c2 - 2bc 0
=> b2 + c2 2bc
=> 2.( b2 + c2) 2bc + b2 + c2
=> 2.( b2 + c2) (b + c)2
=> 2.a2 (b + c)2 v× a2 = b2 + c2
=> √2.a¿2
¿ (b + c)
2
=> a √2≥ b+c (vì a;b;c>0) (0,5 điểm) Mặt khác : SΔAEF
SΔABC
=EF AH
BC AH= EF
a (0,5 điểm) Mà theo CM ë ý b ta cã : EF = b + c - a
=> SΔAEF
SΔABC
=b+c −a
a ≤
a√2− a
a = √2−1 (0,5 ®iĨm)
=> SΔAEF SΔABC
đạt giá trị lớn √2−1 dấu (2) xảy tức b=c hay: